文／劉佳

如圖1，用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進(jìn)行拼接，使圖形之間沒(méi)有空隙，也沒(méi)有重疊地鋪成一片，叫作圖形的密鋪。這樣的圖案能給我們一種美的享受。

圖1

作為初中生，我們?cè)诟惺苓@些美麗圖案的同時(shí)，要學(xué)會(huì)從中發(fā)現(xiàn)、研究一些數(shù)學(xué)問(wèn)題。例如，這些美麗的圖形都是由哪些單獨(dú)的圖形進(jìn)行拼接而成的呢？為什么這些圖形能進(jìn)行密鋪？是不是所有的圖形都能進(jìn)行密鋪？接下來(lái)，我們就去“會(huì)一會(huì)”這些美麗的圖形。

一、用邊長(zhǎng)相同的同一正n邊形密鋪

問(wèn)題1現(xiàn)實(shí)生活中，我們經(jīng)常會(huì)看到用正三角形、正方形、正六邊形地磚鋪設(shè)地面的現(xiàn)象，它們能鑲嵌成一個(gè)平面，應(yīng)滿足什么條件？全等的正五邊形能否進(jìn)行密鋪？

【思路分析】因?yàn)槭窍嗤膱D形，所以在拼接的時(shí)候只要把相同的邊靠在一起即可，是不是只要考慮這些就可以了呢？其實(shí)，我們還需要考慮在每一個(gè)頂點(diǎn)處若干個(gè)正三角形的內(nèi)角之和或者正方形的內(nèi)角之和或正六邊形的內(nèi)角之和等于360°。

【設(shè)計(jì)方案】正三角形和正方形的密鋪很容易想象，因?yàn)橛泄岔旤c(diǎn)的若干個(gè)正三角形或正方形的內(nèi)角之和等于360°。正六邊形的每個(gè)內(nèi)角是120°，因此，我們可以想象在每個(gè)頂點(diǎn)處有3個(gè)正六邊形的內(nèi)角。

全等的正五邊形的每個(gè)內(nèi)角是108°，而不是整數(shù)，所以正五邊形不能進(jìn)行密鋪。

問(wèn)題2哪種邊長(zhǎng)相同的正多邊形地磚能夠密鋪地面？

【思路分析】如果使用同一種正多邊形，那么就要滿足在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有整數(shù)個(gè)正多邊形的角圍成360°。

【設(shè)計(jì)方案】正n邊形的每個(gè)內(nèi)角等于如果設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有k個(gè)正n邊形的角，而這些角的和應(yīng)為360°，所以有由此可以化為（n-2）（k-2）=4，所以n-2一定是4的因數(shù)。因?yàn)?的因數(shù)只有1、2、4，所以n-2=1或n-2=2或n-2=4，解得n=3或n=4或n=6。也就是說(shuō)，相同的正多邊形作平面鑲嵌，只有三種情況能密鋪：正三角形、正四邊形和正六邊形。

二、用邊長(zhǎng)相同的正多邊形組合密鋪

問(wèn)題3用邊長(zhǎng)相同的正三角形、正六邊形兩種地磚組合能夠密鋪地面嗎？

【思路分析】要使這兩種地磚組合能夠密鋪地面，就必須滿足：有公共頂點(diǎn)的若干個(gè)正三角形的內(nèi)角與若干個(gè)正六邊形的內(nèi)角的和等于360°。

【設(shè)計(jì)方案】假設(shè)在公共頂點(diǎn)處有m個(gè)正三角形和n個(gè)正六邊形，可得方程60°m+120°n=360°。這個(gè)二元一次方程的解必須是正整數(shù)，可解得

我們可以拼出如圖2所示的密鋪圖形。

圖2

問(wèn)題4用邊長(zhǎng)相同的正五邊形和正十邊形兩種地磚組合能夠密鋪地面嗎？

【思路分析】參照上面的方法，假設(shè)在公共頂點(diǎn)處有x個(gè)正五邊形和y個(gè)正十邊形，可得方程108°x+144°y=360°，這個(gè)二元一次方程的正整數(shù)解為但能否保證每個(gè)頂點(diǎn)處都能拼成360°呢？

【設(shè)計(jì)方案】對(duì)于正五邊形與正十邊形的組合，盡管其內(nèi)角能夠圍繞一點(diǎn)拼成360°，但不能擴(kuò)展到整個(gè)平面。如圖3，當(dāng)在A、B兩點(diǎn)處密鋪時(shí)，點(diǎn)C處則無(wú)法實(shí)現(xiàn)密鋪。

圖3

問(wèn)題5在邊長(zhǎng)相同的正三角形、正方形、正六邊形地磚中，選擇哪些地磚組合能夠密鋪地面？（除去問(wèn)題3中已經(jīng)研究過(guò)的正三角形和正六邊形的組合）

【思路分析】這三種圖形組合，除了已經(jīng)研究過(guò)的正三角形與正六邊形組合，還有正三角形與正方形組合，正方形與正六邊形組合，以及正三角形、正方形和正六邊形組合。

【設(shè)計(jì)方案】當(dāng)邊長(zhǎng)相同的正三角形與正方形地磚組合時(shí)，設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有m個(gè)正三角形的內(nèi)角和n個(gè)正方形的內(nèi)角，那么這些角的和應(yīng)滿足60°m+90°n=360°，這個(gè)二元一次方程有正整數(shù)解，即

當(dāng)邊長(zhǎng)相同的正方形與正六邊形地磚組合時(shí)，設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有x個(gè)正方形的內(nèi)角和y個(gè)正六邊形的內(nèi)角，那么這些角的和應(yīng)滿足90°x+120°y=360°，這個(gè)二元一次方程沒(méi)有正整數(shù)解，即邊長(zhǎng)相同的正方形與正六邊形地磚組合無(wú)法密鋪。

當(dāng)邊長(zhǎng)相同的正三角形、正方形、正六邊形地磚組合時(shí)，設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)處有a個(gè)正三角形的內(nèi)角、b個(gè)正方形的內(nèi)角和c個(gè)正六邊形的內(nèi)角，那么這些角的和應(yīng)滿足條件60°a+90°b+120°c=360°，這個(gè)三元一次方程有正整數(shù)解，即