張斌武

(甘肅省天水市育生中學(xué)，甘肅天水，741000)

1 試題呈現(xiàn)

圖1

2 問(wèn)題分析

圖2

由平行線的性質(zhì)，易知∠FGC=∠ACE，∠GFE=∠CEF.

由正方形的性質(zhì)，易知AF=FG.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，易知AF=CE，所以FG=CE.

從而可知△FGQ≌△ECQ，所以FQ=EQ，即點(diǎn)Q是線段EF的中點(diǎn).

3 解法探究

基于以上分析，筆者從不同角度出發(fā)，給出本題的多種解法.

視角1利用特殊化策略求解

根據(jù)已知條件，點(diǎn)E是邊BC的延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，且AF=CE.不論點(diǎn)E，F(xiàn)運(yùn)動(dòng)到什么位置，點(diǎn)Q恒是線段EF的中點(diǎn)，它是運(yùn)動(dòng)不變量.因此，對(duì)于一道填空題而言，可考慮利用特殊位置法求解.

圖3

解法1如圖3，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，即線段EF與正方形ABCD的對(duì)角線AC重合，線段DP與正方形ABCD的邊DC重合，此時(shí)點(diǎn)Q是對(duì)角線AC的中點(diǎn).

圖4

解法2如圖4，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)Q和點(diǎn)P均與點(diǎn)C重合，線段AQ與正方形ABCD的對(duì)角線AC重合，線段DP與正方形ABCD的邊DC重合，此時(shí)點(diǎn)Q是線段EF的中點(diǎn).

點(diǎn)評(píng)當(dāng)幾何問(wèn)題中的已知條件和所求量之間的邏輯關(guān)系不明顯時(shí)，可考慮動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線段的特殊位置，這是解決幾何問(wèn)題的一種特殊化策略，具有化難為易，化繁為簡(jiǎn)之效果，可快速得出問(wèn)題的答案，是解決選此類擇題或填空題的一種“秒殺”法.構(gòu)造特殊圖形時(shí)，要注意保證運(yùn)動(dòng)不變量恒成立.

視角2利用相似三角形的性質(zhì)求解

利用相似三角形的性質(zhì)將AQ·DP轉(zhuǎn)化為與線段DQ有關(guān)的另兩條線段之積，然后通過(guò)列方程求解.

圖5

解法3如圖5，連接DQ，過(guò)點(diǎn)F作FG∥BE，交AC于點(diǎn)G.

易知△DEF是等腰直角三角形，所以∠DFE=45°.

由正方形的性質(zhì)，易知∠DAC=45°，所以∠DFE=∠DAC.

又因?yàn)椤螦GD=∠QGF，所以∠ADF=∠AQF.

易知△ADF≌△CDE，所以∠ADF=∠CDE.

從而可知∠AQF=∠CDE.

又易知∠AFQ=∠DPE，所以△AFQ∽△EPD.

所以AQ·DP=FQ·DE.

易知△FGQ≌△ECQ，所以FQ=EQ.

①

②

視角3利用“設(shè)而不求”解題法求解

圖6

解法5如圖6，連接DQ，過(guò)點(diǎn)F作FG∥BE，交AC于點(diǎn)G.過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AB，垂足為H.

設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為m，AF=x，則CE=x.

點(diǎn)評(píng)在數(shù)學(xué)問(wèn)題中，如果已知量較少，可考慮利用“設(shè)而不求”解題法求解.在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，預(yù)先設(shè)定一些未知數(shù)，把它們當(dāng)成已知數(shù)，然后根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題中各量之間的邏輯關(guān)系列出方程，求得未知數(shù).或預(yù)先設(shè)定一些不需要求出未知數(shù)，然后根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題中各量之間的邏輯關(guān)系，將未知數(shù)消去或代換.“設(shè)而不求”解題法能夠起到化繁為簡(jiǎn)，化難為易的作用.

視角4利用解析法求解

圖7

解法6以直線BC為x軸，以直線AB為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

設(shè)A(0，m)，F(xiàn)(0，n)，則C(m，0)，E(2m-n，0).

點(diǎn)評(píng)解析法是解決與直角三角形、等腰三角形、正方形等幾何圖形有關(guān)的幾何計(jì)算問(wèn)題的一種重要方法.利用解析法解決平面幾何問(wèn)題，一是要根據(jù)圖形特征建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，將有關(guān)線段的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為某些關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)；二是要將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，通過(guò)求某些直線的表達(dá)式或某些點(diǎn)的坐標(biāo)解決問(wèn)題.通過(guò)利用解析法解決平面幾何問(wèn)題，突破了學(xué)生解決平面幾何問(wèn)題的思維定勢(shì)，促使學(xué)生重新審視已有的平面幾何問(wèn)題的求解方法與思路，有利用培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和創(chuàng)新意識(shí)，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新素養(yǎng).

4 結(jié)束語(yǔ)