唐如強

(浙江省余姚市第八中學(xué)，浙江余姚，315400)

圓是我們最早接觸的圖形之一.圓的幾何性質(zhì)相對于圓錐曲線要簡單得多，更容易讓我們所接受.下面介紹幾個通過類比圓的性質(zhì)來得到圓錐曲線的性質(zhì)的實例，投石問路，與讀者共饗.

1 圓與圓錐曲線的性質(zhì)

1.1 垂直弦問題

圓性質(zhì)1：等于直角的圓周角所對的弦過圓心(直徑).

類比圓性質(zhì)，我們可以得到橢圓的一個性質(zhì)：

(1) 橢圓性質(zhì)： 過橢圓上一點作互相垂直的兩條弦，則該直角頂點所對的弦必過一個定點.

求證：直線AB必過一個定點.

證明：當直線AB斜率不為0時，設(shè)直線方程x=my+n，A(x1,x2),B(x2,y2)

因為PA⊥PB，

兩兩組合，平方差得a2(n-x0+my0)(n-x0-my0)+b2(n+my0+x0)(n+my0-x0)=0，

所以 (n-x0+my0)(a2n-a2x0-a2my0+b2n+b2my0+b2x0)=0.

因為點P不在直線AB上，所以n-x0+my0≠0，

所以a2n-a2x0-a2my0+b2n+b2my0+b2x0=0，

類似地，我們也可以得到雙曲線，拋物線上的性質(zhì).

(2) 過雙曲線上一點作互相垂直的兩條弦，則該直角頂點所對的弦必過一個定點.

(3) 過拋物線上一點作互相垂直的兩條弦，則該直角頂點所對的弦必過一個定點.

以上性質(zhì)的證明在這里不再贅述.結(jié)合三個性質(zhì)，我們?nèi)菀椎玫綀A錐曲線的統(tǒng)一性質(zhì)：

(4) 過圓錐曲線上一點作互相垂直的兩條弦，則該直角頂點所對的弦必過一個定點.

1.2 中點弦問題

類比圓性質(zhì)2，圓錐曲線也有類似性質(zhì)：

利用點差法很容易證明以上性質(zhì)，本文省略這一證明過程.需要指出的是，以上各性質(zhì)在形式結(jié)構(gòu)上與各自的圓錐曲線方程保持一致，體現(xiàn)出代數(shù)式整體和局部的整齊性和對稱美.利用上面結(jié)論，我們很容易解決中點弦問題，與點差法解題比較，特別是選擇、填空題，可以免去重復(fù)繁瑣的計算，提高解題效率.

1.3 切線方程問題

圓性質(zhì)3：過圓：x2+y2=r2上一點P(x0,y0)引圓的切線，則切線方程為：x0x+y0y=r2.

類比圓的切線方程，我們同樣可以得到圓錐曲線的切線方程：

(3) 拋物線y2=2px及拋物線上一點P(x0,y0)，則過P點的切線方程為：y0y=p(x+x0).

圓性質(zhì)4：過圓：x2+y2=r2外一點P(x0,y0)引圓切線，則切點弦所在直線方程為x0x+y0y=r2.

類比圓性質(zhì)4，我們有：

(3) 過拋物線y2=2px外一點P(x0,y0)引拋物線的切線，則切點弦所在直線方程為：y0y=p(x+x0).

對于雙曲線和拋物線，我們也可以得到類似結(jié)論，這里不再論述.

圓性質(zhì)5：過圓x2+y2=r2內(nèi)一點P(x0,y0)作直線與圓相交，則過交點的圓的切線的交點的軌跡方程為x0x+y0y=r2.

類比性質(zhì)5，我們有：

(3) 過拋物線y2=2px內(nèi)一點P(x0,y0)作直線與拋物線相交，則過交點的拋物線切線的交點的軌跡方程為y0y=p(x+x0).

2 結(jié)語

開普勒曾說“我珍惜類比勝于任何別的東西，它是我最可信賴的老師，它能揭示自然界的秘密.”透過圓的性質(zhì)，通過類比、聯(lián)想、遷移、推廣，去獲得圓錐曲線的相關(guān)性質(zhì)，增加了數(shù)學(xué)知識的橫向類比建構(gòu)，加深了對相關(guān)知識的了解和認識，同時，通過對數(shù)學(xué)類比嘗試體驗，學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)創(chuàng)新的一種途徑，提高了數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維能力.