鄧厚波

(江蘇省海安市城南實驗中學，江蘇海安，226600)

學生從小學進入初中后，首先經歷了有理數系和實數系的兩次數系擴充，進而研究數系擴充后的運算；接著就是系統(tǒng)研究字母表示數，從數到式后，又分別研究整式及運算、分式及運算、二次根式及運算，這些數、式的運算與變形的技能是學習方程和函數的基礎．以上都是初中階段代數研究的主要問題．貫穿在代數學習歷程中的還有一類重要的數學習題，那就是“含參”問題，從七年級到九年級，可謂在代數學習全過程，也是值得我們重視的，而且“含參”問題在不同年級的出現(xiàn)和分布也體現(xiàn)了螺旋上升的教學要求．本文以人教版七年級上冊教材的一些典型“含參”習題為例，談談我們對這類問題的教學理解．

1 七年級上冊教材中“含參”問題及教學理解

案例1(摘選自《有理數》)計算(-2)2，22，(-2)3，23.聯(lián)系這類具體數的乘方，你認為當a<0時，判斷下列各式是否成立？

(1)a2>0；(2)a2=(-a)2;(3)a2=-a2;(4)a3=-a3.

教學理解：這道題從特殊到一般，讓學生對比互為相反數的兩個數的平方、立方的結果有怎樣的關系，然后針對負數讓學生判斷4個等式是否成立．問題的本質是讓學生研究、歸納出負數的乘方的符號規(guī)律，教材在此前學習乘方運算時已用“文字語言”進行過小結，但并沒有給出符號表示，在習題中進行滲透符號表示的意識，這樣一種“安排”值得研究和細思．還有，值得注意的是，這里的字母就不再是一個常量，而成為一個變量，參數的味道在《有理數》這一章就已顯現(xiàn)出來．

案例2(摘選自《有理數》)結合具體數的運算，歸納有關性質，然后比較下列數的大?。?/p>

(1) 小于1的正數a，a的平方，a的立方；

(2) 大于-1的負數b，b的平方，b的立方．

圖1

教學理解：解題方法仍然是先舉例運算后比較大小，再歸納出它們的大小規(guī)律．由于初步認識一個限制范圍內正數的平方與立方的大小比較，所以教學時只需要學生舉幾個例子，然后進行歸納即可，這時還不能進行更一般的演算證明，這也是螺旋上升的一個重要特征．比如，隨著以后函數的學習，借助函數圖象還可進行更加形象直觀的解釋(如圖1)．

案例3(摘選自《整式加減》)一個兩位數的個位上的數是a，十位上的數是b．

(1) 列式表示這個兩個數．

(2) 這個兩位數與它的10倍的和是11的倍數嗎？

教學理解：進入《整式加減》一章之后，難度比《有理數》稍稍增大，具體來說，有理數一章還是先從具體的數進行運算后再猜想性質，走向一般的歸納概括，而用字母表示數之后，引出整式的概念和整式加減，則像這道題就不再安排具體的數字，讓學生運用所學的整式的加減進行運算分析，得出的結果中分析出“公因數”11即可判斷，它們的和是11的倍數．可以發(fā)現(xiàn)，這里不但需要整式加減運算的能力，而且最后的“提取公因數”是逆向運用乘法對加法的分配律，也是為八年級學習提公因式法因式分解進行的必要準備和知識鋪墊．

案例4(摘選自《整式加減》)甲地的海拔高度是hm，乙地比甲地高20 m，丙地比甲地低30 m，列式表示乙、丙兩地的海拔高度，并比較這兩地的高度差．

教學理解：這里的先安排列式表示乙、丙兩地的海拔高度還是為比較兩地高度差做的必要鋪墊式問題，在此鋪墊設問基礎上可以作差比較，從而運用整式加減可以合并同類項，消去h，得到兩地高度差是一個常數．這個問題的在小學階段也曾出現(xiàn)過，比如一道相對較有難度的小題習題是：已知乙地比甲地高20 m，丙地比甲地低30 m，請比較這兩地的高度差．小學生當時的處理方法是算術方法，直接列式20+30=50．但是這種算式的道理解釋不如上面的“案例4”來得更好理解．這也就是說，隨著學習的深入，新概念、新工具的引入，過去曾經理解有困難的問題，可以獲得更加自然、簡單、更有說服力、更具推廣性的處理．這也正是我國著名數學家李大潛院士指出的“數學愉悅感”的源泉．

案例5(摘選自《整式加減》)把(a+b)和(x+y)各看成一個整體，對下列各式進行化簡：

(1) 4(a+b)+2(a+b)-(a+b);

(2) 3(x+y)2-7(x+y)+8(x+y)2+6(x+y).

教學理解：“看成整體”是一種十分重要的數學能力或處理問題的著眼點，從七年級《整式加減》開始，教材上就這樣設計習題，引導師生重視“看成整體”的解題策略．這方面的題例有很多，這里可分別列出以下幾道體現(xiàn)“看成整體”的一些題例，看看它們在不同年級的考查形式是怎樣的？

例1：(七年級)如圖2，數軸上點A，B分別對應數a，b．其中a<0，b>0．

圖2

若該數軸上另有一點M對應著數m．當m=2，b>2，且AM=2BM時，求代數式a+2b的值．

解讀：這里雖然a，b都沒有給出具體的數值，但是根據“形”(線段之間)對應的數量關系，可以列出它們對應的等式(運用數軸上兩點之間距離公式)，再進行等式變形即可整體獲得a+2b的值．

例2：(八年級)我們知道，可以利用“楊輝三角”展開(1-2x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，那么代數式a1+a2+a3+a4=．

解讀：如果“真的”利用“楊輝三角”展開后再求代數式的值，用時較多，如果能想到賦兩個特殊值0，1，分別代入原等式，就可整體求解，快速解答．這里雖然是一種技巧解法，卻也是認真觀察問題的題設與結論的特點，而獲得的一種優(yōu)解、簡解．在這里，眼力的高低決定了算法的繁簡．

2 關于“含參”問題教學的進一步思考

第一，研究學段內各冊教材，梳理“含參”問題的分布情況

研究教材是很多老師在開設公開課或階段命題制卷時都會重視的一項基礎研究，然而教材研究還有一個重要的關注點，就是對比研究學段內各冊教材，將各冊教材中都會關注的一些共性問題、經典問題[1]，梳理出來，深入對比研究．像上文我們關注的“含參”問題，在不同年級的教材中，都有大量的分布，如果能全面梳理出來，對比研究，就能找準教學的重點，在新授課教學的例題選編、作業(yè)設計、單元命題制卷時，都會重視這類問題的設計和考查．就不會被一些“網紅題”帶偏選題方向，而能夠找準教學的用力點．

第二，把握各年級教學要求，通過“含參”問題來傳遞方法

在研究、梳理出各年級教材中“含參”問題之后，一個重要的研究工作就是要對比“含參”問題在各年級的教學要求，這樣可以在作業(yè)設計時做好選題改編的難度控制，既不要人為拔高，也不要用大量雷同的同類題讓優(yōu)秀學生“空轉”訓練．此外，另一個選題與講評的重要追求是，通過這些“含參”問題的訓練來向學生傳遞解題方法，比較重視“回到定義去解題”，重視“數形結合”，重視“分類討論”，等解題思想方法．

第三，重視復習課選題研究，“含參”問題可作為復習主線

復習課有很多類型，比如單元復習、章末復習、期中復習、期末復習、中考一輪復習、中考二輪復習、中考專題復習等等，這些不同階段的復習課中，往往也會出現(xiàn)“含參”問題的身影，但是如果將“含參”問題作為一個復習主線進行構思，研究“含參”微專題復習課就是值得嘗試的一類課型了．比如，在七年級期末復習時，“含參”微專題復習課就要兼顧“含參”問題在不同章節(jié)中的分布，比如有理數中“含參”問題有哪些類型，比如整式加減或一元一次方程中“含參”問題，再比如以“含參”問題“聯(lián)通”不同章節(jié)的綜合題，等等．當然，這樣的微專題復習課目前在中考復習階段比較多見，在七、八年級的階段復習課中還值得進一步研究．