繆 雨

(福建省福安市城北中學(xué)，福建福安，355000)

根據(jù)“雙減”政策對(duì)于中小學(xué)提出了“減輕學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)”的總體要求，中小學(xué)學(xué)校要完善作業(yè)管理辦法，統(tǒng)籌從全學(xué)科出發(fā)，合理調(diào)控作業(yè)結(jié)構(gòu)，減少作業(yè)總量.但對(duì)于中學(xué)生而言，面臨著中考這一“人生分水嶺”，又不得不加大加深學(xué)習(xí)的投入，大量刷題，以應(yīng)對(duì)層出不窮的考題.以數(shù)學(xué)為例，每年的中考試題都在求新求變中考查學(xué)生的“思維能力”，如果學(xué)生沒(méi)有進(jìn)行重復(fù)大量的訓(xùn)練，根本無(wú)法在2個(gè)小時(shí)內(nèi)完成大部分的試題，更不要說(shuō)解決多達(dá)20分值的填選解答壓軸題.

本文將通過(guò)“圖何來(lái)，解何去”這個(gè)確定性思想讓學(xué)生學(xué)會(huì)通過(guò)繪制圖形的過(guò)程來(lái)尋找解題方法.這樣既能鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，又能有效地思考解決問(wèn)題的方法，在減少學(xué)生作業(yè)量的基礎(chǔ)上提高學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦的主觀能動(dòng)性.下面結(jié)合初一、初二、初三、中考試題中4道例題的解決方法來(lái)談?wù)勥@方面的思考與實(shí)踐.

1 經(jīng)構(gòu)圖過(guò)程，尋解題思路

例1如圖1，將一張長(zhǎng)方形的紙片ABCD沿EF折疊，CE交AF于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作GH∥EF，交線段BE于點(diǎn)H.說(shuō)明GH平分∠AGE．

圖1-1

圖1-2

例題分析：本題若在圖1-1中解決問(wèn)題，那么為了判斷GH平分∠AGE而進(jìn)行角的推導(dǎo)時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)無(wú)法運(yùn)用到題目中最重要的條件—折疊，這時(shí)只需補(bǔ)齊翻折前的部分，如圖1-2由AD′∥BC′可得∠AGE=∠C′EG，再由EF平分∠C′EG、GH∥EF，即可說(shuō)明GH平分∠AGE，問(wèn)題得解.

就學(xué)生的視界與正常的思維方式，必定只著眼于圖1-1中的角進(jìn)行推導(dǎo).因此在教學(xué)中應(yīng)要求學(xué)生思考：圖1-1是如何得到的，翻折前四邊形CDFE的位置在哪？此時(shí)學(xué)生畫(huà)出四邊形C′D′FE后必能根據(jù)圖形直觀通過(guò)翻折的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)EF平分∠C′EG，進(jìn)而解決問(wèn)題.

根據(jù)確定性思想，當(dāng)我們解決一些復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵就是要尋找確定這個(gè)問(wèn)題的所有條件.它們往往就是能不能順利解決問(wèn)題的突破口.這是解題、審題的一種重要思考方式及策略.也就是所謂的解題意識(shí)，只有先樹(shù)立了這樣的解題意識(shí)，才能談解題能力的提升與積累.然而筆者以為只通過(guò)讀題學(xué)生不容易發(fā)現(xiàn)決定問(wèn)題的所有對(duì)應(yīng)條件，而讓學(xué)生通過(guò)題目重新繪制圖形不但能找到這些條件，而且能察覺(jué)題中隱含的信息，讓輔助線的生成變得必然且自然.

例2已知四邊形ABCD形狀如圖2-1所示，其中∠A=60°，AB⊥BC，AD⊥CD，AB=2，CD=1，求AD、BC的長(zhǎng)．

圖2-1

圖2-2

圖2-3

例題分析：本題通過(guò)確定性思想可以有多種解法，例如圖2-2和圖2-3中構(gòu)造一線三直角來(lái)確定圖形點(diǎn)、線、角的位置可以很快解決問(wèn)題.

圖2-4

圖2-5

圖2-6

但這些方法對(duì)學(xué)生分析條件運(yùn)用模型的能力提出較高的要求.筆者認(rèn)為延長(zhǎng)AD、BC構(gòu)造出Rt△ABE是最本質(zhì)的解法，然而如何讓學(xué)生能夠想得到呢？這里只要讓學(xué)生繪制出符合條件的四邊形ABCD，學(xué)生必然有了構(gòu)造△ABE的意識(shí).首先由于AB的長(zhǎng)和∠A、∠B的度數(shù)是確定的，因此能畫(huà)出來(lái)的部分如圖2-4所示.接下來(lái)因?yàn)镃D的長(zhǎng)度是確定的且要求CD垂直于AH，那么我們可以如圖2-5所示讓三角板一直角邊與AH重合，讓三角板沿AH方向平移，直到三角板另一直角邊在射線AH、BG間的線段長(zhǎng)度符合CD的長(zhǎng)時(shí)停止平移，則此時(shí)CD的位置也就確定，四邊形ABCD也就繪制完成.以上構(gòu)圖過(guò)程中不論是如圖 2-4中的畫(huà)射線AH、BG，還是如圖2-5中的平移三角板，都讓學(xué)生感受到讓射線AH、BG繼續(xù)延展的自然過(guò)程，到這里必然會(huì)畫(huà)出如圖2-6的Rt△ABE，回到了學(xué)生最熟悉解三角形部分.讓學(xué)生深刻感受到一個(gè)確定的元素是如何確定下來(lái)的，就是怎么求解的思想.

圖3-1

例題分析：本題∠BAC是確定的，AE、EC的長(zhǎng)度也是確定的，因此可以繪制如圖3-2.因?yàn)辄c(diǎn)F是△ABC的外心，則DE⊥AB于點(diǎn)D，且D是AB中點(diǎn)，所以可以依次確定點(diǎn)D與點(diǎn)B的位置，進(jìn)而確定AB的長(zhǎng)度，繪制出△ABC如圖3-3.點(diǎn)E的位置是確定的，求EF長(zhǎng)的關(guān)鍵是確定點(diǎn)F的位置，而點(diǎn)F是△ABC的外心，那就必需再繪制△ABC的邊AC或BC的垂直平分線，與DE的交點(diǎn)就是點(diǎn)F.因?yàn)锳C的長(zhǎng)度是確定的，所以AC的垂直平分線也是確定的，與DE的交點(diǎn)F也就確定了，則EF必可求.通過(guò)重新繪制本題的圖形，堅(jiān)定了學(xué)生解決問(wèn)題的信心，更重要的是讓隱藏起來(lái)的線FG必然的顯現(xiàn)出來(lái)，使添加輔助線變的自然而然.

圖3-2

圖3-3

圖3-4

在初中三年的教學(xué)中，一種好的思維方式只教學(xué)生一次是不夠的，需要教師在不同的階讓學(xué)生反復(fù)經(jīng)歷.“反復(fù)經(jīng)歷、深化認(rèn)識(shí)”，既是對(duì)學(xué)生不同學(xué)習(xí)階段的客觀要求，也是促進(jìn)學(xué)生積累經(jīng)驗(yàn)、提升解題能力的必經(jīng)之路.

通過(guò)以上這3道例題，讓學(xué)生分階段感受當(dāng)解題遇到困難時(shí)，經(jīng)歷回溯圖形的繪制過(guò)程，分解或組合條件思考能得到什么，即分析確定的量與確定的關(guān)系，將所知與問(wèn)題相結(jié)合，發(fā)現(xiàn)隱藏的信息，找尋解題思路.

一個(gè)問(wèn)題有多種解法固然能提高思維的廣度，但多個(gè)問(wèn)題歸于一種解法更為重要，這不僅減少學(xué)生的課業(yè)量更是有效提高學(xué)生的思維的高度，達(dá)到“解一題，會(huì)一類，通一片”.

2 多視角回溯繪圖，究解題方法

一些經(jīng)過(guò)大量刷題訓(xùn)練的學(xué)生確實(shí)“見(jiàn)多識(shí)廣”,但是他們對(duì)概念、定理定律和公式法則這些抽象的東西沒(méi)有深入琢磨和思考，造成抽象思維很難建立起來(lái).特別的，這些學(xué)生只是機(jī)械的記憶一些解題技巧和方法，卻缺失了分析、思考問(wèn)題的能力.

圖4-1

圖4-2

圖4-3

這些學(xué)生通過(guò)模仿費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題構(gòu)造旋轉(zhuǎn)或許能解決問(wèn)題，但其中構(gòu)造什么、怎樣構(gòu)造、為什么要構(gòu)造不甚了了，特別是解題時(shí)必然會(huì)遺漏本題的多種結(jié)論.接下來(lái)對(duì)本題通過(guò)回溯圖形的繪制過(guò)程進(jìn)行定性分析

圖4-4

如圖4-5，繪制∠BCD=∠ABP，由 tan∠ABP=tan∠ACB=2，即點(diǎn)A在射線CD上.

圖4-5

圖4-6

綜合點(diǎn)A即在⊙C′上又在射線CD上，可得點(diǎn)A為⊙C′與射線CD的交點(diǎn).

由圖象發(fā)現(xiàn)圓與射線有2個(gè)交點(diǎn)，說(shuō)明本題滿足條件的AC的長(zhǎng)有2個(gè).當(dāng)然由于學(xué)生繪制圖象不一定準(zhǔn)確，但當(dāng)出現(xiàn)這種情況下肯定會(huì)思考直線與圓的位置關(guān)系，察覺(jué)本題不能只按題目原圖解決問(wèn)題，而要思考是否有不同解.

如圖4-6，當(dāng)圖形繪制完成之后自然形成一個(gè)常見(jiàn)的旋轉(zhuǎn)變換的幾何模型，那么連接CC′，在△ACC′中，CC′、AC′、∠ACC′都是確定的，這是由于“邊邊角”的條件，因此可得兩個(gè)AC的值，這也與所繪制的結(jié)果相符合.

圖4-7

圖4-8

圖4-9

3 反思“繪圖解題”，鍛煉深度思維

解題要“瞻前又顧后”，解題后進(jìn)行反思.簡(jiǎn)單的題目就琢磨其蘊(yùn)含的基本圖形，難題就想解決這個(gè)問(wèn)題的方法和策略.把握住思想和方法，提煉出對(duì)未來(lái)解題有指導(dǎo)作用的信息.

反思“回溯圖形繪制進(jìn)行解題”的方法，發(fā)現(xiàn)不但對(duì)數(shù)學(xué)題目本身及解題方法的重新認(rèn)識(shí)，而且在繪制圖形的過(guò)程中看到本題用到哪些知識(shí)、什么方法，這些知識(shí)與方法是如何組合在一起的，從中鞏固概括出的基礎(chǔ)知識(shí)、邏輯結(jié)構(gòu)等.同時(shí)繪制圖形直觀展現(xiàn)了確定問(wèn)題源的條件，支持學(xué)生平移、旋轉(zhuǎn)、翻折，讓圖形更生動(dòng)、學(xué)生的思維更深入，更恣意伸展！