董坤烽

（1.云南建投第一勘察設(shè)計有限公司，云南 昆明 650031）

目前，相關(guān)學(xué)者對礦區(qū)地表沉降動態(tài)預(yù)計的研究從不同方面提出多種方法，如構(gòu)建灰色模型和時間函數(shù)模型，或以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、卡爾曼濾波等智能算法構(gòu)建的開采陷預(yù)測模型[1-6]。本文為使預(yù)測模型符合礦區(qū)地表下沉規(guī)律，對小波去噪預(yù)處理得到的觀測數(shù)據(jù)建立灰色Verhulst模型來實現(xiàn)。灰色Verhulst模型與灰色GM（1，1）模型類似，但是根據(jù)礦區(qū)開采地表沉陷規(guī)律可知，下沉-時間曲線呈“S”形變化，而由GM(1,1)模型表達(dá)式可知預(yù)測趨勢為指數(shù)式變化，不符合礦區(qū)地表沉陷規(guī)律，因此采用對飽和狀態(tài)的非線性序列進(jìn)行較好預(yù)測的灰色Verhulst模型。

1 小波閾值去噪

小波閾值去噪的基本原理就是設(shè)置一個閾值處理高頻噪聲信號，其中大于該閾值的小波系數(shù)的有用信號進(jìn)行收縮和保留；對小于該閾值的小波系數(shù)的噪聲進(jìn)行剔除[2]。對于含噪聲的一維信號模型可以表示為：

式中，s(t)為原始信號；n(t)為方差是σ2的高斯白噪聲，服從N(0，σ2)。

小波閾值去噪的基本思想在于：①選定小波基函數(shù)對信號f(t)多層分解得到小波系數(shù)；②采取一定的閾值函數(shù)處理得到新的小波系數(shù)；③小波重構(gòu)獲得去噪信號。

1.1 小波閾值函數(shù)

當(dāng)信號分解后，需要對小波系數(shù)進(jìn)行閾值處理，常用的閾值函數(shù)分為硬閾值函數(shù)與軟閾值函數(shù)。

硬閾值函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

由于軟硬閾值函數(shù)均存在一定程度的不足，因此相關(guān)學(xué)者構(gòu)造加權(quán)平均閾值函數(shù)，既能克服硬閾值函數(shù)中不連續(xù)問題，也能減少軟閾值函數(shù)中的恒定偏差[7]。

式中，μ為加權(quán)因子，一般為0.5，本文采用固定閾值[8]。

式中，σ為第j層小波變換后的均方差。

1.2 分解層數(shù)與去噪效果評價指標(biāo)

信號的分解層數(shù)越多對信噪分離越有利，但是對于信號重構(gòu)來說，隨著分解層數(shù)的增加，信號重構(gòu)的誤差也會增加[9]。通常一段長度為M的信號其分解層數(shù)n為：

式中，小波閾值去噪效果通過信噪比SNR與均方差RMSE來衡量。

式中，f(i)為原始信號；為去噪后信號。

一般來說，均方根差越小、信噪比越高，去噪效果越好。

2 灰色Verhulst模型

設(shè)原始監(jiān)測數(shù)據(jù)序列為：

通過對原始數(shù)據(jù)累加生成1-AGO序列。

與GM(1,1)模型的建模方法相同步驟[10～11]，得到灰色Verhulst模型一階白化非線性微分模型。

式中，a，b為灰色Verhulst模型待計算參數(shù)。

按最小二乘法則解得待求參數(shù)估值。

將a，b代入微分方程得到灰色Verhulst模型時間響應(yīng)序列。

最后還需要還原數(shù)列得到模型的預(yù)測值。

建立半?yún)?shù)灰色Verhulst模型時也需要進(jìn)行模型檢驗，驗證所建立的模型是否符合實際情況，灰色模型精度檢驗如表1所示[12]。

表1 灰色模型精度檢驗對照表

3 算例分析

礦區(qū)沉陷變形監(jiān)測數(shù)據(jù)來源于某礦區(qū)西九采區(qū)回采工作面C觀測線98號測點(diǎn)，共計14期累計沉降觀測數(shù)據(jù)（表2）。

表2 C觀測線98號監(jiān)測點(diǎn)累計沉降值

3.1 基于小波閾值去噪的數(shù)據(jù)處理

1）小波基函數(shù)與分解層數(shù)確定?？紤]到礦區(qū)觀測點(diǎn)沉降數(shù)據(jù)的變化特點(diǎn)以及小波基函數(shù)的數(shù)學(xué)特性，本文選取能處理離散小波變換且具有正交性和緊支性的SymN小波基。SymN小波基中N的取值對去噪效果有影響。為確定N的取值，首先確保分解層數(shù)與閾值函數(shù)統(tǒng)一，通過去噪后的信噪比和均方差進(jìn)行對比，由表3可得出N=4去噪效果最好。

表3 Sym N小波基函數(shù)對比

根據(jù)分解層數(shù)的經(jīng)驗公式，在N=4的前提下進(jìn)行1～3層分解，對比各層分解后得到的信噪比和均方差，確定本次監(jiān)測數(shù)據(jù)選取Sym4小波1層分解。

3.2 閾值函數(shù)確定

基于Sym4小波1層分解，分別選取硬閾值、軟閾值以及加權(quán)平均閾值函數(shù)對噪聲信號進(jìn)行處理并進(jìn)行信號重構(gòu)，由表4可知，通過3種閾值函數(shù)去噪信號的信噪比和均方差對比，加權(quán)平均閾值函數(shù)處理得到的去噪信號效果最佳。

表4 閾值函數(shù)去噪效果對比

從圖1也可以看出，基于小波閾值去噪的數(shù)據(jù)與原始觀測數(shù)據(jù)的變化趨勢一致，且經(jīng)過閾值去噪的預(yù)處理，削弱了某些因素造成的誤差影響，為建立灰色Verhulst模型提高了精準(zhǔn)度與可靠性。

圖1 原始數(shù)據(jù)與去噪數(shù)據(jù)效果對比

3.3 灰色Verhulst模型建立

根據(jù)礦區(qū)地表沉降的呈現(xiàn)S型曲線變化特點(diǎn)，將監(jiān)測數(shù)據(jù)序列建立預(yù)測模型，為驗證灰色Verhulst模型的預(yù)測精度，以前10期為樣本數(shù)據(jù)建立了表5所示的幾種預(yù)測模型，預(yù)測結(jié)果以及殘差值如表6所示。

表5 預(yù)測模型方案

表6 地表沉降預(yù)測模型結(jié)果對比表

通過表5對礦區(qū)地表沉降的數(shù)據(jù)的相關(guān)計算以及圖2的曲線圖對比分析可知：

圖2 沉降預(yù)測模型對比圖

1）對于礦區(qū)地表變形監(jiān)測數(shù)據(jù)的變化特點(diǎn)，由于GM（1，1）模型屬于指數(shù)式變化，因此前四期數(shù)據(jù)預(yù)測較為準(zhǔn)確，但是隨著觀測次數(shù)增加會導(dǎo)致誤差逐漸增大，對該數(shù)據(jù)序列不適用于建立預(yù)測模型。

2）觀測數(shù)據(jù)無論是否經(jīng)過小波閾值去噪處理，灰色Verhulst模型預(yù)測模型顯示的數(shù)據(jù)變化趨勢與原始觀測數(shù)據(jù)大致相同，說明灰色Verhulst模型適用于該礦區(qū)地表沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)。

3）經(jīng)計算對比可知，方案2預(yù)測模型的誤差絕對平均值為55.429 mm，方案4預(yù)測模型的誤差絕對平均值為48.357 mm，因此經(jīng)過小波閾值去噪建立灰色Verhulst預(yù)測模型精度更高。經(jīng)過灰色精度檢驗表驗證，模型精度為Ⅰ級。

4 結(jié)語

相對于GM(1,1)模型，灰色Verhulst模型針對礦區(qū)地表變化特點(diǎn)建立的預(yù)測模型具有明顯優(yōu)勢。為了削弱觀測噪聲的影響，利用小波閾值去噪的方法對觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理能大大提高灰色Verhulst模型的預(yù)測精度，提高了其在工程應(yīng)用中的適用性。本文建立的小波去噪與灰色Verhulst模型組合模型應(yīng)用于礦區(qū)地表沉降監(jiān)測中具有可行性。但本文仍有不足之處，如閾值門限設(shè)定為固定值會造成一定程度的信號損失，不同的樣本數(shù)據(jù)的數(shù)目會影響預(yù)測精度，有待于進(jìn)一步研究。