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        淺論函數(shù)奇偶性的判斷方法

        2022-10-31 14:37:48335500江西省萬(wàn)年縣萬(wàn)年中學(xué)
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年9期
        關(guān)鍵詞:定義方法

        335500 江西省萬(wàn)年縣萬(wàn)年中學(xué) 徐 廣

        335500 江西省萬(wàn)年縣萬(wàn)年一中 李 敏

        函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì),也是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn),更是廣大高中生的易錯(cuò)點(diǎn).學(xué)好函數(shù)的奇偶性一直是廣大高中生的訴求,要掌握好函數(shù)奇偶性的判斷方法,可以從以下三個(gè)方面入手.

        一、 關(guān)于函數(shù)奇偶性的定義

        北師大版高中數(shù)學(xué)教材中關(guān)于函數(shù)奇偶性的定義簡(jiǎn)述如下.

        設(shè)函數(shù)y=f(x),x∈I,且對(duì)任意x∈I,恒有-x∈I(即定義域要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱),(1)若f(-x)=-f(x),則稱y=f(x)為奇函數(shù);(2)若f(-x)=f(x),則稱y=f(x)為偶函數(shù).

        上述定義從理論上說(shuō)明,定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)前提.相當(dāng)一部分學(xué)生常常忽視所給函數(shù)的定義域,直接用函數(shù)奇偶性的判別式確定其奇偶性,很容易得出錯(cuò)誤的結(jié)論.

        錯(cuò)解:由題意可得F(x)=x2,從而有F(-x)=F(x),所以y=F(x)為偶函數(shù).

        評(píng)析:上述解答沒(méi)有求出函數(shù)的定義域,忽視了判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

        正解:因?yàn)閥=F(x)的定義域?yàn)?-∞,1)∪(1,+∞),不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以y=F(x) 不具有奇偶性.

        因此,教師在講授新課時(shí),一定要強(qiáng)調(diào)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的重要性與先決性.

        評(píng)析:上述解法沒(méi)有考慮0是否屬于f(x)的定義域,而是默認(rèn)f(x)在x=0處有定義.

        解析:注意到函數(shù)的定義域要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,已知x≠-2且x≠a,所以要保證定義域?qū)ΨQ,則a=2,這是f(x)為奇函數(shù)的必要條件,經(jīng)驗(yàn)證,符合題意.

        二、 函數(shù)奇偶性的四則運(yùn)算合成

        在掌握了初等函數(shù)的奇偶性后,對(duì)于給定的復(fù)雜函數(shù)的奇偶性,往往不需要直接用定義方法來(lái)證明或判斷,而是用合成方法處理.

        設(shè)在公共定義域內(nèi),函數(shù)f(x)和f0(x)為奇函數(shù),而g(x)與g0(x)為偶函數(shù),k,c為常數(shù),則有如下結(jié)論.

        (1)當(dāng)k≠0時(shí),y=kf(x)為奇函數(shù),y=kg(x)為偶函數(shù).特別地,當(dāng)k=0時(shí),y=kf(x)和y=kg(x)既是奇函數(shù)也是偶函數(shù).

        (2)當(dāng)c≠0時(shí),y=f(x)+c不是奇函數(shù),y=g(x)+c為偶函數(shù).

        (3)y=f(x)±f0(x)為奇函數(shù),y=g(x)±g0(x)為偶函數(shù).

        (5)y=f(x)f0(x)為偶函數(shù),y=g(x)g0(x)為偶函數(shù).

        (6)y=f(x)g(x)為奇函數(shù).

        (7)設(shè)h(x)=kf(x)+cg(x)(其中f(x)不為偶函數(shù),g(x)不為奇函數(shù)),若h(x)為奇函數(shù),則c=0;若h(x)為偶函數(shù),則k=0.

        例4判斷下列函數(shù)的奇偶性.

        例5設(shè)F(x)=x3+(t-1)x2為R上的奇函數(shù),求實(shí)數(shù)t的值.

        解:由題意可得t-1=0,即t=1.

        這里可以直接省去用F(-1)=-F(1)計(jì)算得出結(jié)果,或者由計(jì)算稍微復(fù)雜的F(-x)+F(x)=0推導(dǎo)得到結(jié)果.

        分析:因?yàn)閒(x)在x=0處有定義,所以f(0)=0,可得a=1,所以分子為x,是奇函數(shù),而f(x)為奇函數(shù),所以分母x4+bx+1必須為偶函數(shù),即有b=0.

        這里主要應(yīng)用了函數(shù)y=0既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)的性質(zhì),在判斷加減復(fù)合的過(guò)程中,將“雜項(xiàng)”變換為常數(shù)0,消除它的影響.

        三、 復(fù)合函數(shù)的奇偶性

        對(duì)于復(fù)合函數(shù)的奇偶性,也可以用復(fù)合法則進(jìn)行判斷.

        設(shè)函數(shù)y=f(t)與t=g(x)分別為復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的外層函數(shù)(簡(jiǎn)稱外函數(shù))和內(nèi)層函數(shù)(簡(jiǎn)稱內(nèi)函數(shù)),則y=f[g(x)]的奇偶性如表1所示.

        表1

        由奇函數(shù)和偶函數(shù)的性質(zhì),可知奇函數(shù)中自變量帶有負(fù)號(hào)可以向外提出,而偶函數(shù)自變量中的負(fù)號(hào)不能向外提出,即可內(nèi)消.

        因此,可以歸納出判斷復(fù)合函數(shù)奇偶性的方法.首先,判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;其次,不論是幾層復(fù)合函數(shù),一旦有一層為偶函數(shù),則復(fù)合函數(shù)為偶函數(shù),否則為奇函數(shù).

        例7判斷下列函數(shù)的奇偶性.

        (1)f(x)=sin(x3-x);(2)g(x)=cos(x3+x);(3)h(x)=|tanx|.

        這種方法方便學(xué)生在審題時(shí)確定函數(shù)的奇偶性,但在處理具體問(wèn)題時(shí),一定要確認(rèn)其定義域關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱性.

        四、 函數(shù)的局部奇偶性

        對(duì)于奇(偶)函數(shù)平移后得到的新函數(shù),在此將其稱為具有局部奇偶性函數(shù),常用分離方法處理這類問(wèn)題.

        例8設(shè)函數(shù)f(x)=asinx-bx3+1,且f(3)=5,求f(-3)的值.

        分析:對(duì)于函數(shù)f(x)=asinx-bx3+1,其中asinx-bx3為奇函數(shù),y=f(x)的圖像可由g(x)=asinx-bx3的圖像向上平移1個(gè)單位得到.要求f(-3),關(guān)鍵要求出g(-3)的值,而g(-3)=-g(3).顯然,g(3)=f(3)-1.

        解:設(shè)g(x)=asinx-bx3,則f(x)=g(x)+1,所以f(3)=g(3)+1=5.

        從而,g(3)=4,g(-3)=-g(3)=-4,則f(-3)=g(-3)+1=-3.

        綜上可知,要熟練掌握函數(shù)的奇偶性,不但要深刻理解奇偶性的定義,而且要能領(lǐng)會(huì)奇偶函數(shù)的本質(zhì)特征.

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