景元萍，許 超，魏 巍

（洛陽理工學(xué)院 數(shù)學(xué)與物理教學(xué)部，河南 洛陽 471000）

引言

2020年6月，教育部印發(fā)了《高等學(xué)校課程思政建設(shè)指導(dǎo)綱要》，明確要求全面推進(jìn)高校課程思政建設(shè)，深度挖掘高校各學(xué)科門類專業(yè)課程蘊(yùn)含的思想政治教育資源。“線性代數(shù)”作為理工類本科各專業(yè)的一門公共基礎(chǔ)必修課，是一門非常重要的大學(xué)數(shù)學(xué)課程，在培養(yǎng)高素質(zhì)人才中越來越顯示出其獨(dú)特的、不可替代的重要作用。“線性代數(shù)”為構(gòu)建大學(xué)生的專業(yè)知識(shí)體系奠定了基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生科學(xué)地認(rèn)識(shí)世界，其課程特點(diǎn)決定了其必然要遵循課程思政建設(shè)的教育要求。但是由于“線性代數(shù)”課程內(nèi)容抽象，不易理解，要想水乳交融地引入課程思政有一定的難度，因此目前針對(duì)“線性代數(shù)”教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法的思想政治教育探討并不多。筆者結(jié)合自己在“線性代數(shù)”課程思政建設(shè)過程中的探索與實(shí)踐，分析和探討了挖掘“線性代數(shù)”課程思政元素的思維路徑。

一、開展“線性代數(shù)”課程思政的必要性

（一）課程性質(zhì)的重要性決定課程思政建設(shè)的必要性

課程思政建設(shè)的基礎(chǔ)是課程?！熬€性代數(shù)”是學(xué)生在大學(xué)期間重要的基礎(chǔ)課之一，因此學(xué)生非常重視。課程本身應(yīng)用范圍廣泛，覆蓋自然學(xué)科和社會(huì)學(xué)科的各個(gè)方面，在處理高維問題時(shí)，課程中的向量空間和矩陣運(yùn)算部分更是這些學(xué)科的理論基礎(chǔ)與基本工具。例如：在設(shè)計(jì)飛機(jī)時(shí)，工程師會(huì)使用三維建模和計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)，線性代數(shù)在這個(gè)過程中起到了關(guān)鍵作用，因?yàn)樵谘芯匡w機(jī)表面氣流時(shí)需要對(duì)大型的線性方程組進(jìn)行反復(fù)求解。還有虛擬場(chǎng)景的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)，涉及線性代數(shù)中的透視變換，圖像識(shí)別要用到矩陣變換、矩陣特征值等方面的知識(shí)，等等。由于線性代數(shù)與計(jì)算機(jī)的緊密結(jié)合，使得其在很多前沿領(lǐng)域中都會(huì)被作為基礎(chǔ)性的工具，應(yīng)用廣泛。在這門課程中開展思想政治教育，激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)學(xué)生科技報(bào)國的家國情懷和使命擔(dān)當(dāng)，鼓勵(lì)學(xué)生努力進(jìn)步是非常有必要的。

（二）廣泛的受益學(xué)生群體和恰當(dāng)?shù)恼n程時(shí)間節(jié)點(diǎn)是課程思政建設(shè)的優(yōu)勢(shì)

課程思政建設(shè)的成效在學(xué)生?！熬€性代數(shù)”課程是面對(duì)全校的理工科學(xué)生，教學(xué)受眾面廣，“線性代數(shù)”的教學(xué)時(shí)段為大二上學(xué)期，此階段學(xué)生年齡小，但是經(jīng)過大一階段的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)對(duì)大學(xué)生活有所了解，對(duì)于在陌生的生活環(huán)境中如何與同學(xué)相處、在更為自由的學(xué)習(xí)環(huán)境下如何把握自己、在沒有家長(zhǎng)的情況下遇到事情如何處理等問題已逐漸形成了自己的認(rèn)知。作為“網(wǎng)絡(luò)原住民”的一代，突出個(gè)性、種類繁多的新媒體無時(shí)無刻不在影響著學(xué)生的思考和判斷，所以大二上學(xué)期是一個(gè)關(guān)鍵時(shí)期，尤其需要教師適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)，因此在這個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)開展課程思政教育是必要且重要的。

（三）課程思政建設(shè)能夠促進(jìn)教師教育教學(xué)水平的提升

課程思政建設(shè)的關(guān)鍵在教師。在課程思政建設(shè)中，“課程”與“思政”的關(guān)系應(yīng)當(dāng)是“如春在花，如鹽入味”而非“眼中金屑，米中摻沙”。要達(dá)到潤物無聲的隱性思想政治效果，就需要教師深入、系統(tǒng)、精準(zhǔn)地挖掘和梳理“線性代數(shù)”課程中蘊(yùn)含的課程思政內(nèi)容，因此教師必須通曉課程的發(fā)展歷史，厘清授課知識(shí)體系的來龍去脈；注重知識(shí)點(diǎn)的提煉和升華，能夠講出其背后的數(shù)學(xué)思想；關(guān)注前沿動(dòng)態(tài)，注重傳統(tǒng)知識(shí)點(diǎn)與前沿知識(shí)的結(jié)合。所以，課程思政建設(shè)從另外一個(gè)角度對(duì)教師的教育教學(xué)水平提出了更高的要求，能夠有效促進(jìn)教師教育教學(xué)水平的提升，因此開展課程思政建設(shè)是極其必要的。

二、“線性代數(shù)”課程挖掘思政元素的思維路徑

（一）“線性代數(shù)”與馬克思主義哲學(xué)

從馬克思主義哲學(xué)切入，深入挖掘思政元素，樹立學(xué)生的辯證唯物主義和科學(xué)方法論。數(shù)學(xué)是一門客觀、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖匀豢茖W(xué)，很多概念和方法都體現(xiàn)了豐富的唯物論和辯證法的哲學(xué)思想及科學(xué)方法論。例如，在學(xué)習(xí)“二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型的過程”時(shí)，教師可以引出“對(duì)立和統(tǒng)一”的辯證關(guān)系。切入點(diǎn)：二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型的過程中對(duì)二次型做各種變換得到的標(biāo)準(zhǔn)型從形式上來看往往有很大差異，表現(xiàn)出形式上的對(duì)立性；從本質(zhì)上來看對(duì)二次型進(jìn)行變換，將問題簡(jiǎn)單化，把不一樣的形式統(tǒng)一成一個(gè)規(guī)范型，利于分析問題的本質(zhì)，便于問題的解決。同時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)型中正負(fù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)保持一致，即正定性保持不變，從而在幾何形態(tài)上表示同一種類型，體現(xiàn)了實(shí)質(zhì)上的統(tǒng)一性?！熬€性代數(shù)”課程中還有很多概念，如方程組的有解和無解、向量組的相關(guān)與不相關(guān)、矩陣的可逆與不可逆、方陣的可對(duì)角化與不可對(duì)角化都可以認(rèn)為是對(duì)立和統(tǒng)一的結(jié)合。由于對(duì)立所以能由此及彼，又因統(tǒng)一所以能互為利用，構(gòu)成了線性代數(shù)層次清晰、內(nèi)容豐富的知識(shí)體系。在學(xué)習(xí)“矩陣的秩”時(shí)，教師可以引出“透過現(xiàn)象看本質(zhì)”的哲學(xué)思想。切入點(diǎn)：矩陣的秩為排除矩陣中冗余信息后，真正起作用的列向量的個(gè)數(shù)。計(jì)算秩的目的不在于數(shù)字本身，而在于洞察其背后的意義。在學(xué)習(xí)“向量組的極大線性無關(guān)組”時(shí)，教師可以引入“抓住主要矛盾”的哲學(xué)思想。切入點(diǎn)：只要找出向量組的極大線性無關(guān)組，就能夠把握該向量組的核心特征。從這個(gè)意義上來講，尋求向量組的極大線性無關(guān)組充分體現(xiàn)了唯物辯證法中抓住主要矛盾的哲學(xué)思想。教育學(xué)生在面對(duì)復(fù)雜的問題時(shí)，首先要抓住主要矛盾，把它作為解決一切矛盾的根本點(diǎn)和出發(fā)點(diǎn)。在學(xué)習(xí)“矩陣的分塊法”時(shí)，教師可以引出“笛卡爾方法論”。切入點(diǎn)：矩陣太大時(shí)，不適合存儲(chǔ)在高速計(jì)算機(jī)內(nèi)存中，將矩陣分塊進(jìn)行矩陣運(yùn)算更有效，好比將一頭豬放入冰箱，不好放，但分成若干小塊再放則容易得多，這與積分思想也有共通之處，這就是“笛卡爾方法論”：將研究的復(fù)雜問題，盡量分解為多個(gè)比較簡(jiǎn)單的小問題，一個(gè)一個(gè)地分開解決。在學(xué)習(xí)“n階行列式的定義式”時(shí)，教師可以引入“不能產(chǎn)生思維定式”的科學(xué)方法論意義。切入點(diǎn)：一、二、三階行列式均有對(duì)角線法則，四階及以上不滿足對(duì)角線法則；類似的一、二、三維空間在現(xiàn)實(shí)中均有對(duì)應(yīng)，但四維及以上無現(xiàn)實(shí)對(duì)應(yīng)；漢字一、二、三、四不再用堆疊的橫線表示。教育學(xué)生做事情要打破思維定式，具備質(zhì)疑精神和創(chuàng)新精神。

（二）“線性代數(shù)”與人生觀、價(jià)值觀

從數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)切入，挖掘思政元素，樹立學(xué)生正確的人生觀、價(jià)值觀。從“線性代數(shù)”的具體知識(shí)點(diǎn)出發(fā)，提煉數(shù)學(xué)思想，將講授的內(nèi)容上升到哲學(xué)層面，實(shí)現(xiàn)與德育教育的連接，在傳授知識(shí)的同時(shí)塑造價(jià)值觀。例如，在講解定理“若向量組A可以由向量組B線性表出，則R（A）≤R（B）”時(shí)，提煉其中的數(shù)學(xué)思想：定理說明，不論向量組A與B自身是線性相關(guān)還是線性無關(guān)，用秩的觀點(diǎn)來看，向量組的本質(zhì)只能以多生少。再升華進(jìn)行德育教育：從秩的觀點(diǎn)來看，向量組的本質(zhì)只能以多生少，不能以少生多，自然界里也沒有點(diǎn)石成金、化水為油的捷徑，我們只能厚積薄發(fā)，注重充實(shí)自我，不斷積累，儲(chǔ)備永遠(yuǎn)要比輸出多。在講解向量空間時(shí)，可以引入關(guān)于青蛙的寓言故事，說明討論高維空間的必要性。切入點(diǎn)：一只待在平面里的青蛙，待久了，就以為世界只有平面這么大，不會(huì)了解到還有立體事物的存在。在講解極大線性無關(guān)組的概念“線性空間中擁有向量個(gè)數(shù)最多的線性無關(guān)向量組”時(shí)，指出一個(gè)向量組的極大線性無關(guān)組是其本質(zhì)的部分，對(duì)許多問題的研究起著非常重要的作用。教育學(xué)生要做極大線性無關(guān)組式的人物，發(fā)揮關(guān)鍵的作用，并且不會(huì)被取代。

（三）“線性代數(shù)”與數(shù)學(xué)發(fā)展史

從數(shù)學(xué)發(fā)展史切入，挖掘思政元素，引出中國歷史文化，樹立民族自豪感、文化自信和責(zé)任感。例如，在講解矩陣、矩陣的初等變換及線性方程組理論時(shí)，教師可以介紹數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》。切入點(diǎn)：《九章算術(shù)》是我國古代經(jīng)典的數(shù)學(xué)著作之一，成于公元一世紀(jì)左右，其中的“方程”部分針對(duì)線性方程組提出了分離系數(shù)的表示方法，體現(xiàn)了現(xiàn)在的矩陣思想，同時(shí)使用直除法求解線性方程組，這與初等變換方法本質(zhì)上是一致的，是世界上最早的完整的線性方程組的解法。而西方是在行列式的概念由萊布尼茨正式提出后，在18世紀(jì)由克萊姆給出了求解完整的線性方程組的解法法則（克萊姆法則）。真正利用矩陣的思想方法求解線性方程組，是在19世紀(jì)，高斯消元法由數(shù)學(xué)家高斯命名，由拉布扎比·伊丁特改進(jìn)，發(fā)表于法國，此時(shí)矩陣思想若隱若現(xiàn)，后來英國數(shù)學(xué)家凱萊首次正式提出矩陣的概念，并系統(tǒng)地對(duì)矩陣和矩陣的乘積進(jìn)行了探究，在此之后矩陣才作為一種數(shù)學(xué)研究工具得以推廣和完善，并由英國數(shù)學(xué)家史密斯和道奇森進(jìn)一步應(yīng)用于線性方程組的求解。在講二三階行列式的定義時(shí)，可以用《孫子算經(jīng)》中的“雞兔同籠”問題，引出二三階行列式的定義。通過上述案例，在弘揚(yáng)中國文化的基礎(chǔ)上，增強(qiáng)學(xué)生的文化自信心和民族自豪感，同時(shí)要教育學(xué)生注意到早期中國數(shù)學(xué)的輝煌與近代中國數(shù)學(xué)的沒落，激起他們的民族責(zé)任感。在導(dǎo)言課程中，可以向?qū)W生講解線性代數(shù)中“代數(shù)”二字的譯文來源：1859年，我國數(shù)學(xué)家李善蘭首次把“algebra”譯成“代數(shù)”。李善蘭是我國近代著名數(shù)學(xué)家，在那個(gè)戰(zhàn)亂紛繁、時(shí)事動(dòng)蕩的年代，能夠堅(jiān)持翻譯《幾何原本》《代數(shù)學(xué)》《代微積拾級(jí)》等數(shù)學(xué)書籍，在傳播近代科學(xué)特別是數(shù)學(xué)知識(shí)方面起到了非常重要的作用。教育學(xué)生學(xué)習(xí)李善蘭先生的自律性和個(gè)人意志，以及不為外界環(huán)境左右的心性。

（四）“線性代數(shù)”與科學(xué)家的故事

從科學(xué)家故事切入，挖掘思政元素，引出國家意識(shí)，樹立愛國主義情懷，歌頌自強(qiáng)不息的精神。介紹數(shù)學(xué)家勵(lì)志的人生經(jīng)歷和輝煌學(xué)術(shù)成就，以榜樣激勵(lì)學(xué)生不斷努力，培養(yǎng)學(xué)生追求真理、勇于探索、堅(jiān)持不懈的科學(xué)精神。例如，在講解“矩陣乘法和逆矩陣”時(shí)，我們通常會(huì)引入矩陣在信息加密中的應(yīng)用（密碼學(xué)），此時(shí)可以介紹我國著名密碼學(xué)家、山東大學(xué)的王小云院士。切入點(diǎn)：王小云院士默默耕耘于密碼學(xué)一線，破譯世界兩大頂級(jí)密碼，讓中國人從此揚(yáng)眉吐氣。上課時(shí)也可以穿插介紹無心功名、潛心研究的俄羅斯數(shù)學(xué)家佩雷爾曼；學(xué)有所成后，回國為祖國培養(yǎng)新一代數(shù)學(xué)人才的華羅庚；癡迷數(shù)學(xué)默默無聞半輩子，最終做出重大數(shù)學(xué)突破的華裔數(shù)學(xué)家張益唐；以及陳省身、丘成桐等華裔數(shù)學(xué)家的故事。既增加了課堂趣味，又進(jìn)行了隱性思想政治教育。

（五）“線性代數(shù)”與實(shí)際案例

從實(shí)際案例的背景出發(fā)，挖掘思政元素，厚植愛國主義情懷，增強(qiáng)科技自信。例如，講解計(jì)算行列式的方法時(shí)，介紹我國超級(jí)計(jì)算機(jī)的發(fā)展，樹立科技自信。切入點(diǎn)：直接利用按行（列）展開通過計(jì)算代數(shù)余子式計(jì)算行列式的值不可行，對(duì)于一個(gè)25×25階的行列式，其代數(shù)余子式展開需要超過25!≈1.5×10次乘法運(yùn)算，若超級(jí)計(jì)算機(jī)每秒完成1萬億次乘法運(yùn)算，利用這種方式需要運(yùn)行50萬年，可以展開介紹一下我國的“神威·太湖之光”超級(jí)計(jì)算機(jī)，速度高達(dá)每秒9.3億億次。在講解矩陣乘法時(shí)，可以用地震救災(zāi)物資運(yùn)輸問題作為引例，厚植愛國主義情懷。切入點(diǎn)：制作這個(gè)例子的課件時(shí)，可以用“5·12汶川地震”或者2021年7月鄭州特大暴雨洪災(zāi)等相關(guān)圖片作為配圖，體現(xiàn)中華兒女一方有難、八方支援的優(yōu)良傳統(tǒng)，這樣即便我們不去特意展開，學(xué)生也會(huì)自然感受到中華兒女萬眾一心的精神。也可以用交通網(wǎng)絡(luò)問題作為引例，制作課件時(shí)用中國高鐵線路圖作為配圖，讓學(xué)生通過感受中國高鐵的發(fā)展，激發(fā)民族自豪感。以某課程平時(shí)成績(jī)的計(jì)算為引例，不但有助于學(xué)生對(duì)矩陣乘法的理解，而且可以在求解過程中引導(dǎo)學(xué)生端正學(xué)習(xí)態(tài)度，重視過程學(xué)習(xí)。在講解向量組的線性相關(guān)性時(shí)，可以用在新冠肺炎疫情防控期間中醫(yī)藥治療時(shí)特效藥材的配比問題作為引例，介紹中醫(yī)藥在治療新冠肺炎中的重要作用，培養(yǎng)學(xué)生的愛國主義精神、創(chuàng)新精神、大局觀等。在《特征值與特征向量》這一章，可以在布置作業(yè)時(shí)進(jìn)行社會(huì)主義核心價(jià)值觀的教育。切入點(diǎn)：給學(xué)生布置相對(duì)復(fù)雜的應(yīng)用型問題作業(yè)“動(dòng)力系統(tǒng)與斑點(diǎn)貓頭鷹”，讓學(xué)生利用本章知識(shí)回答“政府是應(yīng)該出臺(tái)新的伐木限制措施，以避免斑點(diǎn)貓頭鷹的滅絕，還是繼續(xù)現(xiàn)有的伐木措施”，并嘗試從生態(tài)學(xué)的角度深入分析，思考習(xí)近平總書記的“兩山理論”，并以小論文的形式完成作業(yè)。

除以上方面外，還有很多可以挖掘思政元素的方面，例如克萊默法則、線性方程組的矩陣表達(dá)形式、對(duì)稱矩陣等概念和方法中都蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱美、形式美和奇異美，可以將線性代數(shù)與美學(xué)結(jié)合起來，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、欣賞和創(chuàng)造美的能力。另外，教師要言芳行潔、以身作則，這是最直接的課程思政。

結(jié)語

“線性代數(shù)”的課程思政建設(shè)較其他課程來講是相對(duì)困難的，只要基層教師能夠發(fā)揮主觀能動(dòng)性，多讀、多看、多想，深入挖掘課程內(nèi)容和教學(xué)方法中的思政元素，“線性代數(shù)”的課程思政建設(shè)同樣能夠做好、做精，將正確的價(jià)值觀、人生觀植入學(xué)生心田，真正起到立德樹人與價(jià)值塑造的作用，與思想政治理論課同向同行，實(shí)現(xiàn)協(xié)同育人的目標(biāo)。