胡榮金，皮家駿，潘世洋，黃永濤，劉曉青

(1. 中鐵水利水電規(guī)劃設(shè)計(jì)集團(tuán)有限公司，江西 南昌 330029； 2. 常州工學(xué)院 土木建筑工程學(xué)院，江蘇 常州213032； 3. 河海大學(xué) 水利水電學(xué)院，江蘇 南京 210098)

拱式渡槽一般由樁基礎(chǔ)、承臺(tái)、排架、拱及槽身等組成，其中排架、拱和樁屬于梁式結(jié)構(gòu)。在采用有限元分析時(shí)，有些研究人員對(duì)所有結(jié)構(gòu)一律采用等參單元來(lái)模擬[1-2]，由于梁的剛度與斷面幾何尺寸之間是高次非線性關(guān)系，因此需要大量的等參單元才能滿足精度要求。用梁（線）單元模擬排架、拱和樁基等結(jié)構(gòu)，則可以用較少的單元獲得較高的精度，但需實(shí)現(xiàn)用梁?jiǎn)卧M的排架、拱與用等參單元模擬的土體、承臺(tái)及槽身之間的轉(zhuǎn)角位移協(xié)調(diào)。廣義位移法為解決這一問(wèn)題提供了途徑，廣義位移是采用已知節(jié)點(diǎn)位移插值求解所得的未知節(jié)點(diǎn)位移[3]。鐘萬(wàn)勰等[4-5]較早利用該方法解決了開(kāi)口薄壁桿件的扭轉(zhuǎn)分析、不可壓縮材料的有限元分析等問(wèn)題。廖雄華等[3]應(yīng)用廣義位移法進(jìn)行了土與結(jié)構(gòu)相互作用的計(jì)算分析。曹廣德等[6-7]采用基于廣義位移法的三維薄殼單元模擬了水工薄壁結(jié)構(gòu)，提高了計(jì)算效率。

廣義位移法中被插值的節(jié)點(diǎn)稱為主節(jié)點(diǎn)，通過(guò)插值獲得位移的節(jié)點(diǎn)稱為從節(jié)點(diǎn)。上述文獻(xiàn)中大多將梁、板單元節(jié)點(diǎn)作為主節(jié)點(diǎn)，梁或板上任意節(jié)點(diǎn)作為從節(jié)點(diǎn)。在求解錨桿在邊坡中的加固效應(yīng)、鋼筋對(duì)混凝土裂縫限制作用等問(wèn)題時(shí)，通常將錨桿或鋼筋單元作為從節(jié)點(diǎn)來(lái)處理[8-14]，錨桿或鋼筋只考慮線位移。將梁?jiǎn)卧鳛橹鞴?jié)點(diǎn)的梁?jiǎn)卧獜V義位移法，主要通過(guò)梁?jiǎn)卧奈灰偏@得梁表面的廣義位移從而建立與等參單元之間的位移協(xié)調(diào)。這種方法精度高，但當(dāng)需要模擬的梁?jiǎn)卧^多時(shí)，有限元網(wǎng)格的單元數(shù)會(huì)隨之大大增加。將梁?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)作為從節(jié)點(diǎn)時(shí)，可視梁為埋置于等參單元內(nèi)的單元，故稱之為埋置梁廣義位移法，其網(wǎng)格單元數(shù)可大大減少，計(jì)算效率明顯提高，但帶來(lái)的問(wèn)題是如何獲得梁轉(zhuǎn)角的廣義位移及能否保證計(jì)算精度。

本文從梁?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)作為主節(jié)點(diǎn)的廣義位移公式出發(fā)，推導(dǎo)梁?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)作為從節(jié)點(diǎn)時(shí)，其轉(zhuǎn)動(dòng)位移與所埋置等參單元節(jié)點(diǎn)位移之間的埋置梁廣義位移表達(dá)式。通過(guò)設(shè)置不同的網(wǎng)格尺寸和地基模量，研究討論梁?jiǎn)卧c等參單元之間采用不同主從節(jié)點(diǎn)的計(jì)算模式對(duì)樁基上拱式渡槽結(jié)構(gòu)分析的適用性，并應(yīng)用于某拱式渡槽的受力分析。

1 梁?jiǎn)卧c等參單元之間位移轉(zhuǎn)換的廣義位移法

1.1 梁?jiǎn)卧獜V義法

將梁?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)作為主節(jié)點(diǎn)求解梁內(nèi)任意節(jié)點(diǎn)廣義位移方法簡(jiǎn)稱為梁?jiǎn)卧獜V義位移法。對(duì)于局部坐標(biāo)

系下的梁?jiǎn)卧?，其單元的出口自由度可由式?）表示：

式中：下標(biāo)A、B分別代表梁?jiǎn)卧系膬蓚€(gè)出口端點(diǎn)；u,v,w代表線位移；θ代表轉(zhuǎn)角位移。

梁?jiǎn)卧行暂S上任一點(diǎn)i位移可表示為：

式中：Ni為單元形函數(shù)；N′為形函數(shù)對(duì)軸向的偏導(dǎo)數(shù)。形函數(shù)表達(dá)式如下：

式中：l為梁的長(zhǎng)度。

梁?jiǎn)卧行暂Si對(duì)應(yīng)截面上任一點(diǎn)j的位移可根據(jù)梁的平面變形假設(shè)表述為：

將式（2）代入式（4）得：

式中：TMA和TMB分 別代表主節(jié)點(diǎn)A和B對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)j的廣義位移控制矩陣。

1.2 埋置梁廣義位移法梁?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)的廣義位移

將埋置于等參單元內(nèi)的梁?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)的廣義位移求解方法簡(jiǎn)稱為埋置梁廣義位移法。當(dāng)梁?jiǎn)卧裰糜诘葏卧獌?nèi)時(shí)，假定與梁相連處等參單元節(jié)點(diǎn)位于梁內(nèi)（當(dāng)?shù)葏卧叽巛^大時(shí)這一假定存在一定誤差），則其位移可以用式（4）表述。當(dāng)式（4）成立時(shí)，對(duì)式（4）求導(dǎo)，則對(duì)任一截面，可建立梁截面上轉(zhuǎn)角位移

設(shè)埋置于等參單元的梁?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)集合為：

式中：m為 這類節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)總數(shù)。對(duì)其中任一節(jié)點(diǎn)di可 找出包含該節(jié)點(diǎn)的所有等參單元G：

式中：gi為 包含該節(jié)點(diǎn)的等參單元數(shù)。設(shè)xyz為整體坐標(biāo)系，與節(jié)點(diǎn)di相 連的梁?jiǎn)卧木植孔鴺?biāo)系xˉyˉzˉ 中的xˉ為梁柱單元的軸向，yˉ和zˉ根 據(jù)梁?jiǎn)卧慕孛嫣匦詤?shù)定義（主要是根據(jù)慣性矩Iy、Iz選定）。設(shè)局部坐標(biāo)與整體坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換矩陣為R：

式中：n為 單元ej的節(jié)點(diǎn)總數(shù)。

節(jié)點(diǎn)di的 轉(zhuǎn)動(dòng)位移可表示成單元ej的節(jié)點(diǎn)位移的線性組合形式，根據(jù)式（5）有：

式中：k=1,2,···,n。

節(jié)點(diǎn)的平均平動(dòng)位移和平均角位移為：

因?yàn)閷?duì)整個(gè)系統(tǒng)的求解必須在整體坐標(biāo)系下進(jìn)行，故式（13）、（14）可轉(zhuǎn)換成整體坐標(biāo)下埋置于等參單元內(nèi)的梁?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)廣義位移表達(dá)式：

式中：I為單位矩陣。

2 廣義位移法對(duì)拱式渡槽受力分析的適用性

對(duì)樁基上的拱式渡槽，可以采用梁?jiǎn)卧獜V義位移法或埋置梁廣義位移法與等參單元組合求解其結(jié)構(gòu)受力。顯然，采用埋置梁廣義位移法求解拱、樁、地基與承臺(tái)的共同作用時(shí)，承臺(tái)及地基的有限元網(wǎng)格剖分更加靈活，但由于采用梁?jiǎn)卧M拱或樁等結(jié)構(gòu)時(shí)，其與等參單元相交或埋置于等參單元內(nèi)的梁節(jié)點(diǎn)位移是由等參單元節(jié)點(diǎn)位移間接求解的，因此等參單元的網(wǎng)格尺寸及剛度對(duì)計(jì)算結(jié)果的精度均有直接影響。本文構(gòu)建一個(gè)渡槽簡(jiǎn)化模型，分析其單元網(wǎng)格尺寸及地基模量對(duì)計(jì)算結(jié)果精度的影響，并研究廣義位移法的適用性。

2.1 模型及計(jì)算參數(shù)

為論證梁?jiǎn)卧獜V義法或埋置梁廣義位移法對(duì)樁基上拱式渡槽受力分析的適用性，設(shè)計(jì)一個(gè)包含樁基礎(chǔ)、承臺(tái)及排架的簡(jiǎn)化計(jì)算模型如圖1和2所示。該模型中排架和樁截面尺寸均為2 m×2 m，樁長(zhǎng)20 m，排架高10 m，承臺(tái)長(zhǎng)×寬×高為10 m×6 m×10 m；地基3個(gè)方向計(jì)算范圍均取為50 m?？紤]上部渡槽受槽身自重和風(fēng)力作用，排架頂部受豎直向下和橫向200.00 kN的外力作用。地基的彈性模量和泊松比分別取1.8 GPa和0.3，樁、承臺(tái)及排架的彈性模量和泊松比均取為30 GPa和0.167。為研究埋置梁廣義位移法適用性，對(duì)承臺(tái)及地基水平截面上的單元網(wǎng)格分別采用1、2和4 m等3種不同尺寸，其中1 m單元網(wǎng)格如圖1、圖2所示，并考慮了地基模量變化的影響。具體分析步驟如下：

圖1 渡槽簡(jiǎn)化模型及網(wǎng)格示意圖（單元尺寸：1 m）Fig. 1 Simplified model and grid diagram of aqueduct(grid size： 1 m)

圖2 排架-承臺(tái)-樁基示意及網(wǎng)格圖（1 m網(wǎng)格）Fig. 2 Bent-bearing platform-pile foundation system and grid diagram (1 m grid)

（1）對(duì)反映排架及樁實(shí)際尺寸的2 m單元網(wǎng)格模型，分別進(jìn)行實(shí)體單元有限元法、梁?jiǎn)卧獜V義位移法和埋置梁廣義位移法計(jì)算分析，以此實(shí)際尺寸下的解作為模型基準(zhǔn)解。

（2）網(wǎng)格尺寸影響研究：對(duì)1和4 m單元網(wǎng)格模型，采用埋置梁廣義位移法進(jìn)行計(jì)算分析。通過(guò)與基準(zhǔn)解比較，分析網(wǎng)格尺寸對(duì)埋置梁廣義位移法計(jì)算結(jié)果的影響。

（3）地基模量影響研究：對(duì)各種尺寸網(wǎng)格地基取用3種不同模量：18、180和1 800 MPa，分別采用埋置梁廣義位移法或梁?jiǎn)卧獜V義位移法進(jìn)行計(jì)算分析。

（4）分析計(jì)算結(jié)果，得到梁?jiǎn)卧獜V義位移法或埋置梁廣義位移法的適用條件。

2.2 計(jì)算結(jié)果及分析

圖3和4 為分別采用梁?jiǎn)卧獜V義位移法和埋置梁廣義位移法分析2 m單元網(wǎng)格（結(jié)構(gòu)真實(shí)尺寸）模型的主要計(jì)算結(jié)果。以2 m網(wǎng)格進(jìn)行實(shí)體單元計(jì)算所得的結(jié)果（圖5），其趨勢(shì)與梁?jiǎn)卧Y(jié)果趨勢(shì)一致，在數(shù)值大小上有所不同。

圖3 梁?jiǎn)卧獜V義法2 m網(wǎng)格模型受力Fig. 3 Force diagram of the 2 m model using the generalized displacement method

圖5 2 m網(wǎng)格實(shí)體單元模型受力Fig. 5 Force diagram of the 2 m entity-element model

當(dāng)?shù)鼗Ａ糠謩e為18、180和1 800 MPa時(shí)，采用梁?jiǎn)卧獜V義位移法和埋置梁廣義位移法對(duì)1、2和4 m單元網(wǎng)格模型進(jìn)行分析，表1為不同網(wǎng)格尺寸的梁?jiǎn)卧诓煌鼗Ａ壳闆r下計(jì)算結(jié)果的最值?？梢?jiàn)，不同單元網(wǎng)格尺寸模型的計(jì)算結(jié)果分布一致，僅在數(shù)值大小上有所不同。埋置梁廣義位移法2 m單元網(wǎng)格的計(jì)算結(jié)果與梁?jiǎn)卧獜V義位移法結(jié)果的相對(duì)誤差最小，其次為4 m網(wǎng)格，最次為1 m網(wǎng)格。說(shuō)明當(dāng)單元網(wǎng)格為2 m時(shí)，采用埋置梁廣義位移法，既能有效提高計(jì)算效率，也可保證計(jì)算精度。進(jìn)而可知，地基的單元網(wǎng)格尺寸越接近樁基實(shí)際尺寸，所得結(jié)果誤差越小。此外，加密網(wǎng)格對(duì)相對(duì)誤差的放大效應(yīng)略高于粗網(wǎng)格。

圖4 埋置梁廣義位移法2 m網(wǎng)格模型受力Fig. 4 Force diagram of the 2 m model using the built-in beam generalized displacement method

由表1可知，梁?jiǎn)卧獜V義位移法和埋置梁廣義位移法對(duì)上部排架結(jié)構(gòu)的計(jì)算結(jié)果基本一致；下部樁基結(jié)構(gòu)計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差隨著地基模量的增大而增大。由于樁一般用于軟土地基加固，因此在分析軟土地基中樁的受力時(shí)，可通過(guò)采用合理網(wǎng)格尺寸的埋置梁廣義位移法來(lái)提高建模和計(jì)算效率。

表1 不同單元網(wǎng)格不同地基模量計(jì)算結(jié)果最值比較Tab. 1 Comparison of maximum results of different foundation moduli of different element grids

綜合網(wǎng)格尺寸和地基模量影響分析可得：當(dāng)以上部結(jié)構(gòu)的分析為主時(shí)，可直接采用埋置梁廣義位移法提高計(jì)算效率；當(dāng)需要研究軟基內(nèi)下部結(jié)構(gòu)受力特性時(shí)，可采用地基與樁斷面相當(dāng)?shù)挠邢拊W(wǎng)格并結(jié)合埋置梁廣義位移法來(lái)進(jìn)行計(jì)算分析。

續(xù)表1

3 某拱式渡槽結(jié)構(gòu)受力分析

利用前述渡槽簡(jiǎn)化算例的研究結(jié)果，對(duì)某拱式渡槽做結(jié)構(gòu)靜力分析。某連拱多跨渡槽采用9孔60 m寬（單孔）水平簡(jiǎn)支梁，渡槽由槽身、排架、拱圈及槽墩等結(jié)構(gòu)組成，槽身過(guò)水橫斷面為U形，半徑2.0 m，直墻高3.5 m，側(cè)壁厚0.2 m，底部厚0.4 m，下設(shè)多品排架支撐，排架支撐拱圈上，拱圈采用預(yù)制變截面梁，兩端坐落在槽墩上，底部位于混凝土擴(kuò)大基礎(chǔ)。渡槽示意圖見(jiàn)圖6。根據(jù)渡槽結(jié)構(gòu)圖建立三跨渡槽有限元分析模型如圖7所示，其中排架、拱結(jié)構(gòu)和地基樁采用梁?jiǎn)卧M，其余部分采用空間六面體單元進(jìn)行離散。X軸為順槽向，以指向渡槽下游為正；Y軸為橫向，以迎風(fēng)面為負(fù)、背風(fēng)面為正；Z軸為豎向，以向上為正。模型共劃分25 879個(gè)節(jié)點(diǎn)、20 482個(gè)單元，其中，槽身單元2 640個(gè)，梁?jiǎn)卧?71個(gè)。渡槽槽身預(yù)制混凝土強(qiáng)度等級(jí)為C40，現(xiàn)澆排架柱混凝土強(qiáng)度等級(jí)為C25，槽墩混凝土強(qiáng)度等級(jí)為C25；地基由上自下分為3層，第1層為壤土，第2層為砂壤土，第3層為巖體。各部分材料參數(shù)見(jiàn)表2。槽內(nèi)加大水深2.93 m，橫向風(fēng)荷載根據(jù)《灌溉與排水渠系建筑物設(shè)計(jì)規(guī)范》（SL 482—2011）規(guī)定取值1.2 kPa。計(jì)算工況設(shè)置為施工吊裝和滿水位工況。

表2 各結(jié)構(gòu)材料參數(shù)取值Tab. 2 Material parameters of different structures

圖6 60 m拱式渡槽示意Fig. 6 Diagram of 60 m arch aqueduct

圖7 三跨渡槽模型有限元網(wǎng)格Fig. 7 Finite element mesh of three-span aqueduct model

根據(jù)2.2節(jié)研究，由于主要分析上部結(jié)構(gòu)受力且地基彈性模量不高，因此，采用埋置梁?jiǎn)卧▽?duì)樁基進(jìn)行計(jì)算分析，控制樁基部位的地基網(wǎng)格尺寸（邊長(zhǎng)）為1.2～2.4 m。

表3為各工況計(jì)算結(jié)果最值。圖8為滿水位運(yùn)行工況下的主要結(jié)果，下面詳細(xì)介紹滿水運(yùn)行工況下的計(jì)算結(jié)果。

圖8 滿水位運(yùn)行工況下主要計(jì)算結(jié)果Fig. 8 Main calculation results under full water level operation condition

表3 各工況計(jì)算結(jié)果Tab. 3 Results of different working conditions

（1）滿水位工況整體位移：順槽向最大位移為-10.0 mm，出現(xiàn)在兩側(cè)橋墩頂部。橫向最大位移為4.7 mm，出現(xiàn)在順槽向第3號(hào)拱圈上槽身的中部。豎直方向最大的位移為-35.4 mm，出現(xiàn)在順槽向第3號(hào)拱圈上槽身的中部。

（2）滿水位工況拱圈結(jié)構(gòu)：拱圈的最大軸力為-5 281.00 kN，最大橫向剪力為-32.00 kN，最大縱向剪力為-4 380.00 kN，均出現(xiàn)在順槽向第3號(hào)拱圈的拱端。拱圈的最大扭矩為85.00 kN·m，最大橫向彎矩為2 653.00 kN·m，最大縱向彎矩為140.00 kN·m，均出現(xiàn)在順槽向第3號(hào)拱圈的拱端。

（3）滿水位工況樁基結(jié)構(gòu)：樁基的最大軸力為-2 459.00 kN，最大橫向剪力為-169.50 kN，最大縱向剪力為348.00 kN，均出現(xiàn)在順槽向最后一個(gè)橋墩下。樁基的最大扭矩為-3.50 kN·m，最大橫向彎矩為588.64 kN·m，最大縱向彎矩為408.00 kN·m。模型兩側(cè)橋墩未設(shè)置外側(cè)的拱圈和槽身結(jié)構(gòu)而受力不對(duì)稱，因此導(dǎo)致兩側(cè)橋墩下的樁基結(jié)構(gòu)受力不對(duì)稱且最值均出現(xiàn)在順槽向最后一個(gè)橋墩下。

在對(duì)渡槽進(jìn)行受力分析時(shí)，通過(guò)合理選用梁?jiǎn)卧獜V義位移法和埋置梁廣義位移法，可以在保證計(jì)算精度的前提下，提高前處理和計(jì)算分析的計(jì)算效率。另外，由于梁?jiǎn)卧治龅淖陨韮?yōu)勢(shì)，在后處理時(shí)可以直接獲取梁柱結(jié)構(gòu)的結(jié)果分布，簡(jiǎn)化了后處理的步驟，進(jìn)一步提高了計(jì)算效率。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文建立了梁?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)作為從節(jié)點(diǎn)時(shí)的廣義位移表達(dá)式。從渡槽簡(jiǎn)化模型入手，分析了梁?jiǎn)卧獜V義位移法和埋置梁?jiǎn)卧獜V義位移法兩種分析方法的計(jì)算特性，討論了網(wǎng)格尺寸和地基模量對(duì)結(jié)構(gòu)分析的影響。上部結(jié)構(gòu)分析為主時(shí)，可直接采用埋置梁廣義位移法提高計(jì)算效率；需要研究軟基內(nèi)下部結(jié)構(gòu)受力變化時(shí)，可采用地基與樁斷面相當(dāng)?shù)挠邢拊W(wǎng)格并結(jié)合埋置梁廣義位移法來(lái)進(jìn)行計(jì)算分析。

在某渡槽工程中應(yīng)用埋置梁廣義位移法，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文所提方法在實(shí)際工程中的實(shí)用性。在渡槽受力分析時(shí)，通過(guò)合理選用埋置梁廣義位移法，可以在保證計(jì)算精度的同時(shí)提高計(jì)算效率。