吳海豐，高 宇，伍 岳

(北京理工大學(xué)機(jī)械與車輛學(xué)院，北京 100081)

近年來，隨著排放法規(guī)的日益嚴(yán)格，正確認(rèn)識內(nèi)燃機(jī)缸內(nèi)的氣體流動、噴霧擴(kuò)散狀況以及燃燒時的火焰形態(tài)及其發(fā)展對內(nèi)燃機(jī)的設(shè)計和性能優(yōu)化尤為重要[1-2].但是由于發(fā)動機(jī)內(nèi)氣流的混合過程的劇烈性，整體流動具有很強(qiáng)的不對稱性[3-4]，燃燒火焰將呈現(xiàn)高度湍流結(jié)構(gòu)[5].在此背景下，傳統(tǒng)的一維或二維測量技術(shù)很難對流場中的參數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確測量，往往存在較大的測量誤差[6]，三維光學(xué)測量技術(shù)應(yīng)運而生[7].在目前眾多的三維光學(xué)測量技術(shù)中，基于層析原理的三維重建技術(shù)具有瞬態(tài)即時測量、高時空分辨率的優(yōu)點.此外，三維層析技術(shù)憑借其非接觸性的測量方式，避免了測量儀器以及傳感器與待測流場的直接接觸，既減少了傳感器處于流場中時對流場造成的干擾，提高了測量的準(zhǔn)確性，又避免了儀器處于高溫高壓環(huán)境時的損壞，降低了實驗成本.因此，三維層析重建技術(shù)能夠滿足三維復(fù)雜燃燒系統(tǒng)的測量需求，是未來發(fā)動機(jī)燃燒測試領(lǐng)域重要的發(fā)展方向.在成像光路無遮擋、傳播介質(zhì)均勻的開放光學(xué)場中，三維層析技術(shù)的應(yīng)用已比較成熟，重構(gòu)得到的三維火焰精度較高[8-10].

目前大部分的三維層析技術(shù)都是在假設(shè)所有投影都有完整視場的情況下進(jìn)行的[11-12].然而，這一先決條件在某些實際情況下無法得到保證.例如發(fā)動機(jī)測量中，由于光學(xué)發(fā)動機(jī)燃燒室由活塞頂部及缸蓋上相應(yīng)的凹部空間組成，并且凹部空間頂部還布置有進(jìn)排氣門和結(jié)構(gòu)部分探入燃燒室的電火花塞[13]，從而使發(fā)動機(jī)內(nèi)部光學(xué)訪問較為困難，部分視場不可避免地被阻擋，導(dǎo)致無法從特定角度獲得目標(biāo)火焰的完整圖像[14-15].因此，光路遮擋下的信號重建是實現(xiàn)對發(fā)動機(jī)內(nèi)部信號進(jìn)行三維層析重建過程中必須解決的一個問題.目前，國內(nèi)外對光路遮擋下三維層析測量的研究非常有限，Liu 等[16]針對氣缸壁對氣缸內(nèi)部的信號遮擋情況進(jìn)行了廣泛的數(shù)值模擬，對比研究了4 種具有代表性的層析算法的適用條件，但是該研究僅僅在空間分辨率較低的情況對模擬信號進(jìn)行重構(gòu)并得到了模擬信號分布的一些基本特征，沒有對重構(gòu)精度以及提高精度的方法進(jìn)行研究.本文提出了一種光路遮擋下的三維層析重構(gòu)算法，并通過對多種相機(jī)排布方案的層析重構(gòu)模擬，提出了一種基于待測體積微元數(shù)量最小化和各體積微元觀測相機(jī)數(shù)量最大化的相機(jī)排布優(yōu)化方法，實現(xiàn)層析重構(gòu)精度最優(yōu)化.

1 光路遮擋下的三維層析算法實現(xiàn)

開放空間三維層析算法在前人的工作中已經(jīng)有了詳細(xì)的描述，本文僅做簡單的介紹.三維層析算法的原理是通過在研究對象周圍布置多個高速相機(jī)來獲得目標(biāo)物體同一時刻在不同方向上的投影，然后通過代數(shù)迭代的方法求解研究對象信號的實際分布情況.首先將研究對象離散成由大量正方體所組成的目標(biāo)求解區(qū)域，這些正方體稱為待測體積微元；而相機(jī)獲得的研究對象在不同方向上的投影為由像素組成的圖片.根據(jù)光線的傳播原理，待測體積微元與像素之間存在著某種對應(yīng)關(guān)系，并且這種對應(yīng)關(guān)系僅僅由實驗過程中成像系統(tǒng)的物理參數(shù)以及位置關(guān)系所決定.把體積微元與像素之間的關(guān)系稱為體積微元信號對像素信號的貢獻(xiàn)權(quán)重，將所有體積微元的權(quán)重按一定順序排列就構(gòu)成了成像系統(tǒng)的權(quán)重矩陣PSF，在已知成像系統(tǒng)的權(quán)重矩陣和研究對象在不同方向上投影的像素值的情況下，就可以通過計算機(jī)求出待測體積微元信號強(qiáng)度分布了.三維層析算法的數(shù)學(xué)原理公式如式(1)：

式中：P 為所有投影中所有像素組成的一維列向量；F 為離散化后的待測體積微元組成的一維列向量；PSF 矩陣為僅由成像系統(tǒng)的光路參數(shù)決定的權(quán)重矩陣.首先通過使用相機(jī)拍攝火焰圖片，獲得了火焰在不同方向的投影之后，對相機(jī)相對于火焰的位置進(jìn)行標(biāo)定，獲得不同相機(jī)相對于坐標(biāo)原點的角度和距離，從而得到PSF 矩陣.即可通過計算機(jī)通過迭代方法(如ART 算法[17])對公式(1)進(jìn)行求解[18-19].

實際測量中，待測體積微元的數(shù)量可根據(jù)各相機(jī)投影的信號分布進(jìn)行縮減，減少式(1)中的向量F 的元素個數(shù)，提高計算速度和精度.其基本原理如圖1(a)所示，圖中灰色區(qū)域代表模擬的火焰信號分布，黑色方框代表離散的觀測總區(qū)域(劃分為待測體積微元)；藍(lán)色線段代表相機(jī)的感光平面(即投影平面).當(dāng)感光平面接收到火焰的信號后，相應(yīng)區(qū)域標(biāo)記為橙色，當(dāng)感光元件未接收到火焰的信號時，感光平面上的信號值為0.根據(jù)光路追蹤原理，當(dāng)相機(jī)感光平面上的信號值為0 時，所有能夠?qū)⑿盘杺鞑サ较鄼C(jī)感光平面上的待測體積微元的信號值均可確定為0.因此，通過對感光平面上的信號進(jìn)行逆向光路追蹤，即可確定大量體積微元信號值為0 的待求解區(qū)域.如圖1(a)所示，通過各個方向的投影信號分布可以確定，圖中的白色區(qū)域中待測體積微元信號值全部為0，可被排除出層析計算過程.而未確定信號值的待求解區(qū)域則有由灰色的火焰信號分布區(qū)域與藍(lán)色的離散區(qū)域組成，這些區(qū)域中的體積微元構(gòu)成了式(1)中的向量F.

圖1 有、無遮擋下待求解區(qū)域類型分布示意Fig.1 Schematic diagram of region distribution to be solved

當(dāng)待求解區(qū)域內(nèi)部存在不透光遮擋物時，區(qū)域內(nèi)可被排除的待測體積微元數(shù)量和位置均發(fā)生改變.如圖1(b)所示，圖中的黑色長方形區(qū)域代表遮擋物，當(dāng)光學(xué)信號傳播到遮擋物后將不再繼續(xù)傳播.這就是說，信號可傳播到特定相機(jī)或特定像素的待測體積微元的數(shù)量和位置均發(fā)生變化.舉例而言，圖1(b)中的綠色實線代表遮擋物邊緣的待測體積微元信號向相機(jī)3 感光平面?zhèn)鞑サ墓饴?，?dāng)模擬信號位于兩條綠色實線之內(nèi)時，相機(jī)3 僅能接收到位于遮擋物前方的信號(圖1(b)中三角形)，而不會接收位于遮擋物后的信號(數(shù)學(xué)上體現(xiàn)為PSF 矩陣相應(yīng)元素的強(qiáng)制歸零)；同時，當(dāng)感光平面上位于綠色實線范圍內(nèi)的某一像素的值為0 時，可以確定位于遮擋物前方且信號可傳播到該像素的所有體積微元信號值均為0，可以排除計算.而位于遮擋物后方的體積微元的信號值均無法直接排除.按照該原則，并結(jié)合所有相機(jī)感光平面的投影信號分布，可獲得圖1(b)所示的待求解區(qū)域信號劃分.對比圖1(a)和圖1(b)可以看出，在相機(jī)位置、模擬信號分布均不變的前提下，由于遮擋物的存在，未確定信號值分布的待求解區(qū)域面積及其分布位置均發(fā)生了變化，數(shù)學(xué)上體現(xiàn)為式(1)中向量F 中非零元素的變化.此外，觀察圖1(b)還可以發(fā)現(xiàn)，在未確定信號值分布的待求解區(qū)域中，不同的位置對應(yīng)的觀測相機(jī)也是不同的，例如正方形模擬信號區(qū)域被相機(jī)1 和2 觀測，三角形模擬信號區(qū)域的下半部分被相機(jī)2 和3 觀測，而上半部分僅被相機(jī)3觀測.

本研究通過預(yù)先獲得遮擋物在被測空間內(nèi)的位置坐標(biāo)和形狀信息，并對由遮擋物引起的PSF 矩陣和向量F 的變化進(jìn)行定量化分析，最終在開放空間原始層析算法的基礎(chǔ)上實現(xiàn)了內(nèi)部光路遮擋條件下的層析重構(gòu)，并采用數(shù)值方法進(jìn)行驗證.數(shù)值模擬重構(gòu)時，首先對空間進(jìn)行網(wǎng)格劃分.選定空間大小為5 mm×5 mm×5 mm，將該空間劃分為50×50×50=12 500 個體積微元，在該空間內(nèi)建立直角坐標(biāo)系和模擬信號分布.如圖2(a)所示，模擬火焰信號由紅色的圓錐、圓球和四棱柱組成，所有體積微元的信號值均勻(設(shè)定為100)，藍(lán)色長方體代表遮擋物，其他空間區(qū)域信號值均為0.圖2(b)與2(c)分別為模擬信號分布的俯視圖和左視圖.之后建立虛擬成像系統(tǒng)，CCD 相機(jī)的感光元件面積設(shè)為0.32 mm× 0.32 mm，像素尺寸為0.8 μ m× 0.8 μ m，焦距為35 mm，物像比為15.4，根據(jù)前文所述信號遮擋判斷方法以及視線追蹤原理，獲得了虛擬信號分布在 7 個水平方位角(-135°、-60°、-30°、0°、30°、90°和135°)的投影，如圖3 所示.采用這些部分被遮擋的投影進(jìn)行層析重構(gòu)，可獲得模擬火焰信號三維分布.圖3 所展示的為信號值為100 時的等值面圖，比較圖3 和2(a)，可計算得到該重構(gòu)與原始信號的平均相對誤差約為4%.若去除遮擋物，則該誤差將迅速降低為2%.可見，光學(xué)信號場中遮擋物的存在將顯著增加重構(gòu)誤差，需要對其引起誤差增加的機(jī)理進(jìn)行研究，并提出相機(jī)優(yōu)化排布方案，使得遮擋物對層析重構(gòu)的影響最小化.

圖2 模擬火焰信號Fig.2 Simulated flame signal

圖3 模擬信號在各相機(jī)上的二維投影和使用二維投影層析重構(gòu)得到的模擬火焰三維信號分布Fig.3 Two-dimensional projections of the simulated signals on different cameras and the 3D signal distribution reconstructed based on two-dimensional projections

2 重構(gòu)精度分析和相機(jī)角度優(yōu)化

在實現(xiàn)了光路遮擋條件下的層析重構(gòu)后，本文分析了影響重構(gòu)精度的因素，并提出了使重構(gòu)精度最大化的相機(jī)排布優(yōu)化方案.通過前文分析，可以判斷出在光路遮擋條件下，影響重構(gòu)精度的主要因素有兩方面：首先是待求解區(qū)域大小(及未確定為0 值的待測體積微元數(shù)量).由圖1 可知，無論遮擋物存在與否、相機(jī)排布角度如何組合，待求解區(qū)域總是大于實際的火焰信號分布體積.在進(jìn)行層析重構(gòu)時，待求解區(qū)域中不屬于火焰信號部分的待測體積微元會計入迭代計算中，引起重構(gòu)誤差的增加；其次是待求解區(qū)域中各個體積微元對應(yīng)的觀測相機(jī)數(shù)量.對比圖1(a)和1(b)，可以發(fā)現(xiàn)被測空間中無遮擋物時，所有待求解區(qū)域中的體積微元均被所有相機(jī)觀測，來自各方向的已知投影信息是最大化的，有助于迭代求解.而存在遮擋物時，待求解區(qū)域中的部分體積微元只被若干相機(jī)所觀測，已知投影信息被縮減，迭代過程可能出現(xiàn)更大的非確定性.

為確定影響重構(gòu)精度的最主要因素，本文分析了5 種不同的相機(jī)角度方案，針對這5 種方案對應(yīng)的待求解區(qū)域大小和觀測相機(jī)數(shù)量進(jìn)行分析.每組相機(jī)排布方案具體相機(jī)方位角如表1 所示.

表1 相機(jī)的空間角度排布Tab.1 The azimuth angle arrangement of the cameras

本文對未確定信號分布的待求解區(qū)域進(jìn)行了分類.根據(jù)表1 中各相機(jī)的排布角度，可在層析重構(gòu)前預(yù)先確定待求解區(qū)域的體積大小和位置，并得到區(qū)域內(nèi)各待測體積微元對應(yīng)的觀測相機(jī)數(shù).根據(jù)觀測相機(jī)數(shù)將待測體積微元進(jìn)行分類.如圖4 所示，其中圖4(a)、4(c)和4(e)分別表示相機(jī)排布B、C 和E 時Z方向1～20 層(有遮擋物作用的體積微元層)待測體積微元的分布俯視圖，黃色、綠色和藍(lán)色表示體積微元對應(yīng)的觀測相機(jī)數(shù)量分別為4、5 和6.比較圖4(a)、4(c)和4(e)可以看出，不同的相機(jī)排布方案下，未確定信號分布的待求解區(qū)域面積有所不同，同時，按照觀測相機(jī)數(shù)量進(jìn)行分類的待測體積微元分布也是不同的.圖4(b)、4(d)和4(f)分別為與圖4(a)、4(c)和4(e)圖對應(yīng)的重構(gòu)計算誤差分布圖.整體而言，當(dāng)相機(jī)方案為排布C 時，待求解區(qū)域面積最大，對應(yīng)的待測體積微元數(shù)量最多，對應(yīng)的誤差整體較排布B 和E 偏高.觀察各個排布方案中待測體積微元對應(yīng)的觀測相機(jī)數(shù)量分布和重構(gòu)誤差分布可以發(fā)現(xiàn)，隨著觀測相機(jī)數(shù)量的增加，待測體積微元的重構(gòu)誤差呈現(xiàn)減小的趨勢.對于所有排布方案而言，計算重構(gòu)誤差均主要集中在觀測相機(jī)數(shù)量為4 和5 的區(qū)域.

圖4 相機(jī)角度排布B、C 和E 時Z 方向1～20層待測體積微元分布俯視圖平均重構(gòu)計算誤差二維分布Fig.4 Top view of the volume elements distribution to be measured and two-dimensional distribution maps of average reconstruction calculation errors of layers 1—20 in the Z direction when camera angles are arranged B，C and E，respectively

圖5(a)統(tǒng)計了由觀測相機(jī)數(shù)分類的待測體積微元數(shù)量.通過統(tǒng)計圖可以看出，5 種相機(jī)排布中，觀測相機(jī)數(shù)為5 和7 的待測體積微元都較多，而觀測相機(jī)數(shù)為4 和6 的待測體積微元相對較少，不存在觀測相機(jī)數(shù)為4 以下的體積微元，這種分布方式是由待測信號分布、相機(jī)組排布和遮擋物形狀及位置共同決定的.圖5(b)對應(yīng)5(a)，統(tǒng)計了不同相機(jī)排布下4 類待測體積微元的重構(gòu)計算平均誤差.從圖5(b)中看出，對于所有相機(jī)排布，均存在相同規(guī)律：隨著觀測相機(jī)數(shù)的增加，待測體積微元的重構(gòu)誤差逐漸減小.這說明待測體積微元的觀測相機(jī)數(shù)越少，其對重構(gòu)計算誤差的貢獻(xiàn)權(quán)重越大.同時，注意到排布C 中的4 類待測體積微元的平均重構(gòu)誤差均明顯大于其他排布.對比圖5(a)中排布C 的各類待測體積微元數(shù)量分布，可以發(fā)現(xiàn)待測體積微元的重構(gòu)誤差并不與該類體積微元的數(shù)量成正相關(guān)關(guān)系.例如排布C 中觀測相機(jī)數(shù)為5 和6 的待測體積微元數(shù)量均少于排布E，但對應(yīng)的平均重構(gòu)計算誤差遠(yuǎn)大于排布E.該現(xiàn)象表明，在進(jìn)行相機(jī)排布角度優(yōu)化時，并不需要對觀測相機(jī)數(shù)量較少的待測體積微元進(jìn)行數(shù)量最小化處理，而應(yīng)該全局考慮待測體積微元總數(shù)量.

圖5 根據(jù)觀測相機(jī)數(shù)分類的待測微元數(shù)量和重構(gòu)計算誤差Fig.5 Statistical graph of the number of volume elements to be measured，and the statistical graph of calculation reconstructed error classified according to the number of observation cameras

不同相機(jī)排布方案下的待測體積微元總數(shù)量如圖6 所示，柱狀圖為不同相機(jī)排布對應(yīng)的層析重構(gòu)平均計算誤差，方形圖例的折線圖表示觀測相機(jī)數(shù)為4、5 和6 的待測體積微元數(shù)量總和.可以看出，排布C 的該類待測體積微元數(shù)量最多，對應(yīng)重構(gòu)誤差也最大，隨著該類體積微元數(shù)量的減少，層析重構(gòu)平均誤差逐漸降低.可見，信號未被所有相機(jī)捕捉的待測體積微元的數(shù)量綜合顯著影響了重構(gòu)精度.實際實驗中，可通過調(diào)整相機(jī)組安裝角度，使得觀測相機(jī)數(shù)為4、5 和6 的待測體積微元數(shù)量總和最少，即可對相機(jī)排布進(jìn)行優(yōu)化.同時，通過圖6 還可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)觀測相機(jī)數(shù)為4、5 和6 的待測體積微元數(shù)量總和相接近時，其相對重構(gòu)計算誤差還是存在差異的，例如排布B 和排布D.因此，當(dāng)觀測相機(jī)數(shù)為4、5 和6 的待測體積微元數(shù)量總和相接近時，還需要進(jìn)行進(jìn)一步的判斷.圖6 進(jìn)一步統(tǒng)計了待測體積微元觀測相機(jī)數(shù)為4和5 的數(shù)量總和，三角形圖例折線所示，對比排布B和排布D，雖然觀測相機(jī)數(shù)為4、5 和6 的待測體積微元數(shù)量總和相接近，但是由于排布D 中觀測相機(jī)數(shù)為4 和5 的待測體積微元的數(shù)量大于排布B，因此排布D 的重構(gòu)計算誤差要大于排布B.同理，雖然對于排布A 和排布E 而言，觀測相機(jī)數(shù)為4、5 和6 的待測體積微元數(shù)量總和相接近，但是由于排布E 中觀測相機(jī)數(shù)為4 和5 的待測體積微元的數(shù)量大于排布A，因此排布E 的總體相對重構(gòu)計算誤差大于排布A.綜合以上討論可知，相機(jī)排布優(yōu)化策略分為兩步進(jìn)行：首先保證被遮擋待測體積微元(對應(yīng)觀測相機(jī)數(shù)4、5 和6)數(shù)量總和最?。划?dāng)被遮擋待測體積微元數(shù)量總和相接近時，再進(jìn)行第二步優(yōu)化判斷，保證觀測相機(jī)數(shù)為4 和5 的待測體積微元的數(shù)量最小，從而使重構(gòu)計算誤差最小.

圖6 不同相機(jī)排布對應(yīng)計算重構(gòu)誤差與待測體積微元數(shù)Fig.6 Different camera arrangements correspond to the calculation reconstructed errors and the number of volume elements to be measured

3 結(jié)論

本文提出了一種內(nèi)部光路遮擋條件下的三維層析算法，解決了火焰投影信息不完全時的火焰層析重構(gòu)問題，并基于待測空間內(nèi)被遮擋的體積微元特性提出了一種相機(jī)排布優(yōu)化方法，提高了層析重構(gòu)精度.研究結(jié)論如下：

(1) 在內(nèi)部光路遮擋條件下，相機(jī)組的空間位置排布方式對層析重構(gòu)精度影響很大.數(shù)值計算結(jié)果顯示，在相同的模擬信號和遮擋物分布條件下，最佳的相機(jī)排布可使重構(gòu)計算平均誤差從4%下降到0.5%.

(2) 未確定信號值分布的離散待求解區(qū)域是重構(gòu)過程中的計算區(qū)域，并且區(qū)域中待測體積微元數(shù)量越多，重構(gòu)誤差越大.排布相機(jī)時應(yīng)首先保證待測體積微元數(shù)量最小化.

(3) 相比待測體積微元總數(shù)量，內(nèi)部光路遮擋條件下的體積微元對應(yīng)觀測相機(jī)數(shù)量對重構(gòu)精度有次要影響.在滿足待測體積微元數(shù)量最小化的前提下，應(yīng)盡量提升觀測相機(jī)數(shù)量較大的體積微元所占比例.