張文林，桑 松，曹愛霞，劉滕飛

（1.中國海洋大學(xué)工程學(xué)院，山東 青島 266100；2.青島黃海學(xué)院智能制造學(xué)院，山東 青島 266427）

0 引 言

在國民經(jīng)濟(jì)總量不斷穩(wěn)步增長的今天，隨著經(jīng)濟(jì)、社會、科技的高速發(fā)展，世界各國和地區(qū)對石油和天然氣等重要資源的消耗和需求日益增大，開采范圍也逐漸向深海領(lǐng)域發(fā)展，各種海洋石油開發(fā)裝備也應(yīng)運(yùn)而生。立管作為海洋平臺和海底井口之間的必要通道，承受著浪流、地震等環(huán)境載荷和上部浮體運(yùn)動(dòng)帶來的沖擊載荷等，尤其當(dāng)流致渦激導(dǎo)致流體渦泄頻率與立管自振頻率接近時(shí)，結(jié)構(gòu)會出現(xiàn)大幅運(yùn)動(dòng)的情況，直接威脅著立管的安全運(yùn)營和使用壽命。目前對于深海立管的研究主要采用實(shí)驗(yàn)分析法和數(shù)值模擬方法，其中數(shù)值模擬方法又包括CFD 方法、經(jīng)驗(yàn)法和尾流振子模型法。Bishop 等（1964）[1]分析總結(jié)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，研究發(fā)現(xiàn)作用于立管上的力可以采用一個(gè)非線性振子來近似模擬?；贐ishop 的分析思想，Hartlen 等（1970）[2]首先將范德波爾方程充當(dāng)圓柱橫流向升力系數(shù)的控制方程，通過選擇合適的參數(shù)，該模型可以模擬當(dāng)渦泄頻率接近立管固有頻率時(shí)出現(xiàn)振幅大幅增加的現(xiàn)象，同時(shí)在運(yùn)動(dòng)方向與結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行耦合；Facchinetti 等（2004）[3]對細(xì)長結(jié)構(gòu)物后方尾流場進(jìn)行了研究，深入地探討了尾流振子模型的動(dòng)力耦合特性，分析了三類耦合項(xiàng)（立管加速度、立管位移、立管速度）對系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的影響，研究結(jié)果表明對加速度耦合能夠成功地定量預(yù)報(bào)立管渦激振動(dòng)響應(yīng)以及其他相關(guān)特性。

本文利用經(jīng)典的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)理論分別建立結(jié)構(gòu)雙自由度振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程和尾流振子的范德波爾方程，方程中考慮雙自由度振動(dòng)的耦合情況，構(gòu)建立管二維振動(dòng)的控制方程，并以此來預(yù)報(bào)立管平面雙向渦激振動(dòng)相關(guān)特性。

1 立管雙向耦合振動(dòng)方程

1.1 振動(dòng)方程的建立

利用經(jīng)典的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)理論分別建立了結(jié)構(gòu)雙自由度振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程和尾流振子的范德波爾方程，考慮雙自由度振動(dòng)的耦合情況，構(gòu)建立管二維振動(dòng)的控制方程[4]如下：

式中：ms為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量；ma為流體的附加質(zhì)量，表示無粘流體的慣性作用力；cs為結(jié)構(gòu)粘滯阻尼；cf為流體附加阻尼，表示流體的粘性作用力；X、Y為圓柱質(zhì)心位置向量；FVX，F(xiàn)VY為旋渦對結(jié)構(gòu)的交變作用力分力；H為流體實(shí)驗(yàn)參數(shù)；q為渦場強(qiáng)度；ε為考慮雙向運(yùn)動(dòng)耦合因子；ωst為渦泄頻率。

通過將式（1）的尾流振子方程和結(jié)構(gòu)振動(dòng)方程無量綱化，即使得x=X/D，y=Y/D，D為圓柱直徑，同時(shí)令τ=tωst，得到考慮來流方向耦合作用的剛性立管振動(dòng)方程如下：

1.2 攝動(dòng)法解析振子響應(yīng)

考慮到渦激達(dá)到穩(wěn)定后系統(tǒng)方程的解可以近似為簡諧振動(dòng)，故可將橫流向和順流向的振子運(yùn)動(dòng)形式表達(dá)為

同時(shí)可將振幅和相位寫成

式中，Φ為隨時(shí)間變化的相位，ax、ay、aq分別表示順流向瞬時(shí)振子振幅、橫流向瞬時(shí)振子振幅以及流體振子振幅，ω為振動(dòng)的圓頻率，?x、?y、?q表示相對應(yīng)的瞬時(shí)相位角。攝動(dòng)法是求數(shù)學(xué)物理問題近似解的一種方法，它把非線性系統(tǒng)視為模型的參數(shù)或結(jié)構(gòu)作了微小擾動(dòng)的結(jié)果來求解其振動(dòng)過程。運(yùn)用攝動(dòng)法對振動(dòng)方程進(jìn)行解析可得a?x，a?y，a?q，??x，??y，??q的表達(dá)式為[5]

由于變化率(a?x,a?y,a?q,??x,??y,??q)屬于攝動(dòng)值，且和ε具有相同的數(shù)量級，對穩(wěn)定后系統(tǒng)進(jìn)行一個(gè)周期的積分，同時(shí)假定(ax,ay,aq,?x,?y,?q)在一個(gè)周期T內(nèi)值的大小不變，從而有

根據(jù)式（6）中的第一式，由各系數(shù)正負(fù)值可得sinψ＜0，所以相位角-π ＜ψ＜0，同理，由第三式可得0 ＜?＜π。整理可得

上式中當(dāng)ω值較大或者較小時(shí)可以用以下近似表達(dá)式代替

從圖1 可以看出起始階段在約化速度較小時(shí)無量綱頻率為1，無量綱頻率本質(zhì)上為立管振動(dòng)頻率與旋渦脫落頻率之比，即兩者在流場流速較低時(shí)相等。當(dāng)約化速度Ur=3.6 左右時(shí)發(fā)生鎖振現(xiàn)象，結(jié)構(gòu)振動(dòng)頻率和立管的固有頻率接近，隨著約化速度的繼續(xù)增加無量綱頻率急劇下降到0.73。隨后ω繼續(xù)增加，當(dāng)Ur＞7.9，ω穩(wěn)定在0.95附近。

當(dāng)不同約化速度下的無量綱約化頻率確定之后，可以進(jìn)一步求解結(jié)構(gòu)的雙向無量綱振幅ax和ay以及相位角ψ和φ，公式為

通過數(shù)值解析式（10）得到如圖2 所示的橫流向無量綱振幅和順流向無量綱振幅，其中橫向無量綱振幅曲線隨約化速度先增大后減小，出現(xiàn)一次峰值，在Ur∈( 4,8 )范圍內(nèi)振幅增加較快，峰值達(dá)到0.584。順流向振幅曲線出現(xiàn)兩次峰值，第一次峰值為0.044，第二次峰值為0.145，Ur∈( 4.5,7.5 )時(shí)幅值增加較快。

同樣，由公式（10）可得到如圖3 和圖4 所示的順流向和橫流向的無量綱相位角Ψx和Ψy及其夾角θ，三者關(guān)系為

由圖3 可見，橫流向無量綱相位角隨約化速度的增加逐漸由0°增加到接近180°，在Ur= 4處發(fā)生第一次突變，在Ur= 7.5 處左右出現(xiàn)第二次突變，在Ur∈( 4,7.5 )之間增速遠(yuǎn)大于兩邊，Ur＞7.5時(shí)曲線接近平穩(wěn)?？梢暂^為明顯地看出順流向無量綱相位角隨流速的增大由-180°變化到0°，在Ur= 2.2處發(fā)生突變，相位角由-160°躍升到-20°，當(dāng)Ur＞4時(shí)穩(wěn)定在0°左右。兩個(gè)方向上的相位角相差很大，并且發(fā)生突變位置也不相同。

由圖4 可見，在Ur∈( 2,4 )范圍內(nèi)相位角產(chǎn)生明顯的變化，最小值在35°左右。

2 質(zhì)量比對渦激振動(dòng)的影響

2.1 模型驗(yàn)證

在實(shí)際海況中，由于立管的質(zhì)量比相對不高（一般不超過14），因此僅需關(guān)注低質(zhì)量比的情況。前面推導(dǎo)并建立了雙自由度耦合振動(dòng)模型，同時(shí)推導(dǎo)了耦合模型的近似解，本節(jié)將模型方程離散化，應(yīng)用NewMark-β法求解立管在時(shí)域下的振動(dòng)響應(yīng)?？紤]結(jié)構(gòu)振動(dòng)的遲滯效應(yīng)，按流速增加和流速減小兩種情況對振動(dòng)幅值進(jìn)行討論，流速間隔為0.05，待系統(tǒng)穩(wěn)定后提取振幅。以Stappenbel等[6]的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為參照，驗(yàn)證本模型的正確性。Stappenbel進(jìn)行了多組質(zhì)量比不同和阻尼比相同的實(shí)驗(yàn)，數(shù)據(jù)如表1所示。本文以質(zhì)量比為8.79和2.36為例對模型進(jìn)行數(shù)值求解，得到無量綱振幅，并將結(jié)果和文獻(xiàn)[7]中的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行比對（見圖5）[7]。

表1 Stappenbel試驗(yàn)工況Tab.1 Conditions of Stappenbel test

從圖5 中可以看出，在橫流向上幅值隨流速先增加后減小，在Ur=6.7 左右振幅急劇增加，產(chǎn)生共振現(xiàn)象，流速超過共振區(qū)后振幅急劇減小，隨著質(zhì)量比的減小立管的振動(dòng)幅值呈變大趨勢，質(zhì)量比為8.79 和2.36 的立管的振動(dòng)峰值由0.66 增加到1.47，Ur∈( 3.5,8.5)范圍內(nèi)產(chǎn)生頻率鎖定現(xiàn)象，即該區(qū)域?yàn)殒i振區(qū)。在順流向上幅值隨流速先增加后減小，隨著質(zhì)量比的增加振幅逐漸減小，振動(dòng)峰值由0.06 增加到0.44，鎖振區(qū)為Ur= 4～7.5。橫流向和順流向的立管振幅峰值之比會隨質(zhì)量比的增加而增大，體現(xiàn)了雙自由度的振動(dòng)存在較強(qiáng)的耦合性?？傮w上隨著質(zhì)量比的減小，因流速變化造成的遲滯現(xiàn)象愈發(fā)減弱。本質(zhì)上講，立管振動(dòng)的遲滯現(xiàn)象是由于耦合振動(dòng)方程中耦合參數(shù)ε的存在，從而在流速增大和減小情況下振幅曲線產(chǎn)生的不重疊現(xiàn)象，且耦合參數(shù)ε隨質(zhì)量比的減小而減小。本模型預(yù)測的鎖頻域較試驗(yàn)窄但與試驗(yàn)數(shù)據(jù)曲線呈相同的變化趨勢，吻合度較高，能夠用來定量地分析立管雙向振動(dòng)的相關(guān)特性。

對質(zhì)量比m*=2.36，阻尼比ξ=0.006，不同流速下剛性立管的平面運(yùn)動(dòng)軌跡繪圖，如圖6所示。

從圖中可以看出，隨著流速的增加，橫流向和順流向的振幅均先增大后減小。在Ur=4～6時(shí)，軌跡類似數(shù)字‘8’，從而表明橫流向的振幅遠(yuǎn)大于順流向的振幅，且橫流向的振動(dòng)頻率是順流向的一半。當(dāng)流速大于7 時(shí)，振幅大幅度減小，流速大于12 之后立管運(yùn)動(dòng)軌跡基本保持不變，流速Ur=7～10 范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌跡呈月牙形。

2.2 不同質(zhì)量比的立管雙向振幅

如表2 所示，選用質(zhì)量比為1.83～11.05，阻尼比同為0.006 的立管參數(shù)，實(shí)際海況中立管大多為低質(zhì)量比立管，考慮到流體的遲滯作用對流速增加和減小的影響，運(yùn)用數(shù)值方法求解耦合振動(dòng)方程得到橫流向和順流向振幅隨約化速度的變化曲線，見圖7和圖8。

表2 不同質(zhì)量比工況參數(shù)Tab.2 Operating parameters with different mass ratios

從圖7 中可以觀察到，隨著質(zhì)量比的減小，共振區(qū)域逐漸增大，即立管在更大的范圍內(nèi)產(chǎn)生“鎖振”現(xiàn)象，振動(dòng)頻率等于旋渦脫落頻率。隨著質(zhì)量比的減小，峰值由0.492增加到1.533，并且峰值增加的速率也逐漸減小。流速Ur＞11時(shí)，振幅區(qū)域呈開口狀，且低質(zhì)量比振幅遠(yuǎn)大于高質(zhì)量比的振幅，兩者不在同一個(gè)數(shù)量級。振動(dòng)的遲滯現(xiàn)象會隨著質(zhì)量比的減小而越發(fā)不明顯，由圖中可以看出，遲滯現(xiàn)象會使得在相同流體參數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù)情況下，流速增加的振幅大于流速減小的振幅，這一現(xiàn)象產(chǎn)生的原因是耦合模型非線性方程中流體耦合參數(shù)ε會隨著質(zhì)量比的變化而發(fā)生變化。

從圖8可以看出，在順流向上遲滯現(xiàn)象不明顯，流速增加和流速減小兩種情況下的振幅曲線基本重合。無量綱振幅隨質(zhì)量比的減小而增大，和橫流向振幅的變化趨勢大致相同，但順流向的振幅和峰值均遠(yuǎn)小于橫流向的振幅和峰值，均出現(xiàn)了兩次峰值的現(xiàn)象，且各種質(zhì)量比情況下出現(xiàn)第一次峰值和第二次峰值的約化速度區(qū)間大致不變，Ur=2.6 左右出現(xiàn)第一次峰值，Ur=6.2 左右出現(xiàn)第二次峰值。隨著質(zhì)量比的減小，第一次峰值與第二次峰值的差距逐漸增大，當(dāng)質(zhì)量比m*＜8.71時(shí)，第一次峰值大于第二次峰值；當(dāng)質(zhì)量比m*＞8.71時(shí)，第一次峰值小于第二次峰值。

根據(jù)以上橫流向和順流向的振幅曲線可得，適當(dāng)增加立管的質(zhì)量比有助于減小各種流速下的立管振動(dòng)響應(yīng)幅值，同時(shí)應(yīng)合理設(shè)計(jì)立管的結(jié)構(gòu)參數(shù)和材料參數(shù)，避免立管的固有頻率落入共振區(qū)域，產(chǎn)生“鎖振（lock-in）”現(xiàn)象，這會引起立管大幅度劇烈振動(dòng)，產(chǎn)生疲勞損傷，進(jìn)而遭到破壞。

2.3 立管質(zhì)心運(yùn)動(dòng)軌跡隨質(zhì)量比的變化

根據(jù)2.2 節(jié)結(jié)論，質(zhì)量比對順流向無量綱振幅和橫流向振幅均有影響，并且會改變鎖頻域和振幅曲線首尾端形狀。在時(shí)域下求解雙自由度立管耦合振動(dòng)方程，待系統(tǒng)穩(wěn)定后提取一個(gè)周期內(nèi)各時(shí)刻立管質(zhì)心的位移，即可求得質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)軌跡。如圖9所示，設(shè)定阻尼比ξ=0.008保持不變，將不同質(zhì)量比的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)軌跡曲線在豎直方向上繪制于一個(gè)圖中，可得到不同約化速度下質(zhì)量比對立管運(yùn)動(dòng)軌跡的影響。

從圖9可以看出，在不同流速下，質(zhì)量比的增加會引起順流向和橫流向無量綱振幅的減小，且大致形狀發(fā)生變化。隨著流速的增加，兩個(gè)方向上的振幅均先劇烈增加然后減小，當(dāng)Ur＜5.5時(shí)，振幅較小，質(zhì)量比對振幅的影響不明顯，即該狀態(tài)下振幅對質(zhì)量比不敏感。當(dāng)5.5 ＜Ur＜6.5 左右，軌跡形狀大致呈‘8’字形，順流向振動(dòng)頻率是橫流向頻率的2倍。在Ur=7.5時(shí)橫流向振幅達(dá)到最大值1.47，該流速下質(zhì)量比對振幅的影響非常顯著，呈階梯型變化，橫流向振幅由1.47減小到0.13。當(dāng)Ur≥8.5時(shí)，各質(zhì)量比的運(yùn)動(dòng)軌跡呈現(xiàn)月牙形，立管兩個(gè)自由度上的振動(dòng)存在相位差，Ur=9.5 時(shí)順流向振幅達(dá)到最大值且月牙形更加明顯，在質(zhì)量比的影響下振幅由0.42 減小到0.052，橫流向振幅減小。當(dāng)Ur＞9.5 時(shí)振幅隨著流速的增加而急劇減小，軌跡形狀由月牙形過渡到‘8’字形，質(zhì)量比的影響減弱。綜合以上圖像分析可得，質(zhì)量比對兩個(gè)方向上的振幅均有較大的影響，同時(shí)順流向的振動(dòng)對整體的影響需要考慮，計(jì)算時(shí)不可忽略，并且不同流速下影響的強(qiáng)弱不同，振幅急劇增加的區(qū)域?yàn)殒i頻域，在鎖頻區(qū)域質(zhì)量比的影響最大，根據(jù)本算例的分析，鎖頻區(qū)域?yàn)?.5 ＜Ur＜9.5。

2.4 雙自由度振動(dòng)的耦合

黃智勇等[8]采用SSTk-ω湍流模型求解RANS 方程，深入研究了低質(zhì)量比剛性立管在分別限制一個(gè)方向振動(dòng)的情況，研究表明順流向振動(dòng)與橫流向振動(dòng)有較強(qiáng)的耦合性，雙自由度的耦合振動(dòng)等產(chǎn)生更大的橫向無量綱振幅，順流向?qū)φ駝?dòng)系統(tǒng)的影響不可忽視，橫向振動(dòng)頻率為順流向振動(dòng)頻率的一半，且振幅差距一個(gè)數(shù)量級，數(shù)值模擬結(jié)果與Jauvtis等[9]的實(shí)驗(yàn)探究吻合度較高。

本節(jié)主要通過求解非線性的模型方程，研究在不同阻尼比的情況下不同質(zhì)量比的立管橫流向振幅和順流向振幅之比，定義雙向無量綱振幅比為ay/ax,通過進(jìn)一步分析整理前面的計(jì)算結(jié)果，繪制雙向無量綱振幅比曲線，如圖10所示。

觀察圖10可知，阻尼比ξ＜0.046時(shí)雙向無量綱振幅比變化趨勢大致相同，ξ＞0.15時(shí)雙向無量綱振幅比變化趨勢相同。在整個(gè)約化速度范圍內(nèi)，各質(zhì)量比的曲線均先減小到達(dá)谷值然后急劇增加到達(dá)峰值，隨后逐漸減小，最終趨于平衡穩(wěn)定狀態(tài)。在不同阻尼比下，曲線均在流速Ur=2.2～2.4附近取得最小值，在流速Ur=7.5～8附近取得最大值，在低流速區(qū)域振幅比較小，且出現(xiàn)小于1的值，表明在低流速區(qū)域順流向振幅ax比重較大，橫流向振幅占主導(dǎo)地位，如果忽視順流向的作用將產(chǎn)生較大誤差。在Ur＞4.5的區(qū)域雙向無量綱振幅比較大，表明在該流速區(qū)域橫流向振幅占主導(dǎo)地位。Ur＞8時(shí)雙向振幅比接近平穩(wěn)，表明該階段橫流向振幅和順流向振幅表現(xiàn)出強(qiáng)耦合性，順流向的作用不可忽略。

3 結(jié) 論

本文利用經(jīng)典的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)理論分別建立了結(jié)構(gòu)雙自由度振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程和尾流振子的范德波爾方程，方程中考慮了雙自由度振動(dòng)的耦合情況，構(gòu)建立管二維振動(dòng)的控制方程，采用攝動(dòng)法解析振子響應(yīng)，得出了雙向振動(dòng)的振幅和相位表達(dá)式。探討了質(zhì)量比對立管雙向振動(dòng)的影響規(guī)律以及對質(zhì)心運(yùn)動(dòng)軌跡的影響，計(jì)算結(jié)果表明：

（1）耦合參數(shù)ε的存在會影響流速增大和流速減小時(shí)的振幅，且耦合參數(shù)會隨質(zhì)量比的減小而減小。

（2）質(zhì)量比對順流向無量綱振幅和橫流向振幅均有影響，并且會改變鎖頻域和振幅曲線首尾端形狀。適當(dāng)增加立管的質(zhì)量比有助于減小各種流速下的立管振動(dòng)響應(yīng)幅值。

（3）考慮雙向耦合因子對立管雙向運(yùn)動(dòng)和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)軌跡會產(chǎn)生一定的影響，橫流向振幅和順流向振幅表現(xiàn)出強(qiáng)耦合性，順流向的作用不可忽略。