劉世清， 陸志剛， 樊葉萍， 李鳳鳴

(浙江師范大學(xué) 物理與電子信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

0 引 言

超聲換能器作為功率超聲振動(dòng)系統(tǒng)的核心組成部分，其作用是產(chǎn)生大功率超聲振動(dòng)能量并加以利用[1-2].針對不同應(yīng)用需求，需要設(shè)計(jì)不同結(jié)構(gòu)的超聲換能器.在液體超聲處理技術(shù)領(lǐng)域，目前應(yīng)用較廣的浸沒式超聲換能器主要有圓管或圓柱型等幾種結(jié)構(gòu)類型[3-8].此類換能器主要通過大功率縱向振動(dòng)壓電超聲換能器激勵(lì)金屬圓管或圓柱的一端，使之產(chǎn)生徑向振動(dòng)輻射超聲能量.這種縱向→徑向振動(dòng)模式轉(zhuǎn)換是通過泊松效應(yīng)實(shí)現(xiàn)的，因而圓管或圓柱的徑向振動(dòng)振幅較小，且波長較長，其輻射聲場均勻性及輻射效率有待進(jìn)一步提高.

相比于縱向振動(dòng)，彎曲振動(dòng)振子的聲輻射效率較高.基于此，本文提出一種開縫式圓管復(fù)合壓電超聲換能器，其由大功率夾心式壓電換能器、變幅桿及開縫式金屬圓管縱向復(fù)合而成，通過在圓管壁上開狹縫的方式將超聲換能器的基頻縱向振動(dòng)轉(zhuǎn)換為圓管壁的高階彎曲振動(dòng)，以實(shí)現(xiàn)聲能輻射.本文對這種開縫式圓管復(fù)合壓電換能器的彎曲振動(dòng)特性開展了理論和數(shù)值仿真分析.該彎曲振動(dòng)輻射超聲換能器不僅波峰數(shù)密度大，而且具有較大的位移振幅，特別適合于超聲降解、乳化及聲化學(xué)反應(yīng)等液體介質(zhì)處理技術(shù)領(lǐng)域.

1 換能器結(jié)構(gòu)及振動(dòng)分析

圖1所示為一種新型結(jié)構(gòu)的開縫式圓管復(fù)合壓電超聲換能器.該換能器由大功率夾心式壓電超聲換能器、階梯型變幅桿、開縫金屬圓管振子縱向復(fù)合而成.金屬圓管壁沿其長度方向均勻透開了一系列平行狹縫，其一端在換能器變幅桿縱向激勵(lì)下，圓管管壁將作高階橫向彎曲振動(dòng)，從而實(shí)現(xiàn)聲能的徑向輻射.由于縱向夾心式換能器的設(shè)計(jì)理論比較成熟，本文基于諧振設(shè)計(jì)原理，首先對開縫圓管壁及其端蓋的彎曲振動(dòng)特性進(jìn)行單獨(dú)理論研究，進(jìn)而對復(fù)合換能器的振動(dòng)特性進(jìn)行數(shù)值仿真分析.

圖1 開縫式圓管復(fù)合壓電超聲換能器結(jié)構(gòu)示意圖

2 開縫圓管振子的彎曲振動(dòng)

2.1 圓形端蓋的彎曲振動(dòng)

換能器階梯型變幅桿輸出端與開縫薄壁圓管底部的端蓋相固連，端蓋為薄圓盤結(jié)構(gòu)，在變幅桿軸向激勵(lì)下作平面彎曲振動(dòng)，并將之轉(zhuǎn)換為圓管壁的高階次橫向彎曲振動(dòng).為簡化處理，將其隔離出來進(jìn)行單獨(dú)研究，如圖2所示.

圖2 開縫圓管端蓋圖示

當(dāng)圓管端蓋厚度甚小于其直徑(一般厚徑比≤1/5)，可將其近似為薄圓盤.在此假設(shè)條件下，薄圓盤(薄板)的剪切及扭轉(zhuǎn)慣性可以忽略.對于厚度和半徑分別為h和r的端蓋，其平面彎曲振動(dòng)的微分方程為[9]

(1)

式(1)中：w為薄板的撓度；設(shè)k4=ρhω2/D,ω為圓頻率，D=Eh3/[12(1-σ2)]為材料的彎曲剛度；E為材料的彈性模量；ρ為材料密度；σ為材料泊松比.式(1)通解為

w(r,t)=[AJ0(kr)+BY0(kr)+CI0(kr)+

DK0(kr)]ejωt.

(2)

式(2)中：J0(kr)，Y0(kr)分別為零階第一類和零階第二類貝塞爾函數(shù)；I0(kr)，K0(kr)分別為零階第一和第二類修正貝塞爾函數(shù).由于薄圓盤作彎曲振動(dòng)時(shí)，其中心r=0處橫向位移為有限值，因此系數(shù)B，D均為零，即式(2)可寫作

w(r,t)=[AJ0(kmr)+CI0(kmr)]ejωt.

(3)

下標(biāo)m為振動(dòng)階次.對于簡支邊界下薄圓盤的面內(nèi)彎曲振動(dòng)，其邊界處的撓度w及彎矩M均為零，即

w(r)=0；M(r)=0.

(4)

由式(3)～式(4)得

(5)

由式(5)可得到簡支邊界條件下薄圓盤的彎曲振動(dòng)共振頻率方程為

(6)

令式(6)的解為βm，即βm=kmr，則簡支邊界條件下彎曲振動(dòng)圓盤的第m階共振頻率為

(7)

2.2 管壁弧形條的彎曲振動(dòng)

如圖3、圖4所示，開縫圓管即為在管壁上沿長度方向等弧間隔透開一系列狹縫而成.假設(shè)管壁厚度較小，且開縫數(shù)目足夠多，則每一弧形長條可近似作為一細(xì)長的等截面矩形截面梁來處理.

圖3 開縫圓管結(jié)構(gòu)圖示 圖4 弧形條單元圖示

由于圓管底部端蓋在換能器階梯型變幅桿驅(qū)動(dòng)下產(chǎn)生平面彎曲振動(dòng)，與其相連的各弧形條將受到橫向彎矩作用而產(chǎn)生彎曲振動(dòng)，各質(zhì)點(diǎn)位移方向沿徑向.由于弧形條長度遠(yuǎn)大于其橫向尺寸，故可采用Euler-Bemoulli梁理論對其橫向彎曲振動(dòng)進(jìn)行分析.理論分析中忽略轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切形變的影響，僅考慮彎曲加速度和力的平衡，則有

(8)

式(8)中：Q=?M/?x為剪力;M=-EI?θ/?x為彎矩;θ=?w/?x為撓度角;w為撓度;E為材料的彈性模量;I為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;S為梁的橫截面積.將表達(dá)式代入式(8)，分離變量并不考慮時(shí)間項(xiàng)得

(9)

式(9)中，

(10)

式(9)的通解為

w=Acos(αx)+Bcosh(αx)+

Csin(αx)+Dsinh(αx).

(11)

對于兩端簡支的等截面梁，其邊界處的撓度w及彎矩M均為0,即

w(0)=0；w″(0)=0；w(L)=0；w″(L)=0.

(12)

由式(11)及邊界條件式(12)得

(13)

由式(13)得兩端簡支等截面梁的彎曲振動(dòng)共振頻率方程

sin(αL)=0.

(14)

令式(14)的解為γn，即γn=αnL，n為振動(dòng)階次.由此得固有頻率的表達(dá)式為

(15)

頻率方程反映了振子的共振頻率與其材料及幾何尺寸之間的相互依賴關(guān)系.給定振子的材料及幾何參數(shù)即可求出共振頻率，或者給定共振頻率和材料參數(shù)求振子的尺寸.

算例1：在進(jìn)行振動(dòng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，通常先給定振子的共振頻率和材料參數(shù)，再依據(jù)頻率方程求出相應(yīng)的幾何參數(shù).依據(jù)上述共振頻率方程，對開縫圓管壁及其圓盤端蓋的彎曲共振頻率進(jìn)行了理論與數(shù)值仿真計(jì)算.選取圓管材料為6061Al，材料特性參數(shù)如下：密度ρ=2 700 kg/m3，泊松比σ=0.33，彈性模量E=70 GPa；開縫數(shù)N=12；表1中的管半徑R、管長L、端蓋厚度h及理論頻率f為給定值；依據(jù)頻率方程計(jì)算得到管壁厚度H與對應(yīng)的彎曲振動(dòng)階次n及相應(yīng)的共振頻率仿真值fe如表1所示.Δ為共振頻率理論與仿真值之間的相對誤差.由表1可知，開縫圓管振子的高階彎曲共振頻率理論與仿真結(jié)果符合較好.

表1 開縫圓管振子彎曲振動(dòng)共振頻率理論與仿真結(jié)果

3 數(shù)值仿真

3.1 開縫圓管彎曲振動(dòng)頻率特性

共振頻率是振動(dòng)系統(tǒng)的重要特性參量，其依賴于振子的材料及幾何參數(shù).為探究開縫圓管半徑、長度、管壁厚度及端蓋厚度對其振動(dòng)特性的影響，利用COMSOl Multiphysics有限元仿真軟件對開縫圓管的尺寸進(jìn)行參數(shù)化掃描，得到彎曲振動(dòng)共振頻率隨其幾何尺寸變化關(guān)系的仿真結(jié)果如圖5、圖6所示.數(shù)值仿真計(jì)算中材料特性參數(shù)如前述給出，圓管壁狹縫數(shù)目為10條，狹縫寬2 mm.

由圖5、圖6可知，開縫圓管的彎曲共振頻率隨其半徑和長度的增大而降低，隨其管壁及端蓋厚度的增大而升高.

圖5 共振頻率隨管半徑的變化關(guān)系 圖6 共振頻率隨管壁厚度的變化關(guān)系

3.2 換能器振幅特性

位移振幅是振子的重要特性參數(shù)之一，如在超聲加工、超聲波液體處理等領(lǐng)域，總希望工具頭或輻射器具有盡可能大的位移振幅，以提高超聲能量的傳遞或輻射效率.以下對開縫圓管振子與夾心式壓電換能器組成的復(fù)合系統(tǒng)振幅特性進(jìn)行有限元數(shù)值仿真分析.采用諧振組合設(shè)計(jì)方法，即分別對全波長夾心式壓電換能器(含半波長階梯變幅桿)和開縫圓管輻射器進(jìn)行仿真設(shè)計(jì).仿真建模參數(shù)如下：半波長換能器前、后蓋板材料為6061硬鋁，長度分別為60 mm和25 mm，直徑均為50 mm，材料參數(shù)如前述；壓電陶瓷為PZT-4，尺寸Φ50×Φ25×6，共4片；半波長階梯變幅桿材料為鋼，大端、小端長度均為60 mm，直徑分別為50和30 mm；開縫圓管材料為6061硬鋁，管長、管徑、管壁及端蓋厚度分別為254.0,60.0,6.9及13.3 mm; 管壁開縫數(shù)為8，縫寬2 mm.在上述給定參數(shù)條件下，全波長換能器縱向振動(dòng)基頻共振頻率、開縫圓管第9階高次彎曲諧振頻率及二者縱向復(fù)合后的換能器的共振頻率分別為20 235,20 366和19 232 Hz.

利用 COMSOL 有限元軟件對開縫圓管復(fù)合壓電換能器的振動(dòng)模態(tài)進(jìn)行了仿真，結(jié)果如圖7所示.由圖7可以看出，換能器與圓管端蓋分別工作于基頻縱向振動(dòng)模式和第1階平面彎曲振動(dòng)模式，而開縫圓管壁工作于第9階彎曲諧振模式，且具有較大的波峰數(shù)密度和振幅.

圖7 開縫圓管復(fù)合壓電超聲換能器模態(tài)振型(f=19 232 Hz)

通過提取復(fù)合壓電換能器沿軸向的位移振幅分布，結(jié)果如圖8所示.圖8(a)為全波長換能器的軸向位移分布；圖8(b)為開縫圓管振子管壁的彎曲振動(dòng)位移分布.由圖8可知，開縫圓管壁的最大彎曲振幅約為換能器變幅桿輸出端縱向最大位移振幅的2倍.可見，通過開狹縫的方式可提高換能器輸出端的位移振幅，從而可較大幅度提高此類換能器在介質(zhì)中的聲輻射效率.

(a)換能器軸向位移分布

顯然，作為浸沒式液體處理超聲換能器，振動(dòng)時(shí)較大的體積形變量意味著更高的聲輻射效率.為此，通過有限元法提取開縫圓管輻射器前10階彎曲諧振下的表面振動(dòng)位移，并對振子表面積分得到其體積形變量隨振動(dòng)階次的變化關(guān)系如圖9所示.

由圖9可以看出，開縫圓管的體積形變量并非隨其振動(dòng)階次的升高而增大，而是存在一極大值.對于本文研究的開縫圓管，其體積形變量極大值對應(yīng)的彎曲振動(dòng)階次為第4、第5階.進(jìn)一步通過有限元分析發(fā)現(xiàn)，在相同的換能器驅(qū)動(dòng)載荷下，開縫圓管輻射器的最大體積形變量約為同尺寸無縫圓管輻射器的3倍，意味著通過管壁開狹縫的方式能較大幅度地提高圓管型壓電超聲換能器的聲輻射效率.

圖9 開縫圓管彎曲振動(dòng)體積形變量與振動(dòng)階次n的關(guān)系

4 結(jié) 論

本文對一種新型的縱彎振動(dòng)模式轉(zhuǎn)換開縫式圓管壓電超聲換能器的振動(dòng)特性進(jìn)行了理論和有限元數(shù)值仿真研究，給出了圓管端蓋平面彎曲振動(dòng)及管壁弧形單元的橫向彎曲振動(dòng)頻率方程.對開縫圓管的彎曲振動(dòng)共振頻率與其幾何尺寸的關(guān)系進(jìn)行了有限元仿真研究，并對開縫圓管復(fù)合壓電超聲換能器的振幅特性進(jìn)行了數(shù)值仿真分析，研究結(jié)果表明：

1)開縫圓管的彎曲振動(dòng)共振頻率隨其半徑和長度的增大而降低，而隨其管壁及端蓋厚度的增大而升高.

2)彎曲振動(dòng)具有振幅放大作用，本文研究的開縫圓管最大彎曲振幅約為其激勵(lì)端變幅桿最大縱向振幅的2倍；其振動(dòng)體積形變量約為相同驅(qū)動(dòng)載荷下同尺寸無縫圓管的3倍.

3)開縫圓管體積型形變量隨其振動(dòng)階次的變化存在極大值，并非振動(dòng)階次越高體積形變量越大.

此外，本文研究的開縫式圓管復(fù)合壓電超聲換能器不僅具有較高的彎曲波振幅，而且具有較高彎曲波峰數(shù)密度與較大的體積形變量.因此，彎曲振動(dòng)振子的聲輻射效率較高，在超聲清洗、水處理及聲化學(xué)等液體處理領(lǐng)域極具應(yīng)用前景.