?甘肅省張掖市第二中學(xué) 紀(jì)相林

1 引言

在解數(shù)學(xué)題時(shí)，學(xué)生常習(xí)慣于“由小到大”的思維模式，就是從較復(fù)雜的“大問題”中的“小問題”入手，先解決較簡(jiǎn)單的小問題，然后再由小到大，積少成多，逐步擴(kuò)大戰(zhàn)果.但是這種常規(guī)的方法并非萬(wàn)能鑰匙，面對(duì)有些特殊問題，我們深感運(yùn)算量大、過程繁雜，甚至還可能陷入半途而廢的困境.這時(shí)，不妨換個(gè)思路，站在宏觀的角度，把待解決的“大問題”看作是一個(gè)整體，通過“聚焦”研究問題的形式、結(jié)構(gòu)與特征，有針對(duì)性地采用“代入、聯(lián)想、合設(shè)方程”[1]等多種轉(zhuǎn)化的方法與技巧，最終達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、解決問題的目的.

下面結(jié)合典型例題，探討運(yùn)用“整體思維”解決數(shù)學(xué)問題的方法與技巧.

2 “整體思維”在解題中的運(yùn)用

2.1 整體代入法

有些問題在求解時(shí)，不能(或不需)分別求出各個(gè)量的具體值，只需考慮求出這些量所構(gòu)成的某代數(shù)式的整體值，就能達(dá)到解題的目的.

例1已知直棱柱的底面是等腰梯形，且梯形對(duì)角線和梯形底邊的夾角為α，棱柱的側(cè)面積為Q，設(shè)此直棱柱有內(nèi)切圓柱，求該圓柱的側(cè)面積.

圖1

解：如圖1，梯形ABCD(AB

2DE=AB+CD.

又根據(jù)切線性質(zhì)，得

AD+BC=AB+CD.

所以DE=AD=BC，故梯形的周長(zhǎng)為4DE.

設(shè)棱柱的高為h，圓柱的底面半徑為R，那么

Q=4DE·h.

在Rt△BED中，DE=BE·cotα=2R·cotα.

點(diǎn)評(píng)：如果按照常規(guī)解法，首先設(shè)直棱柱的高為h，圓柱底面半徑為R，則S圓柱=2πRh，但是如何求Rh的值呢？這是關(guān)鍵所在.聯(lián)想到Rt△BED與等腰梯形、直棱柱同高的特點(diǎn)，我們就可以避開直接計(jì)算Rh，而是選擇將Rh整體代入的方法.這種避繁就簡(jiǎn)的方法在立體幾何中會(huì)經(jīng)常用到.

2.2 整體觀察法

整體觀察就是從宏觀的角度來(lái)考察問題的結(jié)構(gòu)與特點(diǎn)，從而找到解決問題的突破口.

解：由原不等式變形，得

該不等式對(duì)所有實(shí)數(shù)x恒成立的充要條件是

所以a的取值范圍是(0,1).

點(diǎn)評(píng)：通過整體觀察，發(fā)現(xiàn)不等式左邊的三個(gè)對(duì)數(shù)式可以轉(zhuǎn)化為同一類形式.因此，先把不等式變形化簡(jiǎn)后再求解，這樣就避免了繁瑣的運(yùn)算過程.這顯然比通常利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解簡(jiǎn)單得多.

2.3 整體配對(duì)法

對(duì)有些特征明顯的習(xí)題，我們可以根據(jù)題型的特點(diǎn)，相應(yīng)地配出與其相匹配的另一個(gè)整體，然后再根據(jù)相互之間的關(guān)系求解.

②

2.4 整體聯(lián)想法

所謂整體聯(lián)想，就是通過分析問題的整體結(jié)構(gòu)或特點(diǎn)，找出知識(shí)點(diǎn)之間的相似性、相關(guān)性等，運(yùn)用有關(guān)知識(shí)來(lái)解決問題.

因?yàn)?α-β)+(β-γ)+(γ-α)=0，所以

tan[(α-β)+(β-γ)+(γ-α)]=0.

整理，可得tan(α-β)+tan(β-γ)+tan(γ-α)=

tan(α-β)tan(β-γ)tan(γ-α).

展開，整體聯(lián)想，代換，即得

點(diǎn)評(píng)：經(jīng)過觀察和聯(lián)想，我們發(fā)現(xiàn)原題待證式中的分式與正切的差角公式相似，而且整個(gè)等式又與三角形中的公式tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC[3]相似，所以可以仿其形式，采用整體聯(lián)想、合理代換的方法輕松完成證明.

2.5 合設(shè)方程法

對(duì)具有某種性質(zhì)的兩條曲線，如果把它們的方程從整體上合設(shè)成一種表達(dá)式，就可以收到化繁為簡(jiǎn)的效果.

圖2

求證：|AC|=|BD|.

(b2-a2k2)x2-2kma2x-(m2+λb2)a2=0.

設(shè)直線與曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1) ，(x2，y2).

所以,兩交點(diǎn)連線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

所以，線段AB和CD的中點(diǎn)重合.

故|AC|=|BD|.

3 結(jié)論

從上述各例的技巧分析中可以看出，運(yùn)用整體思維法來(lái)解決數(shù)學(xué)問題，具有極大的優(yōu)越性與實(shí)用性.學(xué)生如果學(xué)會(huì)運(yùn)用整體思維法來(lái)思考問題，就能夠不斷地開闊思路，激發(fā)靈感，靈活自如地運(yùn)用并創(chuàng)新出一些更實(shí)用的方法和技巧[4]，最終達(dá)到提高解題速度與質(zhì)量的目的.