任碧瑩，孫 佳，孫向東，謝晨雪

(西安理工大學(xué)電氣工程學(xué)院，陜西 西安 710054)

1 引言

鋰離子電池因具有安全性高、能量密度高、自放電效率低、循環(huán)使用壽命長(zhǎng)等優(yōu)點(diǎn)被廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域[1]。但是，鋰離子電池的過(guò)充、過(guò)放現(xiàn)象會(huì)對(duì)電池造成不可逆轉(zhuǎn)的損壞，影響電池的性能和壽命[2]。為了保證鋰電池的安全性，電池管理系統(tǒng)迫切需要一種可靠、準(zhǔn)確、易實(shí)現(xiàn)的荷電狀態(tài)(State Of Charge, SOC)估計(jì)方法[3]。

目前，SOC估計(jì)方法分為兩種：間接法和直接法。在間接法中，電池SOC通過(guò)其他物理量來(lái)評(píng)估。電池開(kāi)路電壓作為一種間接方法，需將鋰電池與負(fù)載分開(kāi)，并在靜置到穩(wěn)定狀態(tài)后進(jìn)行測(cè)量，因此該方法不適用于在線檢測(cè)系統(tǒng)[4]。電化學(xué)阻抗譜法作為另一種常見(jiàn)的間接方法[5]，該方法不僅可用于估計(jì)SOC，還可用于估計(jì)健康狀況，但是阻抗譜的測(cè)量對(duì)所用儀器要求較高，在實(shí)際應(yīng)用中難以實(shí)現(xiàn)。

安時(shí)積分法是SOC直接估計(jì)的方法之一，其將電池電流進(jìn)行積分來(lái)估計(jì)SOC，但需要已知初始SOC，并且估計(jì)精度受到測(cè)量誤差和累積誤差的影響。智能算法的引入使得SOC估計(jì)精度有所提升，例如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[6]、滑模觀測(cè)器法[7]、粒子濾波器法等[8]，雖然這些方法可以較準(zhǔn)確地估計(jì)電池SOC，但由于需要大量的樣本并且計(jì)算復(fù)雜，很難在線使用。

擴(kuò)展卡爾曼濾波器(Extended Kalman Filter, EKF)因設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單被廣泛應(yīng)用于電池的SOC估計(jì)[9-11]?；阡囯姵氐姆蔷€性狀態(tài)空間模型，EKF使用泰勒級(jí)數(shù)的一階項(xiàng)進(jìn)行非線性函數(shù)線性化，得到近似的線性化模型，該過(guò)程將模型的二階及以上的項(xiàng)忽略掉，產(chǎn)生了一定的誤差，再進(jìn)行狀態(tài)變量的估計(jì)，則會(huì)降低SOC估計(jì)的精度。無(wú)跡卡爾曼濾波器(Unscented Kalman Filter, UKF)通過(guò)使用無(wú)跡變換(Unscented Transformation，UT)計(jì)算平均值和協(xié)方差算法來(lái)逼近系統(tǒng)的非線性模型，進(jìn)一步提高SOC估計(jì)的精度。但是由于計(jì)算機(jī)字長(zhǎng)限制，使計(jì)算中舍入誤差和截?cái)嗾`差累積，造成協(xié)方差矩陣失去正定性，導(dǎo)致UKF失去穩(wěn)定性。針對(duì)此問(wèn)題，文獻(xiàn)[12-16]將平方根無(wú)跡卡爾曼濾波器(Square Root Unscented Kalman Filter, SRUKF)應(yīng)用于電池SOC估計(jì)，文獻(xiàn)[12-15]均進(jìn)行了一次Sigma點(diǎn)采樣以及權(quán)值計(jì)算，針對(duì)狀態(tài)方程和輸出方程，先后進(jìn)行兩次采樣點(diǎn)非線性傳遞以及均值和協(xié)方差平方根矩陣的求取，進(jìn)行SOC估計(jì)；文獻(xiàn)[16]為了考慮噪聲方差的影響、提高估計(jì)精度，進(jìn)行了兩次Sigma點(diǎn)采樣以及權(quán)值計(jì)算、兩次采樣點(diǎn)非線性傳遞以及均值和協(xié)方差平方根矩陣的求取。文獻(xiàn)[12-16]雖然利用SRUKF算法解決了UKF算法不穩(wěn)定的問(wèn)題，但不論是UKF算法還是SRUKF算法，都是為了實(shí)現(xiàn)非線性方程變量的有效估計(jì)，而在SOC估計(jì)方程中其狀態(tài)方程為線性，僅輸出方程為非線性，所以SRUKF并不適合用于其狀態(tài)變量的估計(jì)。因此文獻(xiàn)[12-16]中的SOC估計(jì)過(guò)程無(wú)疑增加了不必要的計(jì)算量，并且UT變換的近似求解降低了估算精度。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文將在SRUKF進(jìn)行SOC估計(jì)的基礎(chǔ)上，提出了將卡爾曼濾波器(Kalman Filter,KF)與SRUKF組成的KF-SRUKF算法應(yīng)用于電池SOC估計(jì)中，其中KF用于線性狀態(tài)方程的計(jì)算，SRUKF則用于非線性輸出方程的計(jì)算。該算法解決了SRUKF用于SOC估計(jì)中對(duì)線性狀態(tài)方程的不適用問(wèn)題，同時(shí)也保證了算法的穩(wěn)定性，提高了SOC的估計(jì)性能。

2 鋰電池建模及參數(shù)辨識(shí)

2.1 鋰電池二階RC模型

本文選用二階RC模型作為鋰電池等效電路模型，因其較Rint模型、PNGV模型、高階RC模型等具有精確度高且算法量適中的優(yōu)勢(shì)，其電路圖如圖1所示。圖1中，UL為鋰電池端電壓；Uoc為開(kāi)路電壓，其為SOC的函數(shù)；R0為歐姆電阻；R1、R2和C1、C2分別為極化電阻和極化電容；I為電池工作電流，充電為負(fù)，放電為正。

圖1 鋰電池二階RC等效電路模型

根據(jù)基爾霍夫定律，以?xún)蓚€(gè)并聯(lián)RC網(wǎng)絡(luò)的端電壓U1和U2以及鋰電池的SOC作為狀態(tài)變量，以端電流I作為系統(tǒng)輸入量，端電壓UL作為系統(tǒng)輸出量，在考慮噪聲的情況下，可建立如式(1)所示的狀態(tài)空間模型。

(1)

式(1)中的狀態(tài)方程明顯為線性，輸出方程中由于Uoc和狀態(tài)變量SOC的高次非線性關(guān)系而導(dǎo)致系統(tǒng)輸出Z和狀態(tài)向量x為非線性關(guān)系，從而輸出方程表現(xiàn)為非線性?，F(xiàn)將式(1)簡(jiǎn)寫(xiě)為如下形式：

(2)

式中，函數(shù)f[x(k),I(k)]表示線性關(guān)系；函數(shù)h[x(k),I(k)]表示非線性關(guān)系。

2.2 鋰電池參數(shù)辨識(shí)

等效電路模型需要辨識(shí)的參數(shù)包括R0、R1、R2、C1、C2，基于二階RC等效電路模型參數(shù)辨識(shí)的差分方程如式(3)所示，其中Y=Uoc-UL。θ1～θ5為需要辨識(shí)的參數(shù)。

(3)

定義：

則式(3)可寫(xiě)為如下形式：

(4)

式(4)為用于參數(shù)辨識(shí)的表達(dá)式。θ1～θ5通過(guò)相關(guān)參數(shù)辨識(shí)得到后，令θ0=T2/(θ1+θ2-1)，a=θ0θ2，b=-θ0(θ1+2θ2)/T，c=θ0(θ3+θ4+θ5)/T2，d=-θ0(θ4+2θ5)/T。根據(jù)計(jì)算的a、b、c、d結(jié)合式(5)可推得等效電路模型的各個(gè)參數(shù)。

(5)

(6)

(7)

(8)

圖2 BLRLS算法參數(shù)辨識(shí)流程圖

3 鋰離子電池SOC估計(jì)

3.1 SRUKF算法用于SOC估計(jì)存在的問(wèn)題

UKF是一種利用多點(diǎn)采樣的策略實(shí)現(xiàn)非線性函數(shù)有效逼近的方法，其核心思想是UT，UT在進(jìn)行Sigma點(diǎn)集的獲取時(shí)有協(xié)方差矩陣的求根運(yùn)算，但由于計(jì)算機(jī)的迭代計(jì)算存在誤差且有字長(zhǎng)的限制，會(huì)使根號(hào)下的矩陣出現(xiàn)非正定的情況，從而影響UKF算法的穩(wěn)定運(yùn)行。

SRUKF則是在UKF的基礎(chǔ)上，利用QR分解和Cholesky分解得到誤差協(xié)方差矩陣的平方根，從而直接采用協(xié)方差的平方根代替UKF中的協(xié)方差進(jìn)行遞推運(yùn)算，解決了UKF算法不穩(wěn)定的問(wèn)題，提高了算法的可靠性。SRUKF大致的計(jì)算流程如圖3所示。

從圖3可以看出，SRUKF在計(jì)算過(guò)程中運(yùn)用了兩次UT，分別在狀態(tài)變量和輸出變量的估計(jì)過(guò)程中。UT是為了實(shí)現(xiàn)非線性方程變量的有效估計(jì)，而根據(jù)式(1)，用于SOC估計(jì)的狀態(tài)方程表現(xiàn)為線性，UT的近似求解無(wú)疑會(huì)增大不必要的計(jì)算量，并且降低了估算精度。所以SRUKF雖然能夠保證算法的穩(wěn)定運(yùn)行，但它也存在和UKF一樣的問(wèn)題，即只適用于非線性方程變量的有效估計(jì)。

3.2 KF-SRUKF估計(jì)策略

針對(duì)上述3.1節(jié)SRUKF算法所存在的問(wèn)題，本文將適合線性系統(tǒng)的卡爾曼濾波器與適合非線性系統(tǒng)的SRUKF相結(jié)合，提出了KF-SRUKF算法。針對(duì)線性狀態(tài)方程，采用KF算法對(duì)狀態(tài)變量進(jìn)行估計(jì)，不僅避免了SRUKF算法所產(chǎn)生的不必要的復(fù)雜計(jì)算，提高了整體的運(yùn)算效率；而且解決了 SRUKF對(duì)于線性狀態(tài)方程的不適用性問(wèn)題，提高了狀態(tài)估計(jì)的精度；針對(duì)非線性輸出方程，則采用SRUKF算法實(shí)現(xiàn)對(duì)輸出變量的估計(jì)。整體算法利用QR分解和Cholesky分解得到協(xié)方差矩陣P的平方根S來(lái)進(jìn)行傳遞，提高了算法的穩(wěn)定性。

將所提算法KF-SRUKF應(yīng)用于電池SOC估計(jì)系統(tǒng)的基本步驟如下：

(9)

步驟二：協(xié)方差平方根的一步預(yù)測(cè)。利用QR分解進(jìn)而得到KF算法中協(xié)方差矩陣Pu(k+1|k)=A(k)Pu(k|k)A(k)T+Q的平方根，如式(10)所示。

(10)

步驟三：Sigma點(diǎn)集以及權(quán)重的獲取。

(11)

(12)

步驟四：將步驟三得到的多個(gè)Sigma點(diǎn)分別代入輸出方程，得出多個(gè)觀測(cè)量。

Z(i)(k+1|k)=h[x(i)(k+1|k),I(k)]

(13)

步驟五：獲取觀測(cè)量均值。

(14)

步驟六：通過(guò)QR分解以及Cholesky因子的更新最終得到協(xié)方差的平方根S的更新值。

(15)

(16)

式中，SZkZk為觀測(cè)量自協(xié)方差矩陣平方根。

步驟七：求解協(xié)方差矩陣。

(17)

式中，PxkZk為狀態(tài)量和觀測(cè)量的協(xié)方差矩陣。

步驟八：計(jì)算Kalman增益矩陣。

(18)

步驟九：狀態(tài)向量、協(xié)方差矩陣的更新。

(19)

(20)

根據(jù)以上所述步驟，可將KF-SRUKF算法的計(jì)算流程簡(jiǎn)化為如圖4所示。

圖4 KF-SRUKF用于SOC估計(jì)的流程圖

在采用KF-SRUKF進(jìn)行電池SOC估計(jì)時(shí)，針對(duì)狀態(tài)方程，采用簡(jiǎn)單精確的KF，在減小計(jì)算量的同時(shí)實(shí)現(xiàn)高精度估計(jì)；對(duì)于輸出方程，將預(yù)測(cè)后的結(jié)果應(yīng)用UT變換，產(chǎn)生對(duì)應(yīng)的Sigma點(diǎn)集，再對(duì)此點(diǎn)集進(jìn)行輸出方程非線函數(shù)的傳遞，以獲得高精度的狀態(tài)變量估計(jì)，這種將UT變換后移的處理方式，充分考慮到了系統(tǒng)噪聲對(duì)狀態(tài)變量估計(jì)的影響，有利于改善SOC的估計(jì)性能。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

為了驗(yàn)證KF-SRUKF算法用于SOC估計(jì)的性能，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的測(cè)試與分析，測(cè)試平臺(tái)如圖5所示，由被測(cè)鋰離子電池、專(zhuān)用電池測(cè)量設(shè)備、通信線和帶有專(zhuān)用測(cè)試軟件的計(jì)算機(jī)組成，其中被測(cè)鋰離子電池的主要參數(shù)見(jiàn)表1。

4.1 鋰電池開(kāi)路電壓與SOC關(guān)系曲線

鋰電池開(kāi)路電壓與SOC之間存在著非線性關(guān)系。為了得到開(kāi)路電壓與SOC的關(guān)系，忽略電壓“遲滯現(xiàn)象”，通過(guò)電池測(cè)量設(shè)備對(duì)電池進(jìn)行間歇恒流放電實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)過(guò)程為：在室溫環(huán)境(26 ℃左右)下，采用(1/3)C電流從SOC為100%開(kāi)始放電，每次放電18 min，靜置40 min，使得鋰電池在進(jìn)行下一次循環(huán)之前達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，進(jìn)而將測(cè)量的端電壓作為此時(shí)的開(kāi)路電壓，重復(fù)此過(guò)程，直至電池達(dá)到放電截止電壓2.5 V。圖6為間歇恒流放電的過(guò)程。

圖6 間歇恒流放電過(guò)程

經(jīng)上述實(shí)驗(yàn)可以獲得12個(gè)Uoc與SOC對(duì)應(yīng)的離散點(diǎn)，其中SOC是經(jīng)電池測(cè)量?jī)x器通過(guò)已放出容量與總?cè)萘勘戎但@得的。為了確定整個(gè)過(guò)程中SOC與Uoc的關(guān)系，需要將此離散點(diǎn)進(jìn)行曲線擬合，常用的擬合方法有：五次多項(xiàng)式擬合[12,19]、七次多項(xiàng)式擬合[10,15]和根據(jù)式(21)的擬合方法[20-22]，擬合結(jié)果如圖7所示。從圖7中可以看出，采用多項(xiàng)式擬合時(shí)，開(kāi)路電壓會(huì)隨著SOC的變化上下波動(dòng)，此與鋰離子電池開(kāi)路電壓平坦的特性不符，因此選用式(21)進(jìn)行曲線擬合，得到參數(shù)值分別為：ɑ1=3.312，ɑ2=0.019 32，ɑ3=-0.003 7，ɑ4=0.029 65，ɑ5=-0.007 08。

圖7 SOC-Uoc充放電關(guān)系曲線

(21)

4.2 參數(shù)辨識(shí)結(jié)果驗(yàn)證

為了驗(yàn)證電池模型與參數(shù)辨識(shí)的性能，本文通過(guò)如圖6所示的間歇恒流放電實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。圖8為間歇恒流放電下，采用VFFRLS和BLRLS的參數(shù)辨識(shí)結(jié)果計(jì)算得到的端電壓與真實(shí)端電壓對(duì)比及誤差對(duì)比。

圖8 端電壓辨識(shí)結(jié)果及誤差對(duì)比

從圖8(a)中可以看出，兩種參數(shù)辨識(shí)方法獲得的端電壓曲線與真實(shí)端電壓曲線均基本保持一致，而從圖8(b)中可以直觀看出BLRLS算法的參數(shù)辨識(shí)精度要高于VFFRLS算法。為了更好地比較兩種算法的參數(shù)辨識(shí)性能，本文將對(duì)各個(gè)算法辨識(shí)的端電壓從均方根誤差(Root Mean Square Error,RMSE)和平均相對(duì)誤差(Mean Relative Error,MRE)兩方面進(jìn)行分析，其計(jì)算公式如式(22)所示，實(shí)測(cè)值為端電壓實(shí)測(cè)值，估計(jì)值為所辨識(shí)的端電壓。

(22)

最終選擇BLRLS的參數(shù)辨識(shí)結(jié)果作為SOC估計(jì)的基礎(chǔ)，圖9給出了BLRLS的參數(shù)辨識(shí)結(jié)果。表2為兩種算法辨識(shí)誤差對(duì)比?？煽闯鯞LRLS參數(shù)辨識(shí)誤差更小，辨識(shí)結(jié)果更優(yōu)，最終選擇BLRLS的參數(shù)辨識(shí)結(jié)果作為SOC估計(jì)的基礎(chǔ)。

圖9 電池參數(shù)辨識(shí)結(jié)果

表2 兩種參數(shù)辨識(shí)算法RMSE和MRE對(duì)比

4.3 SOC估計(jì)結(jié)果驗(yàn)證

本節(jié)分別采用間歇恒流放電工況和動(dòng)態(tài)應(yīng)力測(cè)試(Dynamic Stress Test，DST)工況進(jìn)行此部分的驗(yàn)證。其中間歇恒流放電工況如圖6所示，DST工況如圖10所示。

圖10 DST工況

圖11(a)和圖11(b)分別為在間歇恒流放電工況和DST工況下，分別采用UKF、SRUKF以及KF-SRUKF算法對(duì)電池SOC估計(jì)的結(jié)果。從圖11中可以看出，三種算法均能較準(zhǔn)確地實(shí)現(xiàn)SOC估計(jì)。從圖12(a)、圖12(b)的SOC估計(jì)誤差可知，無(wú)論是在電流階躍變化的間歇恒流放電工況下，還是在電流劇變的DST工況下，與其他兩種算法相比，采用KF-SRUKF算法能夠更準(zhǔn)確地跟蹤和估計(jì)電池的SOC。

圖11 SOC整體估計(jì)結(jié)果

圖12 SOC估計(jì)誤差

表3給出了分別采用UKF、SRUKF和KF-SRUKF算法與BLRLS算法聯(lián)合進(jìn)行電池SOC估計(jì)時(shí)的RMSE和MRE的比較信息，對(duì)比表3中數(shù)據(jù)可以看出：相對(duì)于其他兩種算法，采用KF-SRUKF算法進(jìn)行電池SOC估計(jì)時(shí)，RMSE和MRE數(shù)據(jù)均有所改善，這表明KF-SRUKF算法可以實(shí)現(xiàn)更高精度的SOC估計(jì)。

表3 三種算法RMSE和MRE對(duì)比

表4為三種算法的平均耗時(shí)對(duì)比信息，這里計(jì)算的是每個(gè)采樣點(diǎn)在每種算法下的平均耗時(shí)。從表4可以看出，使用KF-SRUKF算法的時(shí)間最短，說(shuō)明相較于其他兩種算法KF-SRUKF的計(jì)算復(fù)雜度有所下降，SOC估計(jì)效率得到了提高，與理論相一致。

表4 三種算法平均耗時(shí)對(duì)比

5 結(jié)論

本文以鋰電池二階RC電路為基礎(chǔ)，將辨識(shí)精度更高的BLRLS算法用于模型參數(shù)的辨識(shí)，針對(duì)SRUKF用于電池SOC估計(jì)時(shí)存在的問(wèn)題，提出了KF-SRUKF算法。該算法在保證穩(wěn)定性的基礎(chǔ)上，改變了SRUKF對(duì)狀態(tài)方程進(jìn)行的常規(guī)處理，提高了算法的精度，并且減少了不必要的計(jì)算量。通過(guò)實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比分析表明，所提KF-SRUKF算法相較于已有的UKF和SRUKF在SOC估計(jì)精度和速度上均有所提高，體現(xiàn)了所提算法的優(yōu)越性。