程彬 馬仕彪

(安徽省濉溪中學(xué))

拋體運(yùn)動的規(guī)律很多,是曲線運(yùn)動的基礎(chǔ),與很多運(yùn)動都可以有機(jī)結(jié)合,在電場和復(fù)合場中都有廣泛的應(yīng)用.本文從拋體運(yùn)動的基礎(chǔ)入手,結(jié)合勻變速運(yùn)動、牛頓第二定律等知識,對拋體運(yùn)動的難點(diǎn)問題進(jìn)行探究,并在廣度和深度上進(jìn)行延伸,以提高同學(xué)們的物理能力和學(xué)習(xí)興趣.

1 平拋運(yùn)動

1.1 兩個重要推論

1)任意時刻瞬時速度的反向延長線一定通過這段時間內(nèi)水平位移的中點(diǎn),如圖1所示,即

圖1

2)任意時刻瞬時速度與水平方向夾角的正切值是位移與水平方向夾角的正切值的2倍,即tanθ＝2tanα.

3)引申:a)如圖2所示,從傾角為θ的斜面上將小球以速度v水平拋出,無論v多大,小球落到斜面上時與斜面夾角均相等;b)如圖3所示,帶電粒子以初速度v0垂直電場方向進(jìn)入勻強(qiáng)電場,帶電粒子在電場中做類平拋運(yùn)動,在電場外觀察粒子的出射情況,粒子“好像”是從電場中心射出的.

圖2

圖3

1.2 速度改變量

平拋運(yùn)動的物體在任意相等時間間隔Δt內(nèi)的速度改變量Δv＝gΔt是相同的,方向恒為豎直向下,如圖4所示.請注意,這里的速度變化量Δv為矢量.

圖4

1.3 約束條件下的平拋運(yùn)動

對平拋運(yùn)動考查的試題里,幾乎所有情境都是有約束條件的.

1)影子的問題

對于拋體運(yùn)動的影子問題,很多同學(xué)都容易出錯,始終都不明白影子的運(yùn)動情況,或者認(rèn)為影子的運(yùn)動就是小球的一個分運(yùn)動.

如圖5所示,點(diǎn)光源到豎直光屏的距離為d,緊貼點(diǎn)光源以速度v0水平向豎直光屏拋出一小球,小球在運(yùn)動的過程中,會在光屏上留下一系列的影子.在t時刻,x＝,由相似原理可知,化簡得Y＝·t,說明光屏上的影子做勻速直線運(yùn)動.

圖5

2)斜面上的平拋運(yùn)動問題

a)從斜面拋出又落到斜面的時間.

圖6

b)與斜面最遠(yuǎn)距離和經(jīng)歷的時間.

方法1 如圖7所示,小球的速度方向平行于斜面時離斜面的距離最遠(yuǎn),設(shè)經(jīng)歷的時間為t′,則vy＝v0tanθ＝gt′,故運(yùn)動時間為,此時小球的水平位移為x′＝v0t′＝,小球速度方向的反向延長線交于處,故小球離斜面的最遠(yuǎn)距離

圖7

方法2如圖8 所示,把初速度v0、重力加速度g分別分解成沿斜面和垂直斜面的兩個分量,即v0x＝v0sinθ,ax＝gcosθ.小球垂直斜面分速度為零時,經(jīng)歷時間

圖8

此時距離斜面最遠(yuǎn),最遠(yuǎn)距離為

c)如圖9 所示,斜面傾角為θ,從斜面上的某點(diǎn)分別以v1和v2(v1＞v2)的速度水平拋出A、B兩個小球,兩小球在落點(diǎn)不發(fā)生反彈.

圖9

3)半圓內(nèi)的平拋運(yùn)動問題

如圖10 所示,由平拋運(yùn)動知識和幾何關(guān)系得h＝,R±,可以得到以下結(jié)論.

圖10

a)除h＝R情況外,小球下落相同的高度時對應(yīng)兩個水平位移,因此v0可能有兩解.

b)無論小球拋出的速度多大,都不可能垂直打在半圓上.

2 斜拋運(yùn)動

2.1 拋出點(diǎn)和落地點(diǎn)高度相同的斜拋運(yùn)動

如圖11所示,物體以與地面夾角為θ、大小為v0的初速度從地面斜向上拋出,水平方向分速度vx＝v0x＝v0cosθ,豎直方向分速度vy＝v0y－gt＝v0sinθ－gt,由對稱性知t上＝t下＝,上升的最大高度h＝,水平射程

圖11

2.2 拋出點(diǎn)和落地點(diǎn)高度不同的斜拋運(yùn)動最大射程和最佳拋射角

很多同學(xué)可能會認(rèn)為在任何情形下,當(dāng)拋射角θ＝45°時,水平射程都最大.形成這一錯誤認(rèn)識的主要原因是學(xué)生所記的結(jié)論是從地面斜向上拋出的情形,而普遍的情況則是如圖12所示的情形.

圖12

方法1解析式法

在豎直方向上h＝－v0sinθ·t＋,水平方向上x＝v0cosθ·t.兩式結(jié)合可得

化簡得

圖13

2.3 斜面上的斜拋運(yùn)動

如圖14 所示,運(yùn)動員從傾角為α的斜面上以與斜面的夾角為θ、大小為v0的初速度跳出,經(jīng)過一段時間后,又落到斜面上.選擇豎直向下為正方向,有y＝－v0sin(θ－α)·t＋gt2,vy＝－v0sin(θ－α)＋gt.水平方向上有x＝v0cos(θ－α)·t,vx＝v0cos(θ－α),y與x滿足關(guān)系＝tanα,設(shè)落到斜面時運(yùn)動員速度與水平方向夾角為φ,tanφ＝＝2tanα＋tan(θ－α)為常量.

圖14

3 拋體運(yùn)動在生活、體育、軍事等中的應(yīng)用

3.1 雨傘甩水問題

如圖15所示,雨傘邊緣到傘柄距離為R,邊緣高出地面高度為H,當(dāng)雨傘以角速度ω繞傘柄勻速轉(zhuǎn)動時,雨滴從傘邊緣水平甩出而做平拋運(yùn)動.設(shè)雨滴從傘的邊緣以初速度v0沿切線做平拋運(yùn)動,水平方向位移x＝v0t,豎直方向位移H＝,線速度與角速度滿足的關(guān)系為v0＝ωR,雨滴在地面形成圓的半徑,結(jié)合以上各式解得r＝.

圖15

3.2 水管出水問題

如圖16所示,一距地面高為h水平放置的水管,管內(nèi)橫截面積為S,水從管口處以速度v0源源不斷地沿水平方向流出,假設(shè)水流在空中不散開,用t表示水由噴口到地面所用的時間,則有h＝,水流穩(wěn)定后在空中的體積為V＝Sv0t＝

圖16

3.3 發(fā)球類問題

拋體運(yùn)動在各類體育運(yùn)動項(xiàng)目中很常見,下面以乒乓球的發(fā)球?yàn)槔齺碚f明.

例1如圖17所示,已知一乒乓球臺長為2L、網(wǎng)高為h,乒乓球與臺面之間的碰撞為彈性碰撞,碰撞過程滿足反射定律,不考慮乒乓球的旋轉(zhuǎn)和空氣阻力.重力加速度為g.

圖17

(1)若球在球臺邊緣O點(diǎn)正上方高度為h1處以速度v1水平發(fā)出,落在球臺上的P1點(diǎn),如圖17實(shí)線所示,求P1點(diǎn)距O點(diǎn)的距離x1;

(2)若球從O點(diǎn)正上方以速度v2水平發(fā)出,恰好在最高點(diǎn)時越過球網(wǎng)落在球臺上的P2點(diǎn),如圖17虛線所示,求v2的大小;

(3)若球從O點(diǎn)正上方水平發(fā)出后,經(jīng)反彈恰好越過球網(wǎng)且剛好落在對方球臺邊緣P3點(diǎn),求發(fā)球點(diǎn)距O點(diǎn)的高度h3.

圖18

點(diǎn)評本題綜合性較強(qiáng),“恰好越網(wǎng)”的臨界點(diǎn)是這一題的關(guān)鍵,要求考生對乒乓球的發(fā)球規(guī)則有一定了解,并且要有扎實(shí)的幾何知識才能將本題順利解決.

3.4 射擊問題

例2如圖19所示,裝甲車在水平地面上以速度v0＝20m·s－1沿直線前進(jìn),車上機(jī)槍的槍管水平,距地面高h(yuǎn)＝1.8m.在車正前方豎直立一塊高為2m的長方形靶,其底邊與地面接觸.槍口與靶距離為L時,機(jī)槍手正對靶射出第一發(fā)子彈,子彈相對槍口的初速度為v＝800m·s－1.在子彈射出的同時,裝甲車開始做勻減速運(yùn)動,行進(jìn)s＝90 m 后停下.裝甲車停下后,機(jī)槍手以相同方式射出第二發(fā)子彈.不計(jì)空氣阻力,子彈可看成質(zhì)點(diǎn),重力加速度g取10m·s－2.

圖19

(1)求裝甲車做勻減速運(yùn)動時的加速度大小;

(2)當(dāng)L＝410m 時,求第一發(fā)子彈的彈孔離地的高度,并計(jì)算靶上兩個彈孔之間的距離;

(3)若靶上只有一個彈孔,求L的范圍.

點(diǎn)評本題有兩大難點(diǎn),一是對“子彈相對于槍口的初速度為v＝800m·s－1”的理解,并能將此速度轉(zhuǎn)化為對地的速度;二是對“靶上只有一個彈孔”的理解,然后再找出對應(yīng)臨界值即可將問題解決.

4 拋體運(yùn)動中的臨界與極值

例3如圖20所示,一軌道由半徑為R＝2m 的四分之一豎直圓弧軌道AB和長度可調(diào)的水平直軌道BC在B點(diǎn)平滑連接而成,現(xiàn)有一質(zhì)量為0.2 kg的小球從A點(diǎn)無初速度釋放,經(jīng)過圓弧上B點(diǎn)時,傳感器測得軌道所受壓力大小為3.6N,小球經(jīng)過BC段所受的阻力為其重力的0.2倍,然后從C點(diǎn)水平飛離軌道,落到水平地面上的P點(diǎn),P、C兩點(diǎn)間的高度差為3.2m,不計(jì)空氣阻力,g取10m·s－2.

圖20

(1)為使小球落點(diǎn)P與B點(diǎn)的水平距離最大,求BC段的長度和P與B點(diǎn)的水平距離的最大值;

(2)小球落到P點(diǎn)后彈起,與地面多次碰撞后靜止,假設(shè)小球每次碰撞后機(jī)械能損失75%、碰撞前后速度方向與地面的夾角相等,求小球從C點(diǎn)飛出到最后靜止所需的時間.

點(diǎn)評本題考查的數(shù)學(xué)知識較多,但物理與數(shù)學(xué)還是有很大差異的,問題的本質(zhì)還應(yīng)該落在物理上,而不是純粹的數(shù)學(xué)計(jì)算,否則將失去物理應(yīng)有的本性.

5 拋體運(yùn)動與其他運(yùn)動的結(jié)合

例4如圖21所示,長為R＝0.4m 的輕繩一端固定在O點(diǎn),另一端系一質(zhì)量為m＝0.5kg的小球,現(xiàn)將繩子拉成豎直狀態(tài),小球處于最高點(diǎn).現(xiàn)給小球一個大小為v＝m·s－1的水平初速度,g取10m·s－2.求小球運(yùn)動到最低點(diǎn)時輕繩的拉力.

圖21

解析如果小球恰好能做完整的圓周運(yùn)動,在最高點(diǎn)mg＝,代入數(shù)值得v0＝2m·s－1,所以當(dāng)v≥2m·s－1時小球才能做完整的圓周運(yùn)動.

圖22

設(shè)繩子繃緊瞬間OP與豎直方向夾角為α,此過程x＝vt,y＝,結(jié)合這幾個關(guān)系式,可以解得α＝60°,t＝0.2s,vy＝gt＝2m·s－1.

繩子繃緊后瞬間,速度會出現(xiàn)突變,即沿繩方向上的速度突變?yōu)榱?只剩下沿垂直于繩方向上的速度,機(jī)械能有損失.因此只要將P點(diǎn)分速度vx和vy沿繩的方向與垂直于繩的方向進(jìn)行分解,然后再合成就可以了,即v1＝vxcosα＋vysinα＝m·s－1,從繩子繃緊到最低點(diǎn)應(yīng)用動能定理有mgR(1＋cosα)＝,在最低點(diǎn)應(yīng)用向心力公式有F－mg＝,解得F＝28.4375N.

點(diǎn)評在繩子繃緊的瞬間,速度出現(xiàn)了突變,導(dǎo)致動能瞬間減小.很多考生在解決本題時,可能沒有考慮到這一點(diǎn)而造成錯誤.

拋體運(yùn)動可考查的范圍很廣,難點(diǎn)很多,但只要掌握了拋體運(yùn)動的基本知識和規(guī)律,有關(guān)拋體運(yùn)動的問題便可迎刃而解.

(完)