火元蓮，安婭琦，鞏琪，連培君

（西北師范大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院，甘肅，蘭州 730070）

隨著信息處理技術(shù)的快速發(fā)展，自適應(yīng)濾波器作為一種有效的信號處理工具[1]，能夠在沒有任何相關(guān)統(tǒng)計知識的情況下通過某種遞歸算法對參數(shù)進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整[2-3]，使得系統(tǒng)達(dá)到最優(yōu)性能.

最小均方算法(least mean square，LMS)最早是由WIDROW 和HOFF 在1959 年提出的[4]. 由于該算法原理簡單、參數(shù)少、收斂速度較快且易于實現(xiàn)，因此被廣泛的應(yīng)用在波束形成[5-6]、回波消除[7]和系統(tǒng)辨識[8]等方面. 為了解決傳統(tǒng)LMS 算法中快收斂速度和低穩(wěn)態(tài)誤差這一矛盾，提出了變步長LMS 算法.其主要思想就是讓步長u(n)隨著算法自適應(yīng)調(diào)整，以確保步長變化符合算法收斂要求.

對于步長改進(jìn)的方法，其中最主要的就是利用函數(shù)來建立誤差和步長之間的非線性關(guān)系，如對數(shù)函數(shù)[9]，雙曲正切函數(shù)[10-12]，反正切函數(shù)[13-14]和箕舌線函數(shù)[15-16]等. 除此之外，許多學(xué)者還根據(jù)步長函數(shù)應(yīng)具有的函數(shù)特性，通過對常見函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)來塑造新的表達(dá)式，以此建立誤差和步長之間的關(guān)系. 陳康[17]提出了基于反雙曲正弦函數(shù)的變步長LMS 自適應(yīng)均衡算法，使得步長因子u(n)能夠跟隨誤差信號e(n)動態(tài)變化，但其收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差有待進(jìn)一步優(yōu)化. 仝喜峰等[18]和吳瑤等[19]是在Sigmoid 函數(shù)基礎(chǔ)上改進(jìn)的，仝喜峰等[18]是通過對Sigmoid 函數(shù)進(jìn)行變換且引入?yún)?shù)調(diào)節(jié)所得的函數(shù)式構(gòu)建u(n)和e(n)的非線性函數(shù)關(guān)系，克服了SVSLMS 算法在收斂階段步長變化過快的弊端. 吳瑤等[19]是以sigmoid 函數(shù)為原型設(shè)計了一個調(diào)節(jié)函數(shù)，并與基于Sigmoid 函數(shù)的變步長最小均方算法相乘得到非線性函數(shù)關(guān)系式，該算法進(jìn)一步兼顧了收斂性和穩(wěn)態(tài)性. 張繼榮等[20]結(jié)合基于對數(shù)函數(shù)和基于正態(tài)分布函數(shù)的變步長LMS 算法的優(yōu)點，提出新的步長參數(shù)調(diào)整公式，該算法相比前兩者能夠達(dá)到更快的收斂速度和更高的收斂精度，但在系統(tǒng)發(fā)生時變時，算法性能會被影響.

基于變步長算法的主要思想，并結(jié)合反雙曲正切函數(shù)曲線的變化特性. 本文提出了一種新的變步長LMS 算法，基于反雙曲正切函數(shù)來構(gòu)造步長與誤差之間的非線性關(guān)系式. 最后在系統(tǒng)辨識、信號去噪和信號預(yù)測方面對本文算法的性能進(jìn)行了評估.

1 LMS 算法基本原理

自適應(yīng)濾波器原理如圖1 所示. 其中，x(n)代表n時刻的輸入信號，y(n)代表自適應(yīng)濾波器n時刻的輸出信號，d(n)代表n時刻的期望信號. 通過期望信號d(n)與濾波器輸出信號y(n)的差值e(n)來自適應(yīng)的調(diào)節(jié)濾波器的參數(shù)，使下一時刻的輸出y(n+1)能夠更加接近期望信號.w(n)代表n時刻自適應(yīng)算法得到的濾波器加權(quán)系數(shù).

圖1 自適應(yīng)濾波器原理圖Fig. 1 Schematic diagram of adaptive filter

LMS 算法的具體步驟如表1.

表1 LMS 算法步驟Tab. 1 LMS algorithm steps

其中X(n)=[x(n),x(n-1),···,x(n-L+1)]，W(n)=[w(n),w(n-1),···,w(n-L+1)]分別是實際輸入向量和濾波器權(quán)系數(shù)向量，L表示濾波器長度，u表示固定步長.

算法收斂的條件為步長因子u滿足：

其中，λmax為自適應(yīng)濾波器輸入信號自相關(guān)矩陣的最大特征值.

2 改進(jìn)的變步長LMS 算法

2.1 算法原理

為了滿足算法設(shè)計的關(guān)鍵，兼顧收斂速度、穩(wěn)態(tài)誤差和跟蹤性能，本文以反雙曲正切函數(shù)的特性以及其曲線圖為基礎(chǔ)，通過對該函數(shù)的分析以及操作處理，使其函數(shù)曲線變化符合自適應(yīng)濾波算法步長因子的調(diào)整原則. 反雙曲正切函數(shù)表達(dá)式為

該函數(shù)的定義域為(-1,1)，它是奇函數(shù)，在區(qū)間(-1,1)內(nèi)單調(diào)增加. 其圖像如圖2 中曲線1 所示.

圖2 反雙曲正切函數(shù)及調(diào)整過程中的非線性函數(shù)曲線Fig. 2 Inverse hyperbolic tangent function and nonlinear function curve during adjustment

對式(2)中的自變量取絕對值，所得函數(shù)式為

式(3)的函數(shù)圖像為圖2 中的曲線2，由圖可知，該曲線符合算法步長的調(diào)整機(jī)制，其斜率隨著自變量的增大逐漸減小，意味著步長在收斂初期取值較大，在收斂完成期間取值較小，并在誤差接近零時緩慢調(diào)整. 因此利用式(3)建立步長與誤差之間的關(guān)系式為

為了更好地控制函數(shù)形狀，在式(4)中引入?yún)?shù)α ， β 和 γ，得到新的步長函數(shù)表達(dá)式為

式中： α 和 β為控制函數(shù)幅值的參數(shù)； γ為控制函數(shù)曲線形狀的參數(shù).

因此，本文算法的迭代公式為

2.2 參數(shù)選擇

為了明確新的步長函數(shù)式中參數(shù) α 、 β 和 γ對算法收斂性、穩(wěn)定性和抗干擾能力的影響，下面分別討論各參數(shù)的取值對算法性能的影響，以此選擇最優(yōu)參數(shù). 仿真軟件采用Matlab2018，仿真條件參照文獻(xiàn)[14]設(shè)定：1)自適應(yīng)濾波器為二階線性濾波器；2)未知系統(tǒng)的濾波器初始權(quán)值為W=[ 0.8 0.5 ]T，在第500 個采樣點時刻變?yōu)閃=[ 0.4 0.2 ]T；3)自適應(yīng)濾波器輸入信號X(n)為均值為0、方差為1 的高斯白噪聲；4)干擾噪聲v(n)為均值為0、方差為0.000 1 的高斯白噪聲；5)輸入信號X(n)和干擾噪聲v(n)互不相關(guān). 令采樣點數(shù)為1 000，進(jìn)行200 次仿真實驗，統(tǒng)計其平均值畫出學(xué)習(xí)曲線.

圖3 為當(dāng) α=0.02， γ=0.1 時， β分別取0.1，1，3，5時的步長u(n)和誤差e(n)以及迭代次數(shù)n和均方誤差MSE 之間的關(guān)系曲線圖. 由圖3(a)可知，當(dāng)誤差e(n)相同時，隨著 β取值的增大，曲線在收斂初期的斜率增大，即算法的收斂速度加快，但超過一定的值后，雖然算法收斂速度仍有顯著提升，但收斂后步長的調(diào)整變化也會增大，這會降低算法的穩(wěn)定性. 參考圖3(b)，當(dāng) β取0.1 時，算法在迭代500 次時還未收斂. 當(dāng) β取值大于1 時，雖然最終收斂的穩(wěn)態(tài)誤差相同，但收斂速度有所不同：當(dāng) β取1 時，算法在迭代100 次左右時達(dá)到收斂；而當(dāng) β取3 或5 時，在迭代次數(shù)為30 左右的時候，算法就已經(jīng)達(dá)到收斂狀態(tài). 因此，綜合考慮各方面因素，最終選擇 β=4.

圖3 參數(shù) β變化時步長和誤差以及迭代次數(shù)和均方誤差曲線Fig. 3 The step length and error, the number of iterations and the mean square error curve when the parameter β changes

圖4 為 β=4， γ=0.1 時，參數(shù) α變化時的步長u(n)和誤差e(n)以及迭代次數(shù)n和均方誤差MSE 之間的關(guān)系曲線圖， α分別取0.01，0.02，0.03，0.05. 由圖4(a)可知，在相同誤差下， α取值越大，算法收斂速度越快，但當(dāng) α取值超過某一定值時，算法收斂速度的增加是以犧牲穩(wěn)定性為代價. 因此，對 α的取值還需要參考圖4(b)， α取值為0.01 時，算法在迭代60 次左右時才完成收斂；而當(dāng) α取0.02，0.03 和0.05 時，算法都是在迭代次數(shù)為30 左右的時候，達(dá)到收斂狀態(tài)，但隨著α取值的增大，算法的穩(wěn)態(tài)誤差也會增大，且當(dāng) α取值大于0.05 時，該算法發(fā)散不收斂. 綜合考慮圖4(a)，最終選擇 α=0.02.

圖4 參數(shù)α 變化時步長和誤差以及迭代次數(shù)和均方誤差曲線Fig. 4 The step length and error, the number of iterations and the mean square error curve with the change of parameter αchanges

固定 α=0.02， β=4，取 γ分別為0.01，0.1，0.4，0.7 時的步長u(n)和誤差e(n)以及迭代次數(shù)n和均方誤差MSE 之間的關(guān)系曲線圖如圖5 所示. 分析圖5(a)可知， γ取值越大，步長會在誤差較大時下降到一個較小的值，進(jìn)而會導(dǎo)致系統(tǒng)的收斂速度變慢；當(dāng) γ越小時，步長調(diào)整變化越小，這個特性會使算法在收斂階段的穩(wěn)定性增強(qiáng)，但較小的 γ卻不能為算法在收斂初期提供較大的步長來使算法的收斂速度加快. 由圖5(b)可知，當(dāng) γ取0.01 和0.1 時，學(xué)習(xí)曲線幾乎重疊，但隨著 γ的持續(xù)增加，收斂速度會下降且穩(wěn)態(tài)誤差增加.因此，綜合考慮選擇 γ=0.1.

圖5 參數(shù) γ變化時步長和誤差以及迭代次數(shù)和均方誤差曲線Fig. 5 The step length and error, the number of iterations and the mean square error curve with the change of parameter γchanges

綜上，新的步長調(diào)整函數(shù)式(7)中的參數(shù) α 和 β是控制步長取值范圍的參數(shù)， γ是在步長接近0 時，控制穩(wěn)態(tài)均方誤差范圍的參數(shù). 最終，文中取參數(shù) α=0.02， β=4， γ=0.1.

2.3 算法抗干擾性分析

噪聲和干擾都會對LMS 算法的穩(wěn)定性產(chǎn)生影響，因此衡量算法性能的好壞時，抗干擾性和穩(wěn)定性也應(yīng)該被考慮到. 由式(6)可得

期望信號d(n)也可以表示為另一種形式.

其中，v(n)為干擾噪聲，一般是與輸入信號無關(guān)的均值為零的白噪聲；Wopt為最優(yōu)權(quán)系數(shù)向量；令ΔW=Wopt-W(n)，可由式(9)和式(10)得

對式(11)兩邊求平方可得.

對式(11)和式(12)兩邊取期望, 并利用v(n)與輸入信號無關(guān)且均值為0 的特性，化簡整理可得

由式(13)可知，誤差e(n)的均值不受干擾噪聲v(n)的影響，只與輸入信號相關(guān)，而誤差e(n)平方的期望與干擾噪聲相關(guān)，在干擾較大的時候，會嚴(yán)重的影響到算法的穩(wěn)定性. 因此本文算法的步長函數(shù)與干擾噪聲v(n)無關(guān)，即具有一定的抗干擾能力.

3 仿真實驗

3.1 各變步長算法在系統(tǒng)辨識中的性能對比

為了檢驗本文所提算法的性能，將其與幾個較新的變步長LMS 算法進(jìn)行比較，其中各比較算法的步長函數(shù)如下.

文獻(xiàn)[17]提出的基于反雙曲正弦函數(shù)的變步長函數(shù)為

文獻(xiàn)[18]提出的基于改進(jìn)Sigmoid 函數(shù)的變步長函數(shù)為

文獻(xiàn)[19]提出的在Sigmoid 函數(shù)基礎(chǔ)上添加調(diào)節(jié)函數(shù)的表達(dá)式為

文獻(xiàn)[20]提出的基于改進(jìn)對數(shù)函數(shù)的變步長表達(dá)式為

實驗仿真環(huán)境設(shè)置同3.2 節(jié)參數(shù)選擇中的一致：自適應(yīng)濾波器為二階線性濾波器，未知系統(tǒng)的濾波器初始權(quán)值為W=[ 0.8 0.5 ]T，在第500 個采樣點時刻變?yōu)閃=[ 0.4 0.2 ]T，自適應(yīng)濾波器輸入信號X(n)為均值為0、方差為1 的高斯白噪聲，干擾噪聲v(n)為均值為0、方差為0.000 1 的高斯白噪聲；輸入信號X(n)和干擾噪聲v(n)互不相關(guān). 令采樣點數(shù)為1 000，做200 次仿真實驗，對比各算法的性能.

在該仿真環(huán)境下，通過相同的實驗得到上述各個算法的最優(yōu)參數(shù)，如表2 所示，各算法的對比學(xué)習(xí)曲線如圖6 所示.

表2 干擾噪聲方差為0.000 1 時各算法參數(shù)選擇Tab. 2 Selection of algorithm parameters when the variance of interference noise is 0.000 1

圖6 干擾噪聲方差為0.000 1 時各算法性能比較Fig. 6 Performance comparison of different algorithm in 0.000 1 interference noise variance

分析圖6 可知，本文算法在迭代30 次左右時達(dá)到收斂，且收斂后的穩(wěn)態(tài)誤差在0.006 左右. 相較于文獻(xiàn)[17]中的算法在迭代300 次左右時穩(wěn)態(tài)誤差為0.016，無論是在收斂速度還是穩(wěn)態(tài)誤差方面，本文算法的效果都明顯優(yōu)于文獻(xiàn)[17]；而文獻(xiàn)[18]、文獻(xiàn)[19]和文獻(xiàn)[20]的算法幾乎都是在迭代300 次左右時達(dá)到0.016 的穩(wěn)態(tài)誤差，雖然與本文算法穩(wěn)定收斂后的穩(wěn)態(tài)誤差比較相近，但收斂速度卻較慢.

將噪聲v(n)變?yōu)榫禐?，方差為0.04 的高斯白噪聲，此時，各算法的最優(yōu)參數(shù)選擇如表3 所示，學(xué)習(xí)曲線如圖7 所示.

表3 干擾噪聲方差為0.04 時各算法參數(shù)選擇Tab. 3 Selection of algorithm parameters when the variance of interference noise is 0.04

圖7 干擾噪聲方差為0.04 時各算法性能比較Fig. 7 Performance comparison of different algorithm in 0.04 interference noise variance

觀察圖7 可知，在本文算法和文獻(xiàn)[17-20]所提出的算法穩(wěn)定收斂后，所達(dá)到的穩(wěn)態(tài)誤差結(jié)果很相近，幾乎都在0.032 左右；但本文算法具有較快的收斂速度，相比于它們在迭代50 次左右達(dá)到收斂，本文提出的算法在迭代30 次左右就已經(jīng)完成穩(wěn)定收斂.

綜上所述，在系統(tǒng)辨識環(huán)境中，無論加入干擾噪聲的方差為0.000 1 還是0.04，本文算法都能得到較好的效果.

3.2 正弦信號去噪

為了分析本文算法的濾波去噪能力，選擇輸入信號為s=15 sin(0.15 πt)，其采樣頻率fs=1 000，加入信噪比為15 dB 的正態(tài)隨機(jī)噪聲，利用本文算法對其進(jìn)行去噪處理，通過多次實驗選擇各參數(shù)的最優(yōu)值，實驗結(jié)果如圖8 和圖9 所示.

圖8 正弦信號去噪結(jié)果圖Fig. 8 The result of denoising sinusoidal signal

圖9 帶噪正弦、原始信號和濾波結(jié)果的對比圖Fig. 9 Comparison of noisy sine, original signal and filtered result

由圖8 可知，本文提出算法可用于正弦信號去噪，且通過圖9 觀察帶噪信號、濾波結(jié)果和原始信號的對比，發(fā)現(xiàn)本文算法對于正弦信號去噪具有良好的效果.

3.3 自適應(yīng)線性預(yù)測

由二階AR 模型產(chǎn)生自適應(yīng)濾波器的輸入信號x(n)，定義如下：

其中，a1=-1.6，a2=0.8，v(n)為零均值的高斯白噪聲，二階AR 模型如圖10 所示.

圖10 二階AR 模型圖Fig. 10 Second-order AR model diagram

得到輸入信號x(n)后，通過二階線性預(yù)測濾波器進(jìn)行自適應(yīng)線性預(yù)測，其框圖如圖11 所示.

圖11 自適應(yīng)線性預(yù)測圖Fig. 11 Adaptive linear prediction diagram

圖11 中的自適應(yīng)算法選用本文算法，各參數(shù)選擇如下： α=0.03， β=2， γ=0.1；設(shè)第n次預(yù)測的權(quán)值向量為W(n)=[w1(n),w2(n)]H，數(shù)據(jù)長度N為600. 預(yù)測結(jié)果用權(quán)值w1(n)，w2(n)的變化曲線以及誤差的平方e2(n)的變化曲線表示，權(quán)值曲線取20 次預(yù)測結(jié)果的平均值，觀察算法的收斂情況. 其結(jié)果如圖12 所示.

由圖12 可知，兩個初始權(quán)值向量w1(n)和w2(n)分別從0 出發(fā)，經(jīng)過200 次左右的迭代，兩條收斂曲線都到達(dá)了最優(yōu)值附近，而這時所產(chǎn)生的誤差來源于輸入信號中的v(n). 因此，考慮到輸入信號的隨機(jī)性，使用本文算法進(jìn)行一定次數(shù)的迭代，無論初始權(quán)值向量從哪里開始取值，迭代后權(quán)值一定會收斂到最優(yōu)權(quán)向量附近.

圖12 自適應(yīng)線性預(yù)測結(jié)果圖Fig. 12 The result of adaptive linear prediction

4 結(jié) 論

針對定步長LMS 算法的局限性，本文以反雙曲正切函數(shù)為基礎(chǔ)建立步長與誤差之間的非線性關(guān)系代替?zhèn)鹘y(tǒng)LMS 算法中的固定步長，實現(xiàn)了對步長因子的動態(tài)調(diào)整. 最后在系統(tǒng)辨識、正弦信號去噪和線性預(yù)測方面對該算法的性能進(jìn)行了驗證. 仿真結(jié)果表明，本文算法很好地兼顧了收斂速度、穩(wěn)態(tài)誤差和跟蹤性能，在系統(tǒng)辨識方面比文獻(xiàn)[17-20]的算法具有更優(yōu)的性能，同時，在正弦信號去噪和線性預(yù)測方面的應(yīng)用也說明了本文算法的有效性和適用性.