吳江斌，王 璐，夏正蘭，羅 楠

(西南交通大學 數學學院， 成都 611756)

0 引言

時間序列是指按時間順序排列好的同一統(tǒng)計指標的觀測值的序列。時間序列數據通常包含著巨大的信息，因此，如何過濾掉冗余信息，提取出所需要的信息至關重要。時間序列預測是根據已有的時間序列，對未來的數據點作出合理精準的預測，它在眾多領域都有重要的作用，如醫(yī)療[1]、金融[2]、工程[3]等。但由于其非線性、時變性等特點，時間序列的預測精度不高，如何提高其預測精準度給國內外學者留下了巨大的挑戰(zhàn)。

以往的傳統(tǒng)模型主要包括ARIMA模型和廣義回歸條件異方差(GARCH)模型。ARIMA模型可以很好地處理數據內部的季節(jié)性和趨勢性，并且在短期預測中效果較好，但是對于非線性時間序列和在長期預測中效果不夠理想[4]。GARCH模型解決了時間序列中非線性和異方差的問題，并且在長期預測中性能較好。但是實際應用中，常常遇到數據采樣頻率不同的問題，如果仍使用上述模型，則會忽略很多重要信息。因此，Ghysels等[5]提出的混頻數據抽樣(mixed data sampling，MIDAS)模型備受關注。Engle等[6]通過在GARCH模型中引入MIDAS回歸模型構成GARCH-MIDAS模型并應用于美國股市波動的研究中，發(fā)現波動率預測精度顯著提升。

GARCH-MIDAS模型可以在不改變數據頻率的情況下，直接利用不同頻率的數據，從而達到不損失重要信息提高預測精度的目的。但是Lamoureux等[7]發(fā)現，GARCH類模型可能會因為結構斷點或機制轉換而產生波動的偽持續(xù)性，影響預測精度。因此，諸多學者嘗試將馬爾可夫狀態(tài)轉換過程引入到GARCH類模型中。Gray[8]首次將馬爾可夫狀態(tài)轉換過程引入GARCH模型中構成MS-GARCH模型并應用在利率預測中。Torre-Torres等[9]使用MS-GARCH模型預測農產品交易市場的價格波動率，發(fā)現該模型非常適合玉米和大豆交易市場。Pan等[10]和Ma等[11]分別在GARCH-MIDAS模型的短期波動項和長期波動項中引入馬爾可夫狀態(tài)轉換過程構成MS-GARCH-MIDAS類模型，發(fā)現該類模型預測性能優(yōu)于GARCH-MIDAS模型。但是，此兩類模型僅在長期項或短期項中考慮了馬爾可夫狀態(tài)轉移，沒有考慮到全部參數的變化，結果或許有些片面。

同時，單結構的模型雖然在特定的時候可以表現出良好的預測性能，但是當面對波動性大的數據時，建立單結構的模型來捕捉所有波動變化往往是很困難的。并且MS-GARCH-MIDAS類模型由于參數過多，經常會因為參數估計誤差而帶來較大的預測誤差。而組合預測方法可以很好地處理以上問題，通過組合不同模型所捕捉的數據信息來進行預測，可以提高預測精度，甚至可以在單結構模型預測結果有偏的情況下，通過組合產生無偏的預測結果[12]。

因此，針對上述問題，提出了一種基于MS-GARCH-MIDAS非線性時間序列組合預測模型。首先將馬爾可夫狀態(tài)轉移引入到GARCH-MIDAS模型的長期項和短期項中，建立了基于馬爾可夫狀態(tài)轉移的GARCH-MIDAS模型，簡稱為ALL-MS-GARCH-MIDAS。然后采用4種組合預測方法對MS-GARCH-MIDAS類模型組合得到新的預測值，最后通過模型置信集(model confidence set，MCS)檢驗、DM檢驗來檢驗預測效果。以上證指數為研究對象進行實驗，實驗結果表明采用MS-GARCH-MIDAS平均組合預測方法的模型預測能力最好。

1 模型介紹

1.1 GARCH模型

為了解決ARCH模型參數估計困難和擬合精度低的問題，Bollerslov[13]在1986年提出了GARCH模型，其結構如下：

rt=μt+εt=μt+σtzt,zt～NID(0,1)

(1)

(2)

其中：μt表示條件均值，σt表示條件方差，zt服從標準正態(tài)分布，ω為常數項，αi和βj分別為殘差項和條件方差項的系數，并且滿足以下2個約束條件：

ω>0,αi,βj>0

(3)

(4)

Bollerslov等[14]發(fā)現GARCH(1,1)模型在很多情形下都適用，并且參數估計良好，擬合效果優(yōu)秀，所以采用GARCH(1,1)模型作為對比模型。

1.2 GARCH-MIDAS模型

時間序列分析中，經常出現不同頻率的數據，如日度數據、月度數據、季度數據等，如果不加處理直接使用，可能會導致一些信息的損失，影響結果。為了解決此類問題，Engle等[6]在GARCH模型中加入了MIDAS模型，提出了GARCH-MIDAS模型，其結構如下：

?i=1,…,Nt;t=1,2,…,T

(5)

其中：ri,t表示第t個時間段第i時刻的觀測值，Ei-1,t(ri,t)表示ri,t在t時間段第i-1時刻信息集下的條件期望，gi,t表示波動的短期成分，τt表示波動的長期成分，εi,t在t時間段第i-1時刻信息集下服從標準正態(tài)分布，如果令Ei-1,t(ri,t)為常數，則公式可改為：

?i=1,…,Nt;t=1,2,…,T

(6)

(7)

其中：ω為常數，α和β為待估系數，并且滿足GARCH模型的約束條件。波動的長期成分通過已實現波動率RVt來實現，表示如下：

(8)

(9)

其中：K為最大滯后階數，m為常數，θ為待估系數，φk(λ1,λ2)為已實現波動率的權重函數，這里采取的是最常用的指數權重函數，函數如下：

(10)

1.3 MS-GARCH-MIDAS類模型

根據上文，GARCH-MIDAS模型可以有效地處理時間序列中混頻數據和異方差的問題。但是在時間序列中，一組序列往往并不總是處于一種狀態(tài)，波動率可能會由于外部因素而產生劇烈波動，同時Lamoureux 和Lastrapes[7]發(fā)現GARCH類模型會因為結構斷點或機制轉換產生的偽持續(xù)性影響預測效果。因此，可以將馬爾可夫狀態(tài)轉換引入GARCH-MIDAS模型中。根據段靜靜等[15]發(fā)現，2狀態(tài)就可以很好地刻畫金融數據的統(tǒng)計特征，所以以2狀態(tài)進行分析。當在短期成分中引入馬爾可夫狀態(tài)轉換過程時，模型如下：

si,t=1,2

(11)

(12)

其中：si,t=1,2表示引入馬爾可夫狀態(tài)轉換后不同的狀態(tài)，ωsi,t、αsi,t、βsi,t表示短期成分內不同狀態(tài)下的參數。參數的狀態(tài)轉換服從馬爾可夫過程，由下面的轉移概率矩陣決定：

(13)

pi, j=Pr(St=i|St-1=j),i,j=1,2

(14)

其中：pi, j表示前一時刻的狀態(tài)j轉換到當前時刻狀態(tài)i的概率，轉移概率pi, j符合馬爾可夫的無記憶性，即當前時刻的狀態(tài)只和前一時刻的狀態(tài)相關，而與其他時刻無關。

當在長期成分中引入馬爾可夫狀態(tài)轉換過程時，模型如下：

(15)

其中：msi,t、λ1,si,t、λ2,si,t、θsi,t表示長期成分內不同狀態(tài)下的參數。

因此，Pan等[10]通過式(6)(8)(11)(12)構造了在GARCH-MIDAS模型短期項中引入馬爾可夫狀態(tài)轉換的模型，即S-MS-GARCH-MIDAS模型。Ma等[11]通過式(6)(7)(15)構造了在GARCH-MIDAS模型長期項中引入馬爾可夫狀態(tài)轉換的模型，即L-MS-GARCH-MIDAS模型。在上述基礎上，考慮了全部參數的變化情況，通過式(6)(11)(12)(15)構造了在GARCH-MIDAS模型長期和短期項中均引入馬爾可夫狀態(tài)轉移的模型，即ALL-MS-GARCH-MIDAS模型。

除了上述模型外，還采用了MS-GARCH模型作為對比模型，鑒于篇幅限制，不詳細介紹，模型詳情參考文獻[8]。

1.4 狀態(tài)轉移模型的極大似然估計

使用極大似然估計(MLE)對狀態(tài)轉移模型進行參數估計，區(qū)別于普通的MLE，馬爾可夫狀態(tài)轉換模型的MLE改進為：

(16)

(17)

(18)

P(St=i|St)=

(19)

其中：θ為參數集，Z為數據集，Pi(Zt|θi)表示不同狀態(tài)下模型的概率密度函數，P(Zt|θ)表示不同狀態(tài)下模型集成后的概率密度函數，P(St=i|St-1)表示t時刻狀態(tài)為i的概率，P(St=i|St-1=j)表示轉移概率。

綜上可以看出，狀態(tài)轉換模型的MLE對普通MLE需要做的修改如下：

1)θ擴充為θi全體，i表示狀態(tài)。

2) 補充P(S0=j|S0)的值，因為不斷引入的新信息會沖淡初始值的設定，所以初始值的設定沒有固定要求。

3) 補充P(St=i|St-1=j)，即轉移概率的值。

2 組合預測

Avramov[16]和Stock等[17]研究發(fā)現由于模型的不穩(wěn)定性，用單個模型進行樣本外預測得到的結果不夠穩(wěn)定。因此，可以采用組合預測方法解決上述問題：

(20)

采取了4種權重取值的方法：

2) 中位數組合：取N個模型每個時刻預測值的中位數作為組合預測值。

3 波動率樣本外預測及檢驗

3.1 樣本外預測

實際應用中，通常通過樣本內和樣本外的預測結果來評價一個模型預測能力的好壞。但是模型的使用者往往更注重模型樣本外預測的表現，因為他們更關心在未來使用模型時的結果。對于樣本外預測采用向前一步滾動預測的方法。

如圖1所示，首先將樣本T劃分為估計樣本t和預測樣本T-t，對于估計樣本通過MLE和遺傳算法得到模型的參數估計值，代入第t+1個觀測值得到預測樣本中的第一個預測值。接著保持估計樣本數量不變，去除原先估計樣本中的第一個觀測值，加入預測樣本中的第一個觀測值，重新進行模型的參數估計并繼續(xù)向前一步預測。最后檢測預測樣本數量是否為0，如果沒有，則重復以上步驟，如果為0，則得到了預測樣本的全部預測值。

圖1 滾動預測法原理示意圖

3.2 樣本外檢驗

損失函數可以很好地檢驗模型樣本外預測結果的好壞，然而實際應用中有很多損失函數，根據Lopez[20]的研究，選取哪一個損失函數作為評價模型預測效果的最優(yōu)函數很困難，采取不同的損失函數可能會有不同的結果。因此采取了3種損失函數來避免這種情況。損失函數如下：

(21)

(22)

(23)

雖然損失函數可以看出不同模型預測準確性的差異，但并不能表示這個差異是否具有統(tǒng)計學意義。因此采用了Hansen等[21]提出的MCS檢驗法來檢驗不同模型的預測能力。MCS檢驗的過程如下：

首先將所有的預測模型放進一個集合M0中，M0={1,2,…,m}，m為預測模型的數量。每一個模型都可以計算出不同的損失函數值，將其記為Li, j,t，i=1,2,3表示不同的損失函數，j=1,2,3…,m表示不同的模型，t=1,2,3…,T表示t時刻。對于集合中的任意兩個模型u,v(u,v∈M0)都可以計算出關于某一個損失函數的相對差值，記為di,uv,t=Li,u,t-Li,v,t。最后通過假設檢驗來剔除掉集合當中預測能力較差的模型，假設檢驗的原假設為兩個模型具有相同的預測能力，即H0:E(di,uv,t)=0。檢驗通常通過等價檢驗δM與剔除準則eM來實現。

綜上，MCS檢驗的算法步驟如下：

步驟1設定M=M0并給定顯著性水平α。

步驟2利用等價檢驗δM檢驗原假設，若原假設通過，則M=M0，否則根據剔除準則eM從M中剔除該模型。

步驟3重復步驟2，當沒有拒絕原假設情況出現時停止，得到的集合M中的模型就是最優(yōu)的。

對于給定的顯著性水平α，集合M中的模型都是通過MCS檢驗的，即模型的p值大于顯著性水平α。所以模型的p值愈大，該模型的預測效能就愈好。采用范圍統(tǒng)計量作為MCS檢驗的統(tǒng)計量，定義如下：

(24)

(25)

當統(tǒng)計量TR大于給定的臨界值時，則拒絕原假設。

4 實證分析

4.1 數據

4.2 描述性分析

圖2和圖3給出了上證指數的日收盤價和日收益率的時序圖。可以看出上證指數日收益率時間序列除了個別時刻波動較大外，基本圍繞0上下波動，說明該序列可能是平穩(wěn)序列。

為了進一步了解上證指數日收益率的統(tǒng)計特征，對其進行描述性分析，其結果見表1。

圖2 上證指數日收盤價的時間序列圖

圖3 上證指數日收益率的時間序列圖

表1 上證指數日收益率的描述性統(tǒng)計結果

從表1可以看出，上證指數日收益率序列的偏度小于0，峰度大于3，呈現出明顯的尖峰厚尾特征。并且其JB統(tǒng)計量和ADF統(tǒng)計量均在1%的顯著性水平下顯著，可以看出，該序列是平穩(wěn)但不服從標準正態(tài)分布的序列。

最后，對序列進行ARCH效應檢驗。采用Ljung-Box 的Q統(tǒng)計量，分別采取滯后長度為4、8、12和16對殘差平方序列進行自相關檢驗。如果殘差平方序列存在自相關性，說明該序列具有ARCH效應。檢驗結果見表2，可以看出殘差平方序列具有ARCH效應。

表2 殘差平方序列的自相關檢驗結果

4.3 樣本內估計

使用赤池信息準則(Akaike information criterion，AIC)、貝葉斯信息準則(Bayesian information criterion，BIC)和似然函數(LLN)值檢驗模型樣本內擬合效果。表3列出了不同模型的AIC、BIC和LLN值。

表3 6個模型的AIC、BIC、LLN數據

從表3可以看出，引入了馬爾可夫狀態(tài)轉換的模型的LLN值均大于傳統(tǒng)的GARCH、GARCH-MIDAS模型，AIC和BIC值均小于傳統(tǒng)的GARCH、GARCH-MIDAS模型，并且MS-GARCH-MIDAS類模型的效果最為顯著。因此，引入了馬爾可夫狀態(tài)轉換的模型擬合效果要優(yōu)于傳統(tǒng)的GARCH類模型。

4.4 樣本外預測

選取2020年6月16日到2021年6月24日的249個數據作為樣本外預測數據。首先對6個模型采用向前一步滾動預測法進行預測，然后使用4種不同的組合預測方法對MS-GARCH-MIDAS類模型的預測值進行加權組合，最后利用MCS檢驗考察模型樣本外預測能力。

圖4為10個模型樣本外的預測效果圖。可以看出，除了MS-GARCH模型是在高波動處擬合很好，低波動處擬合較差，其余各個模型的實際波動率與預測波動率變化基本一致，說明模型樣本外擬合較好，預測能力強。為了進一步比較模型預測能力的差別,表4給出了10個模型MCS檢驗的結果。

表4 樣本外MCS檢驗結果

從表4可以看出：① 所有模型MCS檢驗的p值均大于0.01，說明所有模型都通過了MCS檢驗，這意味著所有模型的預測結果都比較好。② 對MS-GARCH-MIDAS類模型采用了組合預測方法的模型的MCS檢驗的p值相較于其他模型更大，說明組合預測方法有助于提高模型的預測能力。③ 對MS-GARCH-MIDAS類模型采用平均組合預測方法的模型在3種損失函數下的MCS檢驗的p值均為1，說明該模型的預測效果最好。

綜上所述，認為在MS-GARCH-MIDAS類模型中采用組合預測方法有助于提高模型預測精度。再進一步，在MS-GARCH-MIDAS類模型中采用平均組合預測方法的模型要優(yōu)于其他單結構模型或其他組合預測方法的模型。

圖4 各個模型的預測波動率與實際波動率擬合圖

4.5 穩(wěn)健性分析

上一小節(jié)的結果表明，在MS-GARCH-MIDAS類模型中采用組合預測方法可以能夠有效提高模型的預測精度，其中采用平均組合預測方法的模型在預測能力方面最為優(yōu)秀。本小節(jié)采用DM檢驗來驗證模型樣本外預測能力的穩(wěn)健性。

DM檢驗由Diebold和Mariano[23]提出。其主要思路為，假設A、B 2個模型預測的誤差序列分別為Ea={a1,a2,…,aT}和Eb={b1,b2,…,bT}，T為預測的樣本數量，那么可以獲得二者之間的差值序列D={d1,d2,…,dT}，其中di=ai-bi。然后通過構造DM統(tǒng)計量進行假設檢驗，原假設為2個模型具有相同的預測能力。DM統(tǒng)計量如下:

(26)

(27)

(28)

DM統(tǒng)計量服從標準正態(tài)分布，因此通過查表可以判斷是否拒絕原假設。

表5列出了模型樣本外DM檢驗的結果。表5中的結果以平均組合預測模型為基準模型，若表中DM統(tǒng)計量的值為負數，說明基準模型的損失函數小于對應的模型，即基準模型的預測能力比對應的模型更強。可以看出，表5中的DM統(tǒng)計量的值均為負數，說明在這3種損失函數下，平均組合預測模型的預測能力都是最優(yōu)秀的。

表5 樣本外DM檢驗結果

5 結論

擴展了MS-GARCH-MIDAS類模型，提出了一種基于MS-GARCH-MIDAS非線性時間序列組合預測模型。相比于傳統(tǒng)的GARCH類模型，該模型可以更好地處理波動中機制轉移和單結構模型結果不穩(wěn)定的問題。以上證指數為例，采用了不同模型進行預測與比較。結果表明，MS-GARCH-MIDAS平均組合預測模型能有效提高預測精度，預測能力較強。該模型有較好的實際應用價值，可以對股票價格波動率的預測提供參考，同樣也對時間序列預測在其他領域的應用提供了很好的借鑒。