駱 輝，路世青，冉 靖，呂世鑫，唐光元

(重慶理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 重慶 400054)

0 引言

數(shù)控機(jī)床的整體誤差中，熱誤差占到了40%～70%[1-2]，熱誤差補(bǔ)償對(duì)于數(shù)控機(jī)床性能提升至關(guān)重要。目前國(guó)際科研人員對(duì)此研究的主要方法是利用溫度同熱誤差之間建立精度高、穩(wěn)健性強(qiáng)的預(yù)測(cè)模型而加以對(duì)機(jī)床控制和補(bǔ)償[3-10]，其理論核心是溫度敏感點(diǎn)選擇和建模算法與機(jī)床熱特性的匹配性程度[11]。Shi等[12]提出采用模糊c均值聚類和相關(guān)分析方法選擇溫度敏感點(diǎn)，并引入鄧恩指數(shù)確定最佳聚類組數(shù)，有效地抑制了溫度測(cè)點(diǎn)之間的多重共線性問(wèn)題。此外還有學(xué)者提出粗糙集理論結(jié)合灰色關(guān)聯(lián)度算法[13]、模糊聚類結(jié)合相關(guān)系數(shù)算法[14]、平均沖擊值法[15]等用于溫度敏感點(diǎn)選擇。Ramesh等[16-17]采用支持向量機(jī)算法進(jìn)行建模。Miao等[18]提出利用模糊聚類結(jié)合灰色關(guān)聯(lián)度算法對(duì)溫度敏感點(diǎn)選擇，使得溫度敏感點(diǎn)優(yōu)化至2個(gè)。隨后，Miao等[19-20]提出了一種主成分回歸(PCR)算法，相關(guān)系數(shù)結(jié)合嶺回歸算法等建模方法，消除溫度變量之間多重共線性的影響并減少溫度敏感點(diǎn)的變動(dòng)性，并提出了完整的模型穩(wěn)健性概念。模型穩(wěn)健性表現(xiàn)為所建立的熱誤差預(yù)測(cè)模型在不同的工況下，依舊能展現(xiàn)出良好熱誤差預(yù)測(cè)精度，是衡量熱誤差預(yù)測(cè)模型效果的重要指標(biāo)之一。Volk等[21]在CIRP綜述論文中將模型穩(wěn)健性概念作為機(jī)床模型的五大特征之一。Mayr等[22]提出了一種在五軸加工中心上的定期更新的自適應(yīng)熱誤差補(bǔ)償模型，且設(shè)置運(yùn)動(dòng)控制極限作為觸發(fā)條件，當(dāng)誤差值超過(guò)運(yùn)動(dòng)控制極限時(shí)則加大采集頻率以保證模型的精度。Zimmermann 等[23-24]提出自主更新建模輸入?yún)?shù)的自適應(yīng)熱誤差補(bǔ)償模型以提高模型的長(zhǎng)期有效性，提高生產(chǎn)效率。但是，實(shí)時(shí)更新的缺陷在于需要在線實(shí)時(shí)的測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)件進(jìn)行模型的重建，所以工況條件比較苛刻。

故此，本文以臺(tái)中精機(jī)Vcenter-55數(shù)控加工中心與leaderway- 450數(shù)控加工中心為研究對(duì)象，針對(duì)溫度敏感點(diǎn)變動(dòng)性，提出了KWG計(jì)算溫度敏感點(diǎn)的方法，有效降低溫度敏感點(diǎn)的變動(dòng)性。針對(duì)不同型號(hào)機(jī)械結(jié)構(gòu)不同的機(jī)床熱特性差異，導(dǎo)致直接使用常用的MLR建模算法建立的模型預(yù)測(cè)效果不佳的問(wèn)題，提出“對(duì)稱映射”穩(wěn)健性建模方法，該方法通過(guò)對(duì)熱誤差數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)稱處理之后再進(jìn)行建模，MLR模型的預(yù)測(cè)精度上升約46.6%，其模型應(yīng)用周期提升至6個(gè)月有效期。

1 熱誤差建模算法

溫度測(cè)點(diǎn)的分類和優(yōu)選可以降低各溫度測(cè)點(diǎn)之間的共線性，提高模型的穩(wěn)健性。本文通過(guò)K-means聚類算法對(duì)溫度測(cè)點(diǎn)進(jìn)行分類，將相關(guān)性強(qiáng)的溫度數(shù)據(jù)分為一類。后續(xù)選擇溫度敏感點(diǎn)時(shí)就可以減少不同類的溫度測(cè)點(diǎn)之間的共線性干擾，從而增強(qiáng)預(yù)測(cè)模型的穩(wěn)健性。之后使用灰色關(guān)聯(lián)度計(jì)算出各類中相對(duì)熱誤差權(quán)重最大的溫度測(cè)點(diǎn)作為溫度敏感點(diǎn)，用于建立預(yù)測(cè)模型。

本文針對(duì)模糊聚類結(jié)合灰色關(guān)聯(lián)度算法[18]選擇出的溫度敏感點(diǎn)仍具有一定變動(dòng)性的缺陷，提出K-means聚類算法結(jié)合灰色關(guān)聯(lián)度算法進(jìn)行溫度敏感點(diǎn)的選擇。

1.1 K-means聚類算法

K均值聚類算法(K-means clustering algorithm)是一種迭代求解的聚類分析算法。其一般通過(guò)歐氏距離進(jìn)行分類的判定依據(jù)，通過(guò)多次的迭代至滿足預(yù)定條件，從而獲得最佳分類。

(1)

式中：xi表示x的第i個(gè)坐標(biāo);yi表示y的第i個(gè)坐標(biāo)。

同時(shí)，為了進(jìn)一步提高建模預(yù)測(cè)精度，盡可能讓傳感器中包含更多的熱特性信息量，故采用鄧式灰色關(guān)聯(lián)度[25-26]在類中進(jìn)行傳感器優(yōu)化選擇，可進(jìn)一步提高選擇的傳感器在模型中的權(quán)重影響。

1.2 建模算法

本文采用常用的MLR算法建模[19-20]，目的在于驗(yàn)證通過(guò)模型預(yù)測(cè)精度相互比對(duì)分析不同溫度敏感點(diǎn)選擇算法的優(yōu)劣性，以及相互比對(duì)2種算法在不同規(guī)律的熱誤差數(shù)據(jù)下建模的精度與穩(wěn)健性。

為驗(yàn)證所建立的模型預(yù)測(cè)精度效果，以殘余標(biāo)準(zhǔn)差S作為精度評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，將各批次模型進(jìn)行相互預(yù)測(cè)。而模型對(duì)各批次數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)殘余標(biāo)準(zhǔn)差S的平均值Smean能夠從整體上反映模型對(duì)全部數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)效果，因此可以用來(lái)表征模型的預(yù)測(cè)精度;S的標(biāo)準(zhǔn)差Sstd則反映了模型對(duì)其他批次數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)效果的波動(dòng)性，因此可以用來(lái)表征模型的穩(wěn)健性。

預(yù)測(cè)殘余標(biāo)準(zhǔn)差S的計(jì)算公式為:

(2)

Smean和Sstd的計(jì)算公式如下所示

(3)

式中：Si, j表示數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)的殘余標(biāo)準(zhǔn)差，K表示數(shù)據(jù)批次。

2 實(shí)驗(yàn)方案介紹

2.1 測(cè)量裝置介紹

本文以Vcenter-55數(shù)控加工中心和leaderway- 450數(shù)控加工中心作為被測(cè)對(duì)象，實(shí)驗(yàn)方案以臺(tái)中精機(jī)Vcenter-55數(shù)控加工中心為例，如圖 1所示為Vcenter-55加工中心的正面圖像，包括了機(jī)床整體、主軸箱、主軸前端、檢驗(yàn)棒、位移傳感器夾具等。其中l(wèi)eaderway- 450數(shù)控加工中心的實(shí)驗(yàn)方案與之相同。

圖1 Vcenter-55數(shù)控立式加工中心

2.2 實(shí)驗(yàn)安排

各批次實(shí)驗(yàn)熱誤差測(cè)量過(guò)程參考國(guó)際標(biāo)準(zhǔn) S0 230-3∶2020，機(jī)床主軸以恒定轉(zhuǎn)速2 500 r/min空轉(zhuǎn)運(yùn)行，工作臺(tái)沿X、Y軸向以恒定1 500 mm/min的進(jìn)給速度進(jìn)行往返運(yùn)行，每運(yùn)行5 min 采集一次溫度和熱誤差數(shù)據(jù)，每批次實(shí)驗(yàn)時(shí)間持續(xù)6 h 之上。

位移采集使用的是電渦流位移傳感器，通過(guò)位移傳感器夾具固定在機(jī)床工作臺(tái)上，在X軸與Y軸方向上各2個(gè)位移傳感器，Z軸方向上一個(gè)位移傳感器。溫度采集選用的是DS18B20溫度傳感器，貼放在機(jī)床各熱源位置[20]。

2.3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

根據(jù)文獻(xiàn)[11]中提到數(shù)控機(jī)床熱誤差模型在不同溫度區(qū)間內(nèi)，建模預(yù)測(cè)效果差異顯著。因此，為避免由溫度區(qū)間導(dǎo)致的熱誤差模型效果下降帶來(lái)的影響，本文選擇全年環(huán)境溫度24 ℃以下的多批次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。下文中Vcenter-55加工中心選擇了13批次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，分別表示為K1～K13批次。Leaderway- 450數(shù)控加工中心選擇了13批次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，分別表示為K1～K13批次。

2.3.1溫度數(shù)據(jù)分析

繪制Vcenter-55數(shù)控加工中心和leaderway- 450數(shù)控加工中心實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)K1批次的溫度變化趨勢(shì)圖，如圖2、圖3所示，可觀察出各溫度數(shù)據(jù)的變化規(guī)律隨著時(shí)間緩慢上升，在機(jī)床熱平衡之后趨于穩(wěn)定。

圖2 Vcenter-55 第一批次實(shí)驗(yàn)溫度數(shù)據(jù)曲線

圖3 leaderway- 450 第一批次實(shí)驗(yàn)溫度數(shù)據(jù)曲線

不同型號(hào)的加工中心，其溫度變化特性趨勢(shì)基本一致。而其熱變形特性具體如何，仍需進(jìn)一步研究。

2.3.2熱誤差數(shù)據(jù)分析

因Vcenter-55和leaderway- 450數(shù)控加工中心在X軸方向與Y軸方向上機(jī)床結(jié)構(gòu)近似，并與Z軸方向的熱誤差數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，X軸和Y軸的熱誤差較小，故主要對(duì)Z向熱誤差數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析。為分析研究對(duì)象的熱誤差變化趨勢(shì)以及比較不同型號(hào)加工中心的熱誤差趨勢(shì)差異，對(duì)Vcenter-55數(shù)控加工中心和leaderway- 450數(shù)控加工中心的所有實(shí)驗(yàn)批次的Z軸熱變形進(jìn)行繪制，結(jié)果如圖4、圖5所示。

圖4 Vcenter-55數(shù)控加工中心Z軸熱特性隨時(shí)間變化曲線

圖5 leaderway- 450數(shù)控加工中心Z軸熱特性隨時(shí)間變化曲線

由圖4分析可知Vcenter-55數(shù)控加工中心13批次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中主軸Z向熱誤差整體趨勢(shì)為隨著時(shí)間先上升后下降，在機(jī)床熱平衡后逐步趨于平穩(wěn)。圖5反映了leaderway- 450數(shù)控加工中心Z軸方向的熱誤差變化趨勢(shì)，是隨著時(shí)間先上升后在機(jī)床熱平衡后逐步趨于平穩(wěn)。相比較后發(fā)現(xiàn)Vcenter-55和leaderway- 450數(shù)控加工中心Z軸方向上所呈現(xiàn)出來(lái)的熱特性差異較大，而leaderway- 450這種熱變形規(guī)律在目前為國(guó)際已發(fā)表論文中的主流熱變形特征趨勢(shì)[12，19-20,27-28]，本文將其稱之為“常規(guī)熱特性趨勢(shì)圖”。而將圖4所示熱變形特征趨勢(shì)圖稱之為“非常規(guī)熱特性”趨勢(shì)圖。

3 溫度敏感點(diǎn)選擇

溫度敏感點(diǎn)的變動(dòng)性對(duì)模型的精度與穩(wěn)健性也有很大影響[19]，為免除建模算法以外的因素影響，本文采用KWG溫度敏感點(diǎn)選擇方法，進(jìn)一步強(qiáng)化溫度敏感點(diǎn)的穩(wěn)健性，從而增強(qiáng)模型的預(yù)測(cè)精度與穩(wěn)健性。

因此后文通過(guò)KWG方法進(jìn)行溫度敏感點(diǎn)選擇結(jié)果參與建立預(yù)測(cè)模型，預(yù)測(cè)模型則為常見(jiàn)的MLR模型，敏感點(diǎn)選擇如表1所示。

表1 使用KWG分別對(duì)不同型號(hào)機(jī)床熱特性數(shù)據(jù)進(jìn)行溫度敏感點(diǎn)選擇

4 熱誤差建模預(yù)測(cè)

本節(jié)基于KWG方法選擇的溫度敏感點(diǎn)建立了Leaderway- 450與Vcenter-55加工中心Z軸的熱誤差的多元線性回歸模型。即分別對(duì)“常規(guī)熱特性”與“非常規(guī)熱特性”進(jìn)行建模預(yù)測(cè)，結(jié)果分析發(fā)現(xiàn)相同的算法針對(duì)“非常規(guī)熱特性”建立的模型精度與穩(wěn)健性明顯更差，無(wú)法滿足工業(yè)應(yīng)用需求。

為解決“非常規(guī)熱特性”模型精度較差的問(wèn)題，本文從算法與數(shù)據(jù)的適配性出發(fā)，提出了“對(duì)稱映射”穩(wěn)健性建模方法。并通過(guò)與直接建模的預(yù)測(cè)結(jié)果相比較，驗(yàn)證了“對(duì)稱映射”穩(wěn)健性建模方法建立的模型預(yù)測(cè)精度與穩(wěn)健性更高。

4.1 熱特性的直接建模

4.1.1針對(duì)“常規(guī)熱特性”的預(yù)測(cè)建模

針對(duì)Leaderway- 450加工中心Z軸熱誤差數(shù)據(jù)所展現(xiàn)出來(lái)的“常規(guī)熱特性”進(jìn)行直接建模分析，即使用KWG方法選擇的溫度敏感點(diǎn)參與建立多元線性回歸模型，如表2所示。

表2 “常規(guī)熱特性”MLR模型

其中，模型相互預(yù)測(cè)之后的預(yù)測(cè)精度與穩(wěn)健性分別是Smean=6 μm，Sstd=1.39 μm。

為了探究“非常規(guī)熱特性”的建模規(guī)律，采用上述相同的方法對(duì)Vcenter-55數(shù)控加工中心熱特性進(jìn)行預(yù)測(cè)建模與分析。

4.1.2針對(duì)“非常規(guī)熱特性”的預(yù)測(cè)建模

通過(guò)分別進(jìn)行多元線性回歸和嶺回歸建模并進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)，建模情況如表3所示。

表3 “非常規(guī)熱特性”的MLR模型

通過(guò)相互預(yù)測(cè)對(duì)評(píng)估模型的預(yù)測(cè)效果，并將“常規(guī)熱特性”與“非常規(guī)熱特性”通過(guò)Smean和Sstd分別評(píng)價(jià)模型的預(yù)測(cè)精度以及穩(wěn)健性，詳細(xì)數(shù)據(jù)如表4所示。

表4 “常規(guī)熱特性”與“非常規(guī)熱特性”直接建模的模型整體預(yù)測(cè)精度與穩(wěn)健性 μm

通過(guò)表4可以分析得出，“非常規(guī)熱特性”MLR模型精度劣于“常規(guī)熱特性”MLR模型，且整體預(yù)測(cè)精度在8 μm以上，無(wú)法滿足精度要求，對(duì)此本文通過(guò)分析數(shù)據(jù)變化趨勢(shì)，基于穩(wěn)健性建模理論，提出了“對(duì)稱映射”穩(wěn)健性建模方法。

4.2 “非常規(guī)熱特性”的穩(wěn)健性建模

4.2.1“對(duì)稱映射”穩(wěn)健性建模分析

通過(guò)繪制“非常規(guī)熱特性”K1批次數(shù)據(jù)Z向熱誤差的MLR模型曲線,即由圖6可得出如下結(jié)論與看法：Z軸方向的熱誤差變化趨勢(shì)呈現(xiàn)出隨著時(shí)間先上升然后下降隨后趨于平穩(wěn)的趨勢(shì)，MLR模型與熱誤差數(shù)據(jù)的契合度不高，模型整體呈現(xiàn)出隨著時(shí)間先快速上升，然后略微下降后就趨于平穩(wěn)，這使得圖中虛線框中的熱誤差數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)折點(diǎn)處模型的殘差值較大，達(dá)到10 μm。

圖6 “非常規(guī)熱特性”K1批次實(shí)驗(yàn)Z軸熱誤差MLR模型曲線

故提出采用“對(duì)稱映射”數(shù)據(jù)處理方式，將數(shù)據(jù)進(jìn)行翻轉(zhuǎn)處理，使其整體趨勢(shì)更加平滑，隨后利用“對(duì)稱映射”數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，再將模型以相同的方式進(jìn)行翻轉(zhuǎn)處理，最后將翻轉(zhuǎn)后的模型同實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。發(fā)現(xiàn)建模效果顯著提升，殘差由原來(lái)的正負(fù)10 μm的波動(dòng)提升至正負(fù)5 μm的波動(dòng)，如圖7、圖8所示。

圖7 “對(duì)稱映射”數(shù)據(jù)處理曲線

圖8 “對(duì)稱映射”處理后的MLR模型曲線

因此，本文根據(jù)上述“對(duì)稱映射”穩(wěn)健性建模方法應(yīng)用于“非常規(guī)熱特性”其他批次數(shù)據(jù)進(jìn)行建模預(yù)測(cè)與分析。

4.2.2“對(duì)稱映射”穩(wěn)健性建模方法驗(yàn)證

將“非常規(guī)熱特性”的K1～K13批次實(shí)驗(yàn)Z軸的熱誤差數(shù)據(jù)全部進(jìn)行“對(duì)稱映射”數(shù)據(jù)處理，如表5所示，建立MLR模型，并將翻轉(zhuǎn)MLR模型同實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)通過(guò)S值進(jìn)行相互預(yù)測(cè)比較。

表5 基于“對(duì)稱映射”處理的“非常規(guī)熱特性”的MLR模型

通過(guò)比較分析圖 9和表6后發(fā)現(xiàn)，直接使用MLR建模算法對(duì)于“非常規(guī)熱特性”趨勢(shì)下的熱誤差預(yù)測(cè)效果不佳且穩(wěn)健性差。而使用“對(duì)稱映射”穩(wěn)健性建模方法進(jìn)行MLR模型建立，其預(yù)測(cè)精度與穩(wěn)健性都得到了較大提升，該方法通過(guò)對(duì)熱誤差數(shù)據(jù)進(jìn)行相應(yīng)處理之后再進(jìn)行建模，其MLR模型的預(yù)測(cè)精度上升約46.6%，穩(wěn)健性提升60%。

圖9 “對(duì)稱映射”數(shù)據(jù)處理后MLR模型相互預(yù)測(cè)曲線

表6 “非常規(guī)熱特性”采用不同建模方法的模型整體預(yù)測(cè)精度與穩(wěn)健性

MLR模型雖然應(yīng)用廣泛，但因其穩(wěn)健性問(wèn)題，大多數(shù)情況被摒棄。對(duì)于本文采用“對(duì)稱映射”方法進(jìn)行建模時(shí)，卻意外發(fā)現(xiàn)MLR算法預(yù)測(cè)精度也得到了相應(yīng)的提高，穩(wěn)健性也有所提高。因此本文得出結(jié)論：對(duì)于許多算法在面對(duì)特殊規(guī)律的數(shù)據(jù)時(shí)，可以讓算法產(chǎn)生變化使其重新獲得有效的應(yīng)用。通過(guò)本文的思路與方法，拓展了MLR建模算法的有效應(yīng)用范圍，使其能更好地使用。

5 結(jié)論

針對(duì)數(shù)控機(jī)床溫度敏感點(diǎn)存在隨著季節(jié)變化而變動(dòng)，導(dǎo)致預(yù)測(cè)模型的精度隨之改變，模型穩(wěn)健性下降的問(wèn)題。提出了使用KWG方法，優(yōu)選出穩(wěn)健性較高的溫度敏感點(diǎn)，并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)證明KWG方法選擇的溫度敏感點(diǎn)變動(dòng)性低。同時(shí)針對(duì)研究對(duì)象所表現(xiàn)的不同于一般規(guī)律的熱特性提出了“對(duì)稱映射”穩(wěn)健性建模預(yù)測(cè)方法，解決了特殊熱變形規(guī)律與現(xiàn)有模型算法穩(wěn)健性適用范圍不匹配的問(wèn)題，有效提高了模型的預(yù)測(cè)精度與穩(wěn)健性。本文使用“對(duì)稱映射”穩(wěn)健性建模預(yù)測(cè)方法后，該方法通過(guò)對(duì)熱誤差數(shù)據(jù)進(jìn)行相應(yīng)處理之后再進(jìn)行建模，其MLR模型的預(yù)測(cè)精度上升46.6%，穩(wěn)健性提升60%。

此外，目前大多數(shù)研究團(tuán)隊(duì)面對(duì)數(shù)據(jù)建模時(shí)都具有一定的盲目性，導(dǎo)致選擇的建模算法與數(shù)據(jù)的適用范圍不匹配等問(wèn)題。本文通過(guò)“對(duì)稱映射”穩(wěn)健性建模方法研究發(fā)現(xiàn)不同的建模算法對(duì)參與建模的數(shù)據(jù)存在“適配性”問(wèn)題，當(dāng)參與建模的數(shù)據(jù)與建模算法“適配度”越高，所建立的模型精度會(huì)更高。

對(duì)于算法適配性的問(wèn)題，后期將繼續(xù)進(jìn)行研究。