高健，梁智鵬，韓興偉，2，董雪，安寧，溫冠宇，劉承志，2

（1 中國科學院國家天文臺長春人造衛(wèi)星觀測站，長春 130117）

（2 中國科學院空間目標與碎片觀測重點實驗室，南京 210008）

0 引言

衛(wèi)星激光測距技術（Satellite Laser Ranging，SLR）作為單點精度最高的空間大地測量技術之一，其測距精度已接近毫米級，將SLR 技術應用在空間碎片的精密測定軌中能夠使其軌道精度得到大幅提升［3-6］。自2002 年澳大利亞EOS 公司GREENE B 等［7］首次報告實現(xiàn)了空間碎片的漫反射激光測距后，國內外多個激光測距臺站也相繼開展了空間碎片測距實驗，并成功獲取到空間碎片的激光觀測數(shù)據(jù)［8-11］。

空間碎片測距相比合作目標測距的主要難點在于極低的漫反射回波接收信噪比和較大的初軌預報偏差。近年來針對空間碎片測距的方法創(chuàng)新和技術改進主要集中于提高測距系統(tǒng)的微弱回波探測能力，如近紅外波長測距［12］、多脈沖測距［13-14］、單站發(fā)射多站接收［15-17］、超導納米線單光子探測［18-19］等多種技術手段的組合與疊加。然而測距成功率由探測概率和虛警概率共同決定，為了抑制天空背景噪聲，使虛警概率保持在較低水平，普遍采用時間濾波的距離門控技術，其依賴于高精度的距離預報值來計算精確的探測器開門時刻，而較大的距離預報偏差將加大回波捕獲難度，降低回波搜索效率，甚至無法在目標過境弧段內完成測距過程。

在提升空間碎片的初軌預報精度以及預報偏差的實時改進方面，通過利用已產(chǎn)生的短弧長稀疏激光數(shù)據(jù)或融合光學測角數(shù)據(jù)能夠提升有限數(shù)量目標的測站預報精度［20-21］，但“后處理”的改進方式以預先獲取激光數(shù)據(jù)為前提，無法滿足激光測距對于高精度預報的高實時性需求。通過解算并應用沿跡方向的時間偏差能夠在一定程度上間接減小距離偏差［22］，奧地利Graz 觀測站在空間碎片白天測距中即應用時間偏差實時解算技術來減小距離搜索范圍［23］，但仍無法對視線方向的距離預報偏差直接進行修正。

本文借鑒衛(wèi)星編隊飛行［24］的概念，將空間碎片的預報軌道與真實軌道看作鄰近軌道，從空間目標軌道相對運動的角度來解決TLE 預報偏差的改進問題。以光學測角信息作為觀測量，通過預報軌道上虛擬預報目標與真實目標的視位置角度偏差來反演距離預報偏差的演化過程。以卡爾曼濾波為狀態(tài)估計手段，構建了近圓軌道目標的距離預報偏差實時修正算法，并通過數(shù)值仿真對算法的有效性進行了驗證。

1 理論模型建立

空間碎片預報目標與真實目標分別沿各自軌道繞地心運行，其相互間的軌道運動狀態(tài)服從相對運動動力學規(guī)律?？臻g碎片相對于觀測站的距離預報偏差作為預報偏差的視線方向分量，無法直接通過光學測角手段進行測量和修正，而處在鄰近軌道的空間碎片預報目標與真實目標的視位置角度偏差則可通過光學測角手段實時獲取，且相對運動動力學方程為預報偏差的角度分量與距離分量之間的相互轉化提供了數(shù)學基礎。因此，以相對運動動力學方程為理論建模依據(jù)，通過建立相應的空間幾何模型、狀態(tài)演化模型與角度觀測模型，即可實現(xiàn)距離偏差真值的求解。

1.1 空間幾何模型

將空間碎片預報目標作為主星，真實目標作為從星，構建圖1 所示的空間幾何模型，其包含了主星、從星、地心、觀測站之間的空間位置幾何關系。圖1 中，O點為預報目標質心，P點為真實目標質心，E點為地心，S點為觀測站，Oxyz為固連在主星O上的星基軌道坐標系，x軸和y軸在軌道平面內，x軸方向由地心E指向主星O，y軸垂直于x軸并指向主星O的運動方向，z軸指向軌道平面法向，與x軸和y軸構成右手直角坐標系。γ為由觀測站S指向主星O的單位矢量，同時定義γ1為單位矢量γ在軌道平面內的投影與x軸的夾角，γ2為單位矢量γ與z軸的夾角。

(1)廬山交通發(fā)展快速。2017年7月，廬山索道正式開通，并在開通后的首月共接待游客超過20萬人次，受到了廣大游客的喜愛。廬山索道項目也是九江市旅游的重點工程，僅8分鐘就可以上下廬山，它的建造得到了江西省委、省政府、市委、市政府和廬山管理局的高度重視和支持，有效緩解了廬山旅游旺季的交通壓力，為游客上廬山提供了極大的便利。

1.2 狀態(tài)演化模型

在相對運動動力學方程中，Clohessy-Wiltshire（C-W）方程［25］是描述近圓軌道目標相對運動的簡潔形式。考慮距離偏差修正過程僅針對空間碎片的單次短時過境，其攝動項影響遠小于測量誤差，因此，將C-W方程作為求解預報偏差矢量演化過程的數(shù)學模型，其解析表達式如式（1），其中(x，y，z)為真實目標在預報目標質心坐標系下的相對位置空間坐標，對應于預報偏差矢量的空間狀態(tài)，n為其繞地心運行的平角速度。

由式（2）和式（3）的C-W 方程解的形式可知，預報目標與真實目標在任意時刻t的相對位置和相對速度狀態(tài)僅由相對運動初始狀態(tài)決定，即預報偏差矢量隨時間的演化過程是確定性的。只要獲取多組不同時刻的相對運動狀態(tài)量或其線性組合，即可對未知量相對運動初始狀態(tài)進行求解，進而得到任意時刻t的相對運動狀態(tài)

1.3 角度觀測模型

預報偏差矢量在空間中的演化過程對地面觀測站而言表現(xiàn)為預報目標與真實目標在光學測角平面上投影點的相對運動。為了量化這種映射關系，構建如圖2 所示的角度觀測模型。其中，圖2 所示平面為光學測角平面，O'與P'分別為空間幾何模型中預報目標O與真實目標P在光學測角平面上的投影點，v是預報目標O的空間飛行速度方向在光學測角平面上的投影。定義α軸方向為與v平行的沿跡方向，β軸方向為垂直于v的垂跡方向，若將角度偏差觀測量按所定義的沿跡方向和垂跡方向進行分解和量化，則P'在以O'為原點的O'αβ直角坐標平面內的坐標(α，β)即為角度觀測模型的角度偏差觀測量。

聯(lián)合所構建的空間幾何模型與角度觀測模型，可得到角度偏差觀測量(α，β)與Oxyz坐標系下相對位置狀態(tài)量(x，y，z)的幾何映射關系為

式中，c1=cosγ1，s1=sinγ1，c2=cosγ2，s2=sinγ2，ρ為距離預報值，對應于預報矢量的模長。同時可得到距離預報偏差Δρ與相對位置狀態(tài)量(x，y，z)的幾何映射關系為

式（4）和式（5）所描述的是某一時刻的靜態(tài)幾何映射關系，而其中c1，s1，c2，s2，ρ均隱含為時間t的函數(shù)，與角度偏差的觀測時刻相對應，即幾何映射關系隨時間動態(tài)更新。聯(lián)合式（4）的幾何映射關系與狀態(tài)演化模型可知，只要獲取多組不同時刻的角度偏差觀測量，即可映射得到多組相對運動初始狀態(tài)的線性組合，進而實現(xiàn)對相對運動初始狀態(tài)的求解。進一步地，只要得到相對運動初始狀態(tài)的近似解或最優(yōu)估計值，即可通過式（2）得到任意時刻t的相對位置狀態(tài)量(xt，yt，zt)，并通過式（5）的幾何映射關系最終得到各時刻所對應的距離預報偏差值。

2 算法設計

距離預報偏差實時修正算法設計的關鍵是通過角度偏差觀測量的累積使距離預報偏差估計值迅速向真值收斂。從狀態(tài)演化模型中C-W 方程解的形式可知，其描述的是由相對運動初始狀態(tài)所定義的線性動態(tài)系統(tǒng)，可使用經(jīng)典的卡爾曼濾波算法對其進行狀態(tài)估計。定義X=為卡爾曼濾波器的狀態(tài)向量，Z=(ρα ρβ)T為觀測向量，其無控狀態(tài)方程和觀測方程分別為

式中，wk-1為過程噪聲向量，vk為觀測噪聲向量，wk-1和vk均為白噪聲向量且相互獨立。式（6）的狀態(tài)方程中Xk和Xk-1均對應于相對運動初始狀態(tài)，因此狀態(tài)轉移矩陣Ak取單位矩陣E。定義與式（4）對應的幾何映射矩陣H為

與式（2）和式（3）對應的相對運動狀態(tài)轉移矩陣M為

則式（7）的觀測方程中觀測矩陣Ck可表示為

即通過幾何映射矩陣H和相對運動狀態(tài)轉移矩陣M，角度偏差觀測量與相對運動初始狀態(tài)直接建立了映射關系，其中矩陣H隱含有時間變量t，且H和M中的時刻t與角度偏差量的觀測時刻t=tk相對應。

卡爾曼濾波對狀態(tài)量的迭代求解包括預測和更新兩個步驟。其預測過程如式（11），包括狀態(tài)向量的先驗估計與協(xié)方差矩陣計算。算法設定狀態(tài)向量估計值的初值為零向量，同時設定狀態(tài)協(xié)方差矩陣Pk的初值P0=diag((Δx)2(Δy)2(Δz)2，其中相對位置標準差Δx，Δy，Δz均取100 m，相對速度標準差均取0.1 m/s，過程噪聲協(xié)方差矩陣Qk取零矩陣。

卡爾曼濾波的更新過程如式（12），包括卡爾曼增益Kk的計算以及狀態(tài)向量估計值與協(xié)方差矩陣Pk的更新過程。算法設定觀測噪聲協(xié)方差矩陣Rk=diag((ρΔα)2(ρΔβ)2)，其中Δα，Δβ均與角度觀測量標準差σA相等，對應于望遠鏡系統(tǒng)的角度測量精度指標，設置為5″以內，ρ對應于t=tk時刻的距離預報值。

式（11）和式（12）的卡爾曼濾波算法作為最優(yōu)狀態(tài)求解器實時迭代產(chǎn)生相對運動初始狀態(tài)估計值，在每一次迭代計算的同時，將產(chǎn)生的代入式（2）可得到t=tk時刻的相對位置狀態(tài)量估計值而后更新式（5）的幾何映射關系并將代入，即得到了本次迭代對應的距離預報偏差估計值。

在算法的實際應用中，卡爾曼濾波器的角度偏差觀測量輸入由空間碎片真實位置觀測值和預報位置之間的角度偏差依所建立的角度觀測模型實時轉換得到，其中真實位置通過方位俯仰或赤經(jīng)赤緯形式由觀測系統(tǒng)實時提供，與望遠鏡的指向方向無關，而各時刻的預報位置在觀測開始之前即已計算得到，且作為已知量在觀測過程中不再改變。即算法運行的距離預報偏差修正過程與目標跟蹤過程中的望遠鏡指向偏差修正動作相互獨立，互不影響。

在觀測弧段的起始，系統(tǒng)開始接收光學測角數(shù)據(jù)并實時轉換為卡爾曼濾波器的角度偏差觀測量輸入，算法迭代產(chǎn)生的距離預報偏差估計值被實時傳輸至測距系統(tǒng)。測距系統(tǒng)依據(jù)接收到的距離預報偏差修正量實時對TLE 距離預報進行修正并搜索回波，直至弧段結束，由此即實現(xiàn)了距離預報偏差實時修正技術輔助的空間碎片測距過程。

3 數(shù)值仿真與結果分析

為了驗證距離預報偏差實時修正算法的有效性，選取軌道高度在1 500 km 以下的9 顆ILRS 近地聯(lián)測激光衛(wèi)星作為數(shù)值仿真對象，基本涵蓋了近地目標不同的軌道高度和軌道傾角。所選目標同時具有TLE 兩行根數(shù)預報和ILRS 提供的高精度CPF 預報，其中無修正TLE 預報軌道與CPF 預報軌道分別對應算法模型中的預報目標軌道和真實目標軌道。本文研究的是距離預報偏差改進問題，將CPF 預報軌道作為參考軌道，其軌道精度相比TLE 預報能夠滿足算法驗證的軌道精度需求［2］。

為了模擬真實測距場景，在數(shù)值仿真中將CPF 角度預報作為卡爾曼濾波器的角度觀測量輸入，同時將CPF 距離預報作為真實距離觀測值參考。定義CPF 距離預報與無修正TLE 距離預報之間的距離偏差為參考距離偏差ΔρREF，則算法實時產(chǎn)生的距離偏差估計值向參考距離偏差ΔρREF的收斂速度以及與其接近程度將作為數(shù)值仿真結果的評價標準。

獲取9 顆近地目標于2021-12-01～2021-12-20 日間在長春站過境的所有弧段，在篩除最大俯仰角小于10°以及初始距離偏差小于100 m 的弧段后共計633 圈，各弧段取10°作為觀測的起止俯仰角并做預報。從實用化的角度，將TLE 距離預報值與真實距離觀測值之間的偏差修正至小于100 m 即可滿足空間碎片觀測時段常規(guī)探測器的距離門寬范圍，從而有效增加回波捕獲概率。因此，數(shù)值仿真以從弧段起始至|ΔρREF|＜100 所用時長作為修正時間，將修正時間與修正時間的全弧段時長占比作為評價指標。

仿真并統(tǒng)計各目標20 天內所有弧段的平均弧段時長、平均初始距離偏差、平均最大距離偏差、平均修正時間與平均修正時間弧段時長占比，各目標仿真統(tǒng)計結果如表1 所示，其中弧段時長和修正時間單位為分鐘（min）。為了仿真對比角度測量精度對算法修正精度和收斂速度的影響，并驗證算法對于角度測量精度指標的寬容度，將卡爾曼濾波器中角度觀測量標準差σA分別設置為2″和5″。

從仿真統(tǒng)計結果可以看出，所選近地合作目標的平均弧段時長在16 min 以內，平均初始距離偏差量均小于500 m，且弧段最大距離偏差略大于初始距離偏差，兩者相比差別不大。角度觀測量標準差σA為2″時，算法能夠在大部分弧段起始的1 min 以內將TLE 預報的距離偏差量修正至小于100 m，各目標平均修正時間弧段時長占比最大值小于15%，即大部分弧段能夠在弧段起始的前15%完成距離偏差修正過程。對比σA為5″的仿真結果，平均修正時間較σA為2″時略有增加，表明較高的角度測量精度有利于加快距離偏差的修正速度，各目標平均修正時間弧段時長占比最大值小于20%，仍在可接受范圍內，即算法對于角度測量精度指標具有較好的寬容度，能夠適用于具備不同角度測量精度的望遠鏡系統(tǒng)。

以所選目標中平均初始距離偏差最大的GRACE-FO-1 為例，圖3 顯示了GRACE-FO-1 于協(xié)調世界時（Universal Time Coordinated，UTC）2021 年12 月18 日01：29：17～01：36：21 在長春站過境弧段的完整距離預報偏差修正過程（σA=2″）。

圖3 中弧段時長7.1 min，初始距離偏差接近1 000 m。在弧段的起始，距離偏差估計值的初值為0，隨著光學角度偏差觀測量的累積，修正算法使得距離偏差估計值迅速向參考距離偏差ΔρREF收斂；在弧段開始1 min 后，ΔρREF與的偏差量減小至100 m 以內，也即TLE 距離預報值與真實距離觀測值之間的偏差量被修正至100 m 以內。此時已滿足了常規(guī)探測器的距離門寬搜索范圍要求，激光測距系統(tǒng)可穩(wěn)定地獲取有效回波，隨后距離偏差量進一步減小，一直穩(wěn)定在ΔρREF附近，直至弧段結束。

本文算法主要在于通過減小距離預報偏差來縮減距離門回波搜索范圍，提高有效回波信號落入距離門寬內的概率，進而提升距離門控回波搜索捕獲效率和整體測距成功概率。其對于測距成功概率的提升程度則主要與不同觀測時段不同天空背景噪聲強度下所允許的探測器最大距離門寬，以及距離預報偏差修正前后的距離偏差量有關。空間碎片測距能力的提升是多種技術手段綜合運用的結果，在實際應用中，將本文提出的距離預報偏差實時修正技術與其它測距技術手段相結合，能夠發(fā)揮出更大的作用。

4 結論

非合作目標空間碎片的距離預報偏差修正問題一直是領域內的難題，將視位置角度偏差作為觀測量的距離預報偏差實時修正方法為其提供了新的思路和解決方案，仿真統(tǒng)計結果表明方法具有很高的實用價值，而能夠持續(xù)穩(wěn)定地獲取角度偏差觀測量是方法成功的關鍵。當前空間碎片白天測距仍是領域內的難題，受限于白天強天空背景噪聲下的探測器最大距離門寬限制，其對于距離預報精度的要求更加嚴苛，若能夠很好地解決白天空間目標的可視問題，方法將在空間碎片白天測距中也發(fā)揮重要的作用，有利于空間碎片白天測距能力的提升。算法模型中指向偏差、蒙氣差、角度采樣延時、大氣延遲誤差等觀測量和狀態(tài)量噪聲對于算法穩(wěn)定性的影響將通過進一步的數(shù)值仿真和實測實驗進行研究和驗證。