林建忠

(寧波大學(xué)機(jī)械工程與力學(xué)學(xué)院，寧波 315210)

(浙江大學(xué)航天航空學(xué)院，杭州 310027)

周培源先生1902年出生于江蘇宜興，1924年秋從清華學(xué)校高等科畢業(yè)后因成績(jī)優(yōu)秀被派送美國(guó)芝加哥大學(xué)繼續(xù)完成大學(xué)課程，于1926年春、夏分別獲學(xué)士和碩士學(xué)位。1927年春，周先生到美國(guó)加利福尼亞理工學(xué)院攻讀博士學(xué)位，從事相對(duì)論研究，于1928年3月獲理論物理博士學(xué)位。隨后的幾個(gè)月，周先生訪問(wèn)了哈佛大學(xué)、普林斯頓大學(xué)和康奈爾大學(xué)，并于1928年秋前往德國(guó)萊比錫大學(xué)跟隨諾貝爾獎(jiǎng)獲得者海森堡教授（Heisenberg WK）從事量子力學(xué)研究，后來(lái)又應(yīng)諾貝爾獎(jiǎng)獲得者泡利教授（Pauli WE）邀請(qǐng)，前往瑞士蘇黎世聯(lián)邦理工學(xué)院繼續(xù)從事量子力學(xué)研究。1929年秋，周先生應(yīng)國(guó)立清華大學(xué)羅家倫校長(zhǎng)邀請(qǐng)，回國(guó)入職清華大學(xué)成為物理系教授，繼續(xù)從事相對(duì)論研究。1936—1937年，周先生赴美國(guó)普林斯頓高等研究院從事相對(duì)論和宇宙論的研究，其間參加了愛(ài)因斯坦（Einstein A）組織的相對(duì)論研討班。1937年，周先生從美國(guó)回國(guó)不久，“七七事變”引發(fā)了抗日戰(zhàn)爭(zhēng)的全面爆發(fā)，他認(rèn)為作為一名科學(xué)家，應(yīng)當(dāng)以國(guó)家的利益為重，走科學(xué)救國(guó)之路，于是他毅然將主要精力從相對(duì)論的純理論研究轉(zhuǎn)向在抗戰(zhàn)方面有應(yīng)用價(jià)值的流體力學(xué)領(lǐng)域，從此開(kāi)始長(zhǎng)達(dá)半個(gè)多世紀(jì)的湍流研究。

以往通常將周培源湍流理論按時(shí)間分為四個(gè)階段，即20世紀(jì)40年代、50～60年代、70年代、80～90年代。本文則將周培源湍流理論分為四個(gè)方面，即湍流“前模式理論”，渦旋結(jié)構(gòu)的湍流統(tǒng)計(jì)理論，相似性理論和逐級(jí)逼近方法。

1 湍流“前模式理論”

本文涉及的是不可壓縮湍流場(chǎng)，構(gòu)成湍流場(chǎng)的基本流體單元的運(yùn)動(dòng)遵循基本的物理規(guī)律，滿足特定的數(shù)學(xué)方程。

1.1 基本方程

1.1.1 Reynolds平均運(yùn)動(dòng)方程

不可壓縮湍流場(chǎng)基本流體單元滿足的連續(xù)性方程和忽略體積力的Navier-Stokes方程為

式中ui和uj，p，ρ和ν分別是流體的速度、壓力、密度和運(yùn)動(dòng)黏性系數(shù)；xi是坐標(biāo)。

Reynolds[1]認(rèn)為，對(duì)充分發(fā)展的湍流場(chǎng)，可以將方程（1）（2）中速度和壓力的瞬時(shí)量表示為平均量（大寫(xiě)字母）與脈動(dòng)量（右上角帶撇）之和

將其代入方程（1）（2）進(jìn)行平均后可得

方程（5）稱為Reynolds平均運(yùn)動(dòng)方程，式中的τij稱為Reynolds應(yīng)力，表示為

式中的“-”表示平均。對(duì)三維流場(chǎng)而言，Reynolds應(yīng)力有9個(gè)分量（6個(gè)獨(dú)立分量），這使得Reynolds平均運(yùn)動(dòng)方程（5）不封閉而無(wú)法求解。

早期的許多學(xué)者尋求各種途徑解決方程的不封閉問(wèn)題，途徑之一是建立Reynolds應(yīng)力與平均速度梯度的關(guān)系，如Prandtl[2]的混合長(zhǎng)度理論，該理論定義流體單元遷移時(shí)保持原有動(dòng)量的最大長(zhǎng)度為混合長(zhǎng)度，并將該長(zhǎng)度類比于與流體黏性系數(shù)相關(guān)的分子自由程，從而建立Reynolds應(yīng)力與平均速度梯度的關(guān)系；Taylor[3]的渦旋傳遞理論，該理論與混合長(zhǎng)度理論類似，區(qū)別在于用流體單元遷移時(shí)保持原有渦量的最大長(zhǎng)度代替混合長(zhǎng)度；von Kármán[4]的局部相似性理論，該理論可以確定混合長(zhǎng)度與空間坐標(biāo)的關(guān)系。

以上封閉Reynolds平均運(yùn)動(dòng)方程的途徑雖能用于對(duì)一些湍流場(chǎng)的描述，但有局限性，例如在平均速度梯度為零的湍流場(chǎng)中，Reynolds應(yīng)力為零，這與實(shí)際不符。于是，解決方程不封閉問(wèn)題的另一途徑，就是建立導(dǎo)致方程（5）不封閉的Reynolds應(yīng)力所滿足的方程。

1.1.2 Reynolds應(yīng)力方程

Reynolds將方程（3）代入方程（1）（2）后再減去方程（4）（5），得到脈動(dòng)速度方程

由方程（8）可以得到Reynolds應(yīng)力（式（6））滿足的Reynolds應(yīng)力方程

該方程中包含的三階脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)項(xiàng)、脈動(dòng)壓力梯度與脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)項(xiàng)、耗散項(xiàng)都是未知項(xiàng)，只有確定了這三項(xiàng)后才能使方程封閉求解。需要指出的是，在后來(lái)湍流模式理論的Reynolds應(yīng)力模式中，通常將方程（9）寫(xiě)成

然后對(duì)方程中的湍流（或壓力與湍流）擴(kuò)散項(xiàng)、耗散項(xiàng)和壓力變形項(xiàng)進(jìn)行模化。

1.2 Reynolds應(yīng)力方程的?；?/h3>

1940年，周先生認(rèn)為[5]，既然Navier-Stokes方程（2）是湍流場(chǎng)基本流體單元瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)所滿足的方程，那么僅考慮湍流的平均運(yùn)動(dòng)部分是不夠的，湍流的脈動(dòng)部分同樣重要，必須同時(shí)考慮湍流脈動(dòng)方程、Reynolds應(yīng)力（二階脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)）方程以及高階脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)方程。于是，周先生對(duì)Reynolds應(yīng)力方程（9）中包含的三個(gè)未知項(xiàng)分別進(jìn)行以下的?；芯俊aunder[6]稱該研究為后來(lái)的湍流模式理論奠定了基礎(chǔ)，所以在此將其稱為湍流“前模式理論”。

1.2.1 三階脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)項(xiàng)的?；?/p>

對(duì)于Reynolds應(yīng)力方程（9）中未知的三階脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)項(xiàng)，周先生進(jìn)一步推導(dǎo)給出了三階脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)方程[5]

可見(jiàn)三階脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)方程（11）中又出現(xiàn)了四階脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)和其他新的未知項(xiàng)。實(shí)際上，第n階脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)方程中會(huì)出現(xiàn)第n+1階脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)項(xiàng)。周先生認(rèn)為，只有基于對(duì)脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)的物理假設(shè)，才能使一定階的脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)方程得以封閉并求解。為此，他將方程（11）中的四階脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)項(xiàng)用三個(gè)二階脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)乘積之和表示

式中c是常系數(shù)，當(dāng)時(shí)周先生基于脈動(dòng)速度是時(shí)間或坐標(biāo)的正弦函數(shù)這一假設(shè)給出c= 1/2，Heisenberg和Chandrasekhar后來(lái)也分別提出過(guò)該假設(shè)。受限于測(cè)量?jī)x器和技術(shù)，式（12）在50年后通過(guò)對(duì)湍射流、湍尾流場(chǎng)的實(shí)驗(yàn)[7]得到證實(shí)，并給出射流場(chǎng)c= 1/2，尾流場(chǎng)c= 1的結(jié)論。

1.2.2 脈動(dòng)壓力梯度與脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)項(xiàng)的?；?/p>

（1） 脈動(dòng)壓力梯度與一項(xiàng)脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)項(xiàng)的模化

對(duì)于Reynolds應(yīng)力方程（9）中脈動(dòng)壓力梯度與脈動(dòng)速度的關(guān)聯(lián)項(xiàng)，周先生假設(shè)脈動(dòng)壓力p'與平均壓力有相同量級(jí)，給出了表達(dá)式[5]

1945年，周先生對(duì)該項(xiàng)又做了進(jìn)一步研究，他對(duì)脈動(dòng)速度方程（8）取散度，根據(jù)連續(xù)性方程（4）和方程（7），得到脈動(dòng)壓力滿足的Poisson方程[8]

進(jìn)而得到脈動(dòng)壓力梯度滿足的Poisson方程

該方程的解為

式中各量右上角的“*”號(hào)表示該量是積分域上任一點(diǎn)的量，不帶“*”號(hào)的量表示脈動(dòng)壓力所在點(diǎn)的量（以下同）；r是從脈動(dòng)壓力所在的點(diǎn)到積分域上任一點(diǎn)之間的距離； dV?和 dS?分別是積分域的體積單元和面單元；?/?n*表示法向?qū)?shù)。

周先生將方程（16）乘上脈動(dòng)速度ul'后再平均，得到脈動(dòng)壓力梯度與脈動(dòng)速度的關(guān)聯(lián)

對(duì)不是很靠近壁面的區(qū)域而言，方程（17）最后一項(xiàng)面積分的被積函數(shù)很小，因而面積分可以忽略，在經(jīng)過(guò)坐標(biāo)變化和對(duì)被積函數(shù)中快變量與慢變量的分析之后，他給出方程（9）中的脈動(dòng)壓力梯度與脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)項(xiàng)[8]

（2） 脈動(dòng)壓力梯度與兩項(xiàng)脈動(dòng)速度的關(guān)聯(lián)

對(duì)于三階脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)方程（11）中脈動(dòng)壓力梯度與兩項(xiàng)脈動(dòng)速度的關(guān)聯(lián)項(xiàng)，1940年，周先生假設(shè)該項(xiàng)可以近似地分解為依賴于平均壓力梯度和不依賴于平均壓力梯度的兩個(gè)部分[5]

式中cijl和k(ijl)是常數(shù)但并不普適，可由實(shí)驗(yàn)確定，其中林家翹、胡寧等參加了確定k(ijl)的研究工作。

1945年，周先生對(duì)該項(xiàng)又做了進(jìn)一步研究，采用與推導(dǎo)方程（17）相同的方法，得到脈動(dòng)壓力梯度與兩項(xiàng)脈動(dòng)速度的關(guān)聯(lián)[8]

式（22）已經(jīng)忽略了面積分的部分。對(duì)應(yīng)于方程（18）～（20），周先生進(jìn)一步給出了方程（11）中的脈動(dòng)壓力梯度與兩項(xiàng)脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)項(xiàng)[8]

其中

1987年，周先生和陳十一[9]基于準(zhǔn)相似性假設(shè)，將兩個(gè)點(diǎn)的脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)函數(shù)用同一點(diǎn)的脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)以及脈動(dòng)速度均方根的方次表示，給出了脈動(dòng)壓力梯度與脈動(dòng)速度、兩項(xiàng)脈動(dòng)速度、三項(xiàng)脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)的表達(dá)式。

需要指出的是，周先生對(duì)于脈動(dòng)速度與脈動(dòng)壓力梯度關(guān)聯(lián)項(xiàng)的?；c后來(lái)的湍流模式理論不同，后者是將該項(xiàng)分解成壓力擴(kuò)散項(xiàng)和壓力變形項(xiàng)后分別進(jìn)行模化[10]。

1.2.3 耗散項(xiàng)的?；?/p>

（1）二階耗散項(xiàng)的?；?/p>

Reynolds應(yīng)力方程（9）中含有二階耗散項(xiàng)。1940年，周先生在對(duì)高Reynolds數(shù)壓力驅(qū)動(dòng)槽道湍流場(chǎng)的研究中忽略了該項(xiàng)，但他同時(shí)也指出，該項(xiàng)在一般湍流場(chǎng)中不可忽略。1945年，他在分析湍流場(chǎng)中相鄰兩點(diǎn)脈動(dòng)速度特性的基礎(chǔ)上，基于流場(chǎng)局部均勻條件，給出了方程（9）中包含非各向同性影響的二階耗散項(xiàng)的表達(dá)式[8]

式中λ是Tarloy湍流微尺度，q是脈動(dòng)速度的均方根，gik是度量張量的協(xié)變分量，k表示湍流場(chǎng)偏離各向同性的程度。同時(shí)，他還提出了方程（11）中三階耗散項(xiàng)為0的近似。

（2）三階耗散項(xiàng)的?；?/p>

三階脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)方程（11）中含有三階耗散項(xiàng)。1987年，周先生和陳十一基于準(zhǔn)相似性假設(shè)，在方程（27）的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)得到了三階耗散項(xiàng)的表達(dá)式[9]

式中c1和c2是待定常數(shù)。在該文中，他們還給出了四階耗散項(xiàng)的表達(dá)式。

1.3 湍流“前模式理論”的應(yīng)用

1.3.1 高Reynolds數(shù)壓力驅(qū)動(dòng)二維槽道流

1940年，周先生基于Reynolds平均運(yùn)動(dòng)方程（5）、Reynolds應(yīng)力方程（9）、三階脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)方程（11），對(duì)高Reynolds數(shù)壓力驅(qū)動(dòng)二維槽道流進(jìn)行了求解[5]。求解時(shí)，方程（5）中忽略了黏性耗散項(xiàng)；方程（9）中忽略了含黏性系數(shù)的耗散項(xiàng)，且脈動(dòng)壓力梯度與脈動(dòng)速度的關(guān)聯(lián)項(xiàng)用方程（13）表示；方程（11）中忽略了含黏性系數(shù)的耗散項(xiàng)，且四階脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)項(xiàng)用方程（12）表示，脈動(dòng)速度梯度與兩項(xiàng)脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)項(xiàng)用方程（21）表示。求解得到的平均速度分布與當(dāng)時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符合。

1.3.2 尾流及半射流

Reynolds平均運(yùn)動(dòng)方程（5）和Reynolds應(yīng)力方程（9）分別用于對(duì)尾流[11]及半射流[12]的求解，其中方程（9）中脈動(dòng)壓力梯度與脈動(dòng)速度的關(guān)聯(lián)項(xiàng)，基于對(duì)稱的條件用某一點(diǎn)或該點(diǎn)附近的值代替，而方程（9）中的耗散項(xiàng)表示為

式中k'是常數(shù)。求解得到的平均速度分布與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符合。

1.3.3 槽道、圓管和邊界層流場(chǎng)

Reynolds平均運(yùn)動(dòng)方程（5）、Reynolds應(yīng)力方程（9）、三階脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)方程（11）分別用于對(duì)槽道[13]、圓管[14]、半無(wú)限平板邊界層湍流場(chǎng)[15]的求解，其中方程（9）中的脈動(dòng)壓力梯度與脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)項(xiàng)用方程（18）～方程（20）表示，耗散項(xiàng)用方程（27）表示；方程（11）中忽略四階脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)項(xiàng)和耗散項(xiàng)，脈動(dòng)壓力梯度與兩項(xiàng)脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)項(xiàng)用方程（23）～方程（26）表示。求解得到的平均速度分布與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符合。

2 渦旋結(jié)構(gòu)的湍流統(tǒng)計(jì)理論

自19世紀(jì)末開(kāi)始，人們采用Reynolds提出的對(duì)Navier-Stokes方程先平均后求解的方法研究具有脈動(dòng)特性的湍流場(chǎng)。正如第一部分所述，采用這種方法面臨兩大困難，一是方程組不封閉，為使方程組封閉，人們不得不提出一些假設(shè)，而這些假設(shè)往往缺乏普適性；二是聯(lián)立求解方程組的過(guò)程很復(fù)雜。

面對(duì)這兩大困難，周先生對(duì)湍流場(chǎng)的求解又進(jìn)行了深入的思考，他認(rèn)為湍流運(yùn)動(dòng)與渦旋運(yùn)動(dòng)有著密切的聯(lián)系，湍流由許許多多的渦旋組成，可以將最小尺度的渦作為湍流元。于是周先生和蔡樹(shù)棠先生于1956年提出了先求解方程然后進(jìn)行平均的方法[16]，即把求解Navier-Stokes方程得到的某個(gè)特定渦旋解（渦元）作為湍流元，再通過(guò)特定的統(tǒng)計(jì)平均方法得到湍流運(yùn)動(dòng)各種物理量的統(tǒng)計(jì)平均規(guī)律。34年后的1990年，Narasimha[17]指出，這種先求解后平均的方法是另一種傳統(tǒng)的湍流研究方法，并特別強(qiáng)調(diào)所求的解就是湍流元。

2.1 線性化渦量方程及求解

這種先求解后平均方法的關(guān)鍵是尋找具體湍流場(chǎng)的渦元以及選擇統(tǒng)計(jì)平均方法。

2.1.1 渦球運(yùn)動(dòng)解

1956年，周先生和蔡先生在忽略渦量動(dòng)力學(xué)方程中非線性項(xiàng)的前提下，研究球形渦元的運(yùn)動(dòng)，得到了用匯合超幾何函數(shù)表示的相似性解[16]

式中η是渦量，Ψ是流函數(shù)，U是球形渦元球面的移動(dòng)速度，a是球形渦元半徑，R和θ是極坐標(biāo)，ν是流體黏性系數(shù)，t是時(shí)間。

由相似性解給出的流場(chǎng)渦量演變說(shuō)明，初始集中在一個(gè)小體積內(nèi)的渦元渦量會(huì)逐漸向外擴(kuò)散，任意時(shí)刻圍繞渦元中心存在一個(gè)由流面構(gòu)成的圓球面，且該球面沿渦旋的對(duì)稱軸移動(dòng)。因流體黏性的作用，球面內(nèi)外的渦量分布在球面上連續(xù)，渦元在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中形狀不變，但體積持續(xù)增大，渦元運(yùn)動(dòng)速度逐漸變小并趨向于零。他們還分析了相似性解的適用性，認(rèn)為在渦元運(yùn)動(dòng)的初期，相似性解只在部分流場(chǎng)區(qū)域有效，而在渦元運(yùn)動(dòng)的后期，相似性解在整個(gè)流場(chǎng)有效。

2.1.2 均勻各向同性湍流后期的渦性結(jié)構(gòu)

既然以上得到的相似性解適用于渦元運(yùn)動(dòng)后期的整個(gè)流場(chǎng)，而此時(shí)的流場(chǎng)可視為均勻各向同性，于是周先生和蔡先生同樣在忽略渦量動(dòng)力學(xué)方程中非線性項(xiàng)的前提下，得到了作為各向同性湍流元的球形渦元和一種軸對(duì)稱渦元[18]

式中ui是渦元的誘導(dǎo)速度，U是渦元移動(dòng)速度，lj是渦元軸線的方向余弦，a是渦元半徑，R是極坐標(biāo)，ν是流體黏性系數(shù)，t是時(shí)間。需要指出的是，Kovasznay等[19]于17年后發(fā)表了類似的結(jié)果。

他們基于渦元渦量集中在渦元中心附近且每個(gè)渦元總角動(dòng)量為常數(shù)的假設(shè)，得到了均勻各向同性湍流場(chǎng)衰變后期的二階速度關(guān)聯(lián)函數(shù)解

式中n是單位體積中的渦元個(gè)數(shù)，其他符號(hào)的定義與方程（32）相同，該解與Batchelor等[20]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符合。

他們還證明了渦元運(yùn)動(dòng)的渦性結(jié)構(gòu)與湍流場(chǎng)的湍性結(jié)構(gòu)密切相關(guān)，流線相似但渦量分布不同的渦元運(yùn)動(dòng)會(huì)導(dǎo)致不同的速度關(guān)聯(lián)；反之，流線不同但渦量分布相同的渦元運(yùn)動(dòng)則導(dǎo)致相同的速度關(guān)聯(lián)。他們還提出，基于已知的渦元速度分布，可以計(jì)算高階的速度關(guān)聯(lián)函數(shù)。

黃永念先生[21]根據(jù)文獻(xiàn)[18]給出的軸對(duì)稱渦元速度場(chǎng)（32）和求速度關(guān)聯(lián)的方法，計(jì)算了均勻各向同性湍流衰變后期的三階速度關(guān)聯(lián)，計(jì)算時(shí)把速度場(chǎng)表示成各向同性的張量形式

式中符號(hào)的定義與方程（32）（33）相同。

黃先生先采用多維Fourier變換推導(dǎo)三階速度關(guān)聯(lián)的譜函數(shù)，然后推導(dǎo)得到三階速度關(guān)聯(lián)

式中r是流場(chǎng)中兩點(diǎn)距離，其他符號(hào)的定義與方程（32）（33）相同。由式（35）計(jì)算所得的結(jié)果與后來(lái)Bennett等[22]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符合。

2.1.3 自由湍流的后期運(yùn)動(dòng)

在對(duì)均勻各向同性湍流后期渦性結(jié)構(gòu)研究的基礎(chǔ)之上，周先生和蔡先生把研究拓展到尾流、射流等具有剪應(yīng)力的自由湍流場(chǎng)[23]。他們認(rèn)為這類流場(chǎng)發(fā)展到遠(yuǎn)下游的特性與均勻各向同性湍流相似，可以采用研究均勻各向同性湍流的方法來(lái)研究自由剪切湍流場(chǎng)的后期運(yùn)動(dòng)，即基于湍流由渦元組成的想法求解自由剪切湍流場(chǎng)后期運(yùn)動(dòng)的方程。

首先，他們假設(shè)自由剪切湍流后期運(yùn)動(dòng)的湍流Reynolds數(shù)比較小，可以忽略脈動(dòng)速度方程（8）中的非線性項(xiàng)，但須保留平均速度梯度項(xiàng)。其次，考慮到自由剪切湍流后期的渦旋尺度較小，可以認(rèn)為渦旋尺度內(nèi)的平均速度及其梯度保持不變。在以上兩個(gè)前提下，他們求解脈動(dòng)速度方程（8）得到了一種近似解，該解由湍流度比較高的均勻各向同性湍流的渦元運(yùn)動(dòng)和湍流度比較低的與平均速度梯度相關(guān)的渦元運(yùn)動(dòng)組成，而且前者大于后者?；诿}動(dòng)速度的這一近似解，他們用文獻(xiàn)[18]的平均方法，給出了湍流場(chǎng)中任一點(diǎn)的Reynolds應(yīng)力張量[23]

式中n是單位體積中的渦元數(shù)；A是積分常數(shù)，取決于具體流場(chǎng)；t0為初始時(shí)刻；ν是流體黏性系數(shù)；U0為渦旋所在位置的速度。

他們將以上方法用于二維尾流遠(yuǎn)下游湍流場(chǎng)的求解，得到了平均速度分布、脈動(dòng)速度平方的平均值以及Reynolds剪應(yīng)力。

2.2 無(wú)黏渦量方程及求解

周先生認(rèn)為[24]，既然可以用渦元運(yùn)動(dòng)對(duì)以上均勻各向同性湍流后期衰變的流場(chǎng)進(jìn)行描述，那么也應(yīng)當(dāng)可以用渦元運(yùn)動(dòng)來(lái)描述均勻各向同性湍流初期和中期衰變時(shí)的流場(chǎng)以及具有剪應(yīng)力的一般湍流場(chǎng)。

1965年，周先生等[25]研究高Reynolds數(shù)下的均勻各向同性湍流，根據(jù)高Reynolds數(shù)湍流場(chǎng)的特性，在文獻(xiàn)[16]給出的渦量動(dòng)力學(xué)方程中，忽略黏性項(xiàng)而保留非線性項(xiàng)，在球坐標(biāo)下基于軸對(duì)稱條件和采用分離變量法，得到了方程的自相似解。在此基礎(chǔ)上，他們根據(jù)角動(dòng)量守恒條件，得到了流場(chǎng)特征長(zhǎng)度l、特征速度U與時(shí)間的關(guān)系[25]

式中l(wèi)與渦旋尺度有關(guān)；λ0和是初始時(shí)刻t=t0時(shí)的Tarloy湍流微尺度和湍流均方根速度，式（37）中l(wèi)按t1/5的規(guī)律變化與實(shí)驗(yàn)結(jié)果[26]相符合。

他們還根據(jù)以上得到的自相似解，采用文獻(xiàn)[18]的平均方法以及由Kármán-Howrth方程確定積分常數(shù)，得到二階速度關(guān)聯(lián)f和三階速度關(guān)聯(lián)k的表達(dá)式

式中B是無(wú)量綱常數(shù)，取決于具體流場(chǎng)；其他符號(hào)的定義與方程（35）相同。

根據(jù)式（38）計(jì)算得到的結(jié)果，除坐標(biāo)原點(diǎn)附近以外的大部分區(qū)域與實(shí)驗(yàn)結(jié)果[26-27]相符合。計(jì)算結(jié)果還表明，在二階速度關(guān)聯(lián)具有自相似性解的范圍內(nèi)，三階速度關(guān)聯(lián)的解不存在相似性。

3 相似性理論

在以上渦旋結(jié)構(gòu)的湍流統(tǒng)計(jì)理論中，并非任意一個(gè)Navier-Stokes方程的解都可以作為湍流元，作為湍流元的解要滿足渦旋角動(dòng)量守恒條件和統(tǒng)計(jì)條件。周先生于1959年提出，這個(gè)統(tǒng)計(jì)條件就是流體力學(xué)中的相似性條件[28]，如同Prandtl在層流邊界層理論中提出的相似性原理[29]。換言之，只有滿足相似性解的渦元，才能作為渦旋結(jié)構(gòu)湍流統(tǒng)計(jì)理論中的湍流元對(duì)湍流場(chǎng)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均，從而給出平均速度和各階速度關(guān)聯(lián)等統(tǒng)計(jì)量。

周先生認(rèn)為，既然湍流平均運(yùn)動(dòng)速度存在相似性解，那么導(dǎo)致湍流脈動(dòng)的無(wú)規(guī)渦元運(yùn)動(dòng)也應(yīng)該存在相似性解；如果存在相似性解，那么必定存在與相似性解相關(guān)的特征尺度；Taylor稱構(gòu)成湍流最小渦旋（即渦元）的尺度為T(mén)aylor湍流微尺度λ，那么將λ作為與相似性解相關(guān)的特征尺度是自然的選擇，況且在二階耗散項(xiàng)方程（27）和三階耗散項(xiàng)方程（28）中都包含λ。于是，建立湍流場(chǎng)的相似性理論，確定與相似性解相關(guān)的Taylor湍流微尺度λ，構(gòu)成了周培源湍流理論的重要組成部分。

3.1 各向同性湍流中的湍流微尺度

既然Taylor湍流微尺度λ是最小渦旋的尺度，那么為了確定λ，可以從渦量方程入手。1945年，周先生對(duì)脈動(dòng)速度方程（8）取旋度后得到脈動(dòng)渦量方程[8]

1948年，周先生在方程（39）和方程（40）的基礎(chǔ)上，建立了二階脈動(dòng)渦量關(guān)聯(lián)滿足的微分方程[30]。首先，他假設(shè)兩個(gè)相鄰點(diǎn)之間的二階脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)和三階脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)函數(shù)可以展開(kāi)為兩點(diǎn)位置矢量差與Taylor湍流微尺度λ之比的冪級(jí)數(shù)，且級(jí)數(shù)的系數(shù)是Reynolds應(yīng)力的線性函數(shù)；其次，假設(shè)關(guān)聯(lián)函數(shù)相對(duì)于兩點(diǎn)剛性平移的變化遠(yuǎn)小于兩點(diǎn)相對(duì)位移引起的變化。根據(jù)以上兩個(gè)假設(shè)，他將二階脈動(dòng)渦量關(guān)聯(lián)方程中的各項(xiàng)進(jìn)行模化，?；螽a(chǎn)生6個(gè)標(biāo)量方程，但未知量卻有7個(gè)，即6個(gè)Reynolds應(yīng)力分量和Taylor湍流微尺度λ。為此，他進(jìn)一步假設(shè)，由對(duì)流攜帶的、通過(guò)垂直于流動(dòng)方向單位面積的平均能量通量，正比于Reynolds應(yīng)力在改變流體微元體積和形狀時(shí)的功率在該方向上的梯度，反比于湍流能量衰減的平方。于是，他結(jié)合方程（27），將Reynolds應(yīng)力方程（9）的指標(biāo)縮并后得到湍流能量輸運(yùn)方程[30]

式中q2=uj′uj′，τmn如式（6）所示，D是與流場(chǎng)Reynolds有關(guān)的正常數(shù)，U0是流場(chǎng)特征速度，gij是度量張量的逆變分量，λ是Tarloy湍流微尺度。

基于以上方程，周先生研究各向同性湍流的能量和渦量衰減，給出了Tarloy湍流微尺度滿足的關(guān)系[30]

式（42）與Batchelor等[31]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符合。

他還基于脈動(dòng)渦量方程（39），（40）和湍流能量輸運(yùn)方程（41），在忽略黏性耗散項(xiàng)的前提下求解了槽道湍流場(chǎng)，得到了近壁區(qū)域平均速度分布的對(duì)數(shù)律，且得到的脈動(dòng)速度分量的均方值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果定性一致。

3.2 脈動(dòng)渦量的相似性解

周先生認(rèn)為[28]，構(gòu)成湍流脈動(dòng)的渦元尺度Λ比較小，在Λ的范圍內(nèi)與渦元運(yùn)動(dòng)相關(guān)的函數(shù)（稱快變量）在空間上有較大梯度，而平均速度和Reynolds應(yīng)力（稱慢變量）在空間上的梯度較小，因而可以把平均運(yùn)動(dòng)方程與脈動(dòng)渦量方程（39）， （40）近似地分開(kāi)求解。

他在求解脈動(dòng)渦量方程（39），（40）時(shí)，采用以平均速度運(yùn)動(dòng)的動(dòng)坐標(biāo)系，該坐標(biāo)系內(nèi)的平均速度和Reynolds應(yīng)力及其梯度只是動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)，然后引進(jìn)關(guān)于脈動(dòng)速度ui'的相似性條件[28]

式中Φi是相似性函數(shù)；xi'是動(dòng)坐標(biāo)系的坐標(biāo)；Λ是渦元尺度，在相似性條件中起著重要作用；q與Λ只是動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)，與xi'無(wú)關(guān)。

他將式（43）代入動(dòng)坐標(biāo)系下的脈動(dòng)渦量方程，結(jié)合Reynolds平均運(yùn)動(dòng)方程（5），對(duì)二維槽道流、沿半無(wú)限平板流、圓管流、二維和軸對(duì)稱尾流等湍流場(chǎng)進(jìn)行了求解，得到了Reynolds應(yīng)力與平均速度梯度之間的關(guān)系，從而給出與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符的平均速度、Reynolds應(yīng)力等量的分布。

經(jīng)過(guò)以上研究，周先生認(rèn)為，以上的相似性解在一定范圍內(nèi)可以給出與實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合的平均速度、Reynolds應(yīng)力等量的分布，但渦元尺度Λ并非普適，在二維槽道流、沿半無(wú)限平板流和圓管流等有壁面約束的流場(chǎng)中，Λ與von Kármán相似理論中的混合長(zhǎng)度相同，此時(shí)Λ只與平均速度梯度有關(guān)，與流體黏性無(wú)關(guān)；而在二維和軸對(duì)稱尾流等不受壁面直接影響的流場(chǎng)中，Λ與流體黏性有關(guān)，此時(shí)Λ與Tarloy湍流微尺度λ有相同性質(zhì)。因此，Λ與λ的關(guān)系要通過(guò)求解相似性變換的非線性渦量脈動(dòng)方程后再計(jì)算脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)予以確定。

以上雖然給出了湍流場(chǎng)的相似性解，但在不同的流場(chǎng)甚至在同一流場(chǎng)不同的區(qū)域，將存在不同的相似性解，需要進(jìn)一步建立流場(chǎng)不同區(qū)域之間相似性解的關(guān)系。

3.3 準(zhǔn)相似性理論

3.3.1 低Reynolds數(shù)均勻各向同性湍流場(chǎng)

在2.1.2中，周先生和蔡先生曾將均勻各向同性湍流視為由許多同一種軸對(duì)稱渦元組成，這些渦元的位置和取向隨機(jī)分布[18]。經(jīng)過(guò)多年的觀察和分析，1975年，周先生和黃永念先生[32]認(rèn)為，渦元在衰變過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)伸縮現(xiàn)象，其結(jié)構(gòu)并不具有簡(jiǎn)單的相似性。為此，他們假設(shè)每個(gè)渦元足夠小，渦量集中在渦元中心附近，每個(gè)渦元在運(yùn)動(dòng)中保持自身的速度而不受其他渦元的影響，同時(shí)引進(jìn)渦旋Reynolds數(shù)Ra=Ua/ν （U和a分別是渦元的特征速度和特征長(zhǎng)度）來(lái)表征渦元的衰變特征，它與流場(chǎng)Reynolds數(shù)Rλ=λ/ν（是湍流脈動(dòng)速度均方根，λ是Tarloy湍流微尺度）不同，Ra的值取決于渦元結(jié)構(gòu)，而Rλ的值則取決于湍流場(chǎng)的衰變特征。

然后，他們對(duì)Navier-Stokes方程取旋度得到渦量方程，將方程應(yīng)用于軸對(duì)稱渦元后得到相應(yīng)的渦量方程組。渦元在衰變過(guò)程中的伸縮會(huì)導(dǎo)致渦元尺度和結(jié)構(gòu)隨時(shí)間改變時(shí)呈現(xiàn)不同的變化規(guī)律，因此要建立湍流場(chǎng)整個(gè)衰變過(guò)程中渦元特征長(zhǎng)度（即相似性尺度）和結(jié)構(gòu)隨時(shí)間變化的關(guān)系。

為了使渦量方程組可解，他們先建立渦元尺度a和Ra的關(guān)系。考慮到在湍流衰變后期，Ra的值很小，渦量方程組中包含Ra的項(xiàng)可以忽略，此時(shí)渦量方程組存在相似性解的條件是(a/ν)·(da/dt)為常數(shù)；而在湍流衰變初期，Ra的值較大，渦量方程組中的黏性項(xiàng)可以忽略，此時(shí)方程組存在相似性解的條件是(a/ν)(da/dt)正比于Ra。鑒于以上兩種極端情況，他們給出了湍流衰變初期到后期a與Ra滿足的關(guān)系式[32]

式中γ和β是待定常數(shù)，可以被組合進(jìn)平均速度U和渦元特征長(zhǎng)度a中而成為

他們將式（45）代入渦量方程組，由尺度變換體現(xiàn)渦元結(jié)構(gòu)的伸縮，在低Reynolds數(shù)前提下，得到了用匯合超幾何函數(shù)表示的線性零級(jí)近似方程的準(zhǔn)相似性解，且計(jì)算得到了Tarloy湍流微尺度λ的表達(dá)式[32]

式中符號(hào)與式（44）相同。

在式（46）和式（44）的基礎(chǔ)上，他們給出了湍流衰變后期的λ2= 4νt，該結(jié)果與1957年在均勻各向同性湍流衰變后期流場(chǎng)中的結(jié)果[18]相同；給出了湍流衰變初期的λ2= 10νt，該結(jié)果與1948年在各向同性湍流中給出的表達(dá)式（42）[30]相對(duì)應(yīng)，這些結(jié)論被后來(lái)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果[33]所證實(shí)。

此外，他們還給出了從湍流衰變初期到后期的湍能衰變規(guī)律和二階速度關(guān)聯(lián)值，結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果[34]基本符合。

3.3.2 均勻各向同性湍流場(chǎng)

以上的準(zhǔn)相似性解只適用于低Reynolds數(shù)均勻各向同性湍流場(chǎng)，所以得到的二階速度關(guān)聯(lián)值在湍流衰變初期比實(shí)驗(yàn)值[34]小。1981年，周先生和黃先生[35]進(jìn)一步引進(jìn)一個(gè)湍流能量條件

式中c為常數(shù)，U和a分別是渦元特征速度和特征長(zhǎng)度。

他們基于Ra=Ua/ν，式（45）和式（47），渦元角動(dòng)量守恒條件以及Tarloy湍能衰變方程，將渦旋的渦量和流函數(shù)展開(kāi)成Legendre多項(xiàng)式微商的級(jí)數(shù)，以此求解Navier-Stokes方程，得到了一組以時(shí)間t和徑向坐標(biāo)為獨(dú)立變量的無(wú)窮多個(gè)非線性偏微分方程，接著在零級(jí)近似下用Fourier變換將這組方程由物理空間變換到譜空間，然后求解從湍流衰變初期到后期的整個(gè)流場(chǎng)，得到的能譜函數(shù)E0和能譜交換函數(shù)W0精確地滿足譜空間的Kármán-Howrth方程

式中k是三階速度關(guān)聯(lián)，ν是黏性系數(shù)。

他們還計(jì)算得到了Tarloy湍流微尺度λ與渦元特征尺度a的關(guān)系、渦旋Reynolds數(shù)Ra與流場(chǎng)Reynolds數(shù)Rλ的關(guān)系[35]

式中n是單位體積中的渦元個(gè)數(shù)，C0是角動(dòng)量常數(shù)，ν是黏性系數(shù)。

由式（49）可見(jiàn)，在湍流衰變初期Ra很大時(shí)，a遠(yuǎn)大于λ；在湍流衰變后期Ra很小時(shí)，a與λ的值相當(dāng)，說(shuō)明渦元在湍流衰變初期和后期分別代表大尺度渦和小尺度渦。當(dāng)Ra很大時(shí)，由（49）的第二式可知Rλ近似為常數(shù)，這與湍流衰變初期的實(shí)驗(yàn)結(jié)果[34]相符合。

此外，他們給出的湍能衰變、積分尺度、二階脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)都與實(shí)驗(yàn)結(jié)果[20,26,36-37]相符合。

3.4 廣義準(zhǔn)相似性理論

以上的相似性理論和準(zhǔn)相似性理論只能應(yīng)用于均勻各向同性湍流場(chǎng)。1985年，周先生將用于均勻各向同性湍流場(chǎng)的準(zhǔn)相似性理論（45）推廣到具有剪應(yīng)力的一般湍流場(chǎng)[38]

式中λ是Tayloy湍流微尺度；Ωik見(jiàn)式（40）；R0，R1，k1，k2是常數(shù)。

式（50）稱為廣義準(zhǔn)相似性條件，右邊方括弧中保留第一、二項(xiàng)而去掉第三項(xiàng)，就是Prandtl的混合長(zhǎng)度理論；保留第二項(xiàng)而去掉第一、第三項(xiàng)，就是Taylor的渦旋傳遞理論；保留第二、第三項(xiàng)而去掉第一項(xiàng)，就是von Kármán的局部相似性理論。

他給出的相似性解[38]為

在這樣的相似性解下，方程（19）和方程（20）可以化為簡(jiǎn)單的形式，將簡(jiǎn)化的形式代入方程（18）就得到Reynolds應(yīng)力方程（9）中脈動(dòng)壓力梯度與脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)項(xiàng)的表達(dá)式，然后將方程（9）的耗散項(xiàng)采用方程（27）表示，忽略方程（9）中的三階脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)項(xiàng)，由此得到可以進(jìn)行求解的一組封閉方程組。將該方程組用于壓力驅(qū)動(dòng)二維槽道湍流[38]、平面湍尾流[39]、平面湍射流[40]、軸對(duì)稱湍射流[41]的求解，得到的平均速度、脈動(dòng)速度二階關(guān)聯(lián)、Tarloy湍流微尺度λ與實(shí)驗(yàn)結(jié)果[42]相符合。

1987年，陳十一和周先生[43]在文獻(xiàn)[38]的基礎(chǔ)上，提出分別用耗散尺度和含能尺度來(lái)描述湍流場(chǎng)，其中耗散尺度為T(mén)arloy湍流微尺度λ，可由方程（50）的廣義準(zhǔn)相似性條件描述；含能尺度則利用兩點(diǎn)關(guān)聯(lián)在局部均勻的條件下推導(dǎo)得到。基于這兩種尺度，他們對(duì)均勻單向剪切湍流場(chǎng)求解了二階脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)方程，得到了相同Reynolds數(shù)不同剪切率下的二階脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)以及這兩種尺度的衰變規(guī)律，計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果[44-45]相符合。

4 逐級(jí)逼近法

第一部分中提到的湍流“前模式理論”給出了求解湍流場(chǎng)的一條途徑，由于湍流場(chǎng)的復(fù)雜性以及限于當(dāng)時(shí)的計(jì)算條件，如1.3中所述，該途徑只能在一些假設(shè)下對(duì)簡(jiǎn)單的湍流場(chǎng)求一些近似解。

1945年，周先生曾提出過(guò)同時(shí)直接求解Reynolds平均運(yùn)動(dòng)方程（5）和脈動(dòng)速度方程（8）的觀點(diǎn)[8]，后來(lái)該觀點(diǎn)又有了發(fā)展[38]，即建立逐階的脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)方程，然后結(jié)合Reynolds平均運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行求解，這就是求解湍流場(chǎng)的另一條途徑-逐級(jí)逼近法。與第一條途徑相比，該途徑可以得到高階的脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)，從而可以求解滿足準(zhǔn)相似性條件的一般剪切湍流場(chǎng)。1936～1937年，周先生在普林斯頓高等研究院研究期間，Einstein在其助手幫助下，根據(jù)引力方程與諧和條件，用逐級(jí)逼近法建立了多體運(yùn)動(dòng)理論，這給周先生建立湍流研究中的逐級(jí)逼近法很大啟發(fā)。

4.1 奇階截?cái)喾?/h3>

4.1.1 原理

如前所示，各階脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)方程都是很復(fù)雜的偏微分方程，在對(duì)方程中的某些項(xiàng)進(jìn)行模化后，還可能成為積分-微分方程。在建立逐階的脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)方程后，如果直接將所有階的脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)方程聯(lián)立求解，會(huì)使計(jì)算過(guò)程變得很復(fù)雜。

于是，周先生在對(duì)湍流場(chǎng)特性進(jìn)行深入分析后，提出了奇階截?cái)喾╗9]，該方法的根據(jù)是：脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)的階數(shù)越高，對(duì)流場(chǎng)的湍動(dòng)特性影響越?。黄鏀?shù)階的脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)值比鄰近階的偶數(shù)階脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)值小，例如三階關(guān)聯(lián)比二階關(guān)聯(lián)小、五階關(guān)聯(lián)比四階關(guān)聯(lián)小。所以，在求解偶數(shù)階脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)方程時(shí)，可以把方程中的奇數(shù)階脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)項(xiàng)略去。

根據(jù)奇階截?cái)嗟碾A數(shù)不同，可以產(chǎn)生不同級(jí)的近似解，由Reynolds平均運(yùn)動(dòng)方程（5）和略去三階脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)項(xiàng)的Reynolds應(yīng)力方程（9）聯(lián)立求出的解，稱為一級(jí)近似解；將一級(jí)近似解作為已知量，代入到三階脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)項(xiàng)方程和略去五階脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)項(xiàng)的四階脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)方程中，聯(lián)立求出的解稱為二級(jí)近似解。

4.1.2 應(yīng)用

一級(jí)近似解的方法在早期已被采用。作為一級(jí)近似解，文獻(xiàn)[11-12]得到了與實(shí)驗(yàn)符合較好的尾流及半射流湍流場(chǎng)的平均速度。文獻(xiàn)[38]得到了與實(shí)驗(yàn)符合較好的二維槽道湍流場(chǎng)和平面湍尾流場(chǎng)的平均速度、脈動(dòng)速度二階關(guān)聯(lián)和Tarloy湍流微尺度λ。文獻(xiàn)[46]對(duì)存在自相似性的平面混合層后期湍流場(chǎng)，得到了與實(shí)驗(yàn)結(jié)果[47-48]相符合的平均速度、二階脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)以及Tarloy湍流微尺度λ。

作為二級(jí)近似解，文獻(xiàn)[9]得到了平面湍尾流的脈動(dòng)速度三階關(guān)聯(lián)和四階關(guān)聯(lián)，其中三階脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)值與實(shí)驗(yàn)[49-50]和理論結(jié)果[10]相符合，四階關(guān)聯(lián)脈動(dòng)速度值被后來(lái)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果[7]所證實(shí)。

4.2 逐級(jí)迭代法

4.2.1 原理

奇階截?cái)喾▽?duì)高階脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)方程的截?cái)嗍呛侠淼?，而且?yīng)用于一些湍流場(chǎng)也是可行的。但周先生認(rèn)為，盡管該方法略去了奇數(shù)階脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)方程，但留下的偶數(shù)階脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)方程仍然很復(fù)雜，原因是這些方程仍是非線性的積分微分方程，而且方程中包含與平均量相關(guān)的慢變量和與脈動(dòng)量相關(guān)的快變量，對(duì)時(shí)域的分辨率要求很高，導(dǎo)致逐階地求解高階脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)方程比較費(fèi)時(shí)。

于是，他進(jìn)一步提出了逐級(jí)迭代法（又稱逐級(jí)逼近法），該方法的思路是：由準(zhǔn)相似性條件出發(fā)，對(duì)Reynolds平均運(yùn)動(dòng)方程（5）和略去三階脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)項(xiàng)的Reynolds應(yīng)力方程（9）聯(lián)立求解，得到平均速度和Reynolds應(yīng)力，將其代入湍流脈動(dòng)速度方程（8）中求解脈動(dòng)速度，對(duì)求得的脈動(dòng)速度計(jì)算二階關(guān)聯(lián)得到二級(jí)近似的Reynolds應(yīng)力，再將該應(yīng)力代入Reynolds平均運(yùn)動(dòng)方程（5）中求解二級(jí)近似的平均速度···。用該方法不僅可以求出需要的湍流平均量和二階關(guān)聯(lián)函數(shù)，還可以便捷地計(jì)算高階脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)函數(shù)。此外，采用逐級(jí)迭代法可以避免求解高階脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)方程帶來(lái)的困難，且求解脈動(dòng)速度方程可以采用常規(guī)的快速Fourier變換等方法，比較容易實(shí)施。

4.2.2 應(yīng)用

Lin等[51]對(duì)于平面湍尾流場(chǎng)，將奇階截?cái)喾ㄖ械玫降钠骄俣群蚏eynolds應(yīng)力作為一級(jí)近似解[38]代入湍流脈動(dòng)速度方程，采用譜方法數(shù)值求解該方程，然后對(duì)求解得到的脈動(dòng)速度求各階關(guān)聯(lián)，得到了與實(shí)驗(yàn)結(jié)果[50]相符合的二階、三階和四階脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)函數(shù)。

Wang等[52]對(duì)不同Reynolds數(shù)的均勻各向同性湍流場(chǎng)，將脈動(dòng)速度等物理量用Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)，把物理空間上的量轉(zhuǎn)化到譜空間上計(jì)算，給出的二階和三階脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)、湍流能譜函數(shù)、湍流Reynolds數(shù)以及廣義Tarloy湍流微尺度與實(shí)驗(yàn)結(jié)果[20,26]相符合。

Lin等[53]對(duì)于槽道湍流場(chǎng)，聯(lián)立求解Reynolds平均運(yùn)動(dòng)方程和忽略三階關(guān)聯(lián)的二階脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)方程，將求得的平均速度和Reynolds應(yīng)力代入湍流脈動(dòng)速度方程，然后用譜方法和有限差分法數(shù)值求解該方程，對(duì)求得的脈動(dòng)速度計(jì)算各階關(guān)聯(lián)后得到的Reynolds應(yīng)力、三階和四階脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)函數(shù)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果[54-55]相符合。

孟慶國(guó)等[56]對(duì)于平面湍流混合層，將奇階截?cái)喾ㄖ械玫降钠骄俣群蚏eynolds應(yīng)力作為一級(jí)近似解[8,38]代入湍流脈動(dòng)速度方程，對(duì)求解該方程得到的脈動(dòng)速度求平均，給出二階近似的Reynolds應(yīng)力，將其代入Reynolds平均運(yùn)動(dòng)方程求解二階近似的平均速度，最后再將二階近似的平均速度和Reynolds應(yīng)力代入湍流脈動(dòng)速度方程中求出脈動(dòng)速度，對(duì)脈動(dòng)速度求平均給出的二階、三階、四階脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)函數(shù)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果[7,47]相符合。

范萌等[57]對(duì)于平面湍射流場(chǎng)，基于一級(jí)近似解的平均速度和Reynolds應(yīng)力，求解湍流脈動(dòng)速度方程，對(duì)得到的脈動(dòng)速度求平均給出的二階、三階、四階脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)函數(shù)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果[7]相符合。

5 結(jié)語(yǔ)

（1）1951年，Rotta提出了湍流二階矩封閉模型，該模型通常被認(rèn)為是湍流模式理論的起源。而早在1940年，周先生就提出求解湍流場(chǎng)必須同時(shí)考慮脈動(dòng)方程、Reynolds應(yīng)力方程和高階脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)方程，并開(kāi)始了對(duì)Reynolds應(yīng)力方程中所包含未知項(xiàng)的模化研究。所以，國(guó)際著名流體力學(xué)家Launder和Lumely稱周先生為湍流模式理論的奠基人乃名副其實(shí)。

（2）1956年，周先生提出了渦旋結(jié)構(gòu)湍流統(tǒng)計(jì)理論，該理論與目前流行的湍流直接數(shù)值模擬有共同之處，即都是先求方程的解然后由統(tǒng)計(jì)平均給出二階和高階脈動(dòng)關(guān)聯(lián)量，不同的是前者求方程的解析解或近似解析解，后者借助計(jì)算機(jī)求方程的數(shù)值解，可謂殊途同歸。

（3）1985年，周先生將用于均勻各向同性湍流的準(zhǔn)相似性理論推廣到具有剪應(yīng)力的一般湍流場(chǎng)，建立了廣義準(zhǔn)相似性理論，該理論具備了Prandtl混合長(zhǎng)度理論、Taylor渦旋傳遞理論和von Kármán局部相似性理論的描述功能，對(duì)湍流場(chǎng)尺度結(jié)構(gòu)給出了更綜合的刻畫(huà)，可謂匠心獨(dú)具。

（4）周先生于20世紀(jì)80年代提出的逐級(jí)逼近法將湍流場(chǎng)的快變量與慢變量分開(kāi)求解，通過(guò)求解快變的脈動(dòng)速度方程，逐步逼近慢變的平均量和統(tǒng)計(jì)量的真實(shí)解。該方法不僅能便捷地給出湍流場(chǎng)高階脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)函數(shù)的信息，從而更深入地了解流場(chǎng)特性，而且對(duì)當(dāng)今數(shù)值模擬湍流場(chǎng)中減少計(jì)算量有參考價(jià)值，逐級(jí)逼近法與大渦模擬方法都是將不同尺度的渦分別處理，可謂異曲同工。

（5）周先生從20世紀(jì)30年代末開(kāi)始從事湍流研究一直到90年代初，歷經(jīng)半個(gè)多世紀(jì)。他40年代建立了湍流“前模式”理論，50年代建立了渦旋結(jié)構(gòu)湍流統(tǒng)計(jì)理論和湍流場(chǎng)后期衰變的相似性理論，60年代提出了湍流場(chǎng)前期衰變的相似性理論，70年代提出了準(zhǔn)相似性理論，80年代提出了廣義準(zhǔn)相似性理論和逐級(jí)逼近法。每個(gè)年代都有創(chuàng)新性成果，為湍流研究做出了突出的貢獻(xiàn) 。Lumley教 授 將 周 先 生 與 von Kármán、Kolmogorov、Taylor并稱為四位流體力學(xué)的巨人乃實(shí)至名歸。