王 勇, 梁基超

(1. 山東計量測試學(xué)會,山東濟南250014；2. 山東省計量科學(xué)研究院，山東濟南250014)

1 引 言

測量不確定度是表征被測量分散性的參數(shù)，在符合性判定活動中所起的作用日益受到重視[1～6]。ISO 10012測量管理體系要求，測量過程設(shè)計和測量設(shè)備的計量確認應(yīng)評定測量不確定度，以滿足顧客的計量要求[7]。但是現(xiàn)有研究往往只注重測量不確定度評定而忽視了被測量的合格概率[8～11]，這不足以全面掌握一個測量過程的性能特性，應(yīng)結(jié)合合格概率、誤判風(fēng)險進行全面的分析。如果研究結(jié)果表明不合格概率較大，則應(yīng)采取提高測量設(shè)備的精度等級等相應(yīng)措施減少誤判風(fēng)險。本文開展定量分析并結(jié)合實例進行驗證。

2 測量過程及合格概率

測量過程是確定量值的一組操作，過程要素包括操作者、設(shè)備、方法、環(huán)境等，設(shè)備是重點。被測對象是輸入，測量結(jié)果是輸出。過程特性包括測量不確定度、穩(wěn)定性、最大允許誤差等[7]。一個被測對象被視為一個隨機變量Y，其可能為值η。對Y進行測量得到一個測得值ηm，不確定度為um。由貝葉斯定理可知，多數(shù)情況下Y的分布特性為正態(tài)分布，Y的期望y、標(biāo)準(zhǔn)不確定度u與先驗值y0、u0及測得值ηm、um有關(guān)，如果Y的先驗信息太少，則y≈ηm、u≈um[12]。Y落在區(qū)間[a,b]內(nèi)的概率pc(合格概率)為：

pc(a

(1)

式中:η是被測量Y的可能值;ηm是Y的一個測得值;Φ()是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)。

3 具有上下限合格區(qū)間的測量過程

對于某個測量過程，被測量Y允許值的上限為TU、下限為TL，為便于討論分析，稱該被測量允許值的區(qū)間為合格區(qū)間。如圖1所示。區(qū)間大小用T表示，T=TU-TL。如果該過程是檢定或校準(zhǔn)過程，則T=(MPE+-MPE-)。Y位于合格區(qū)間的概率即合格概率為：

(2)

圖1 具有上下限合格區(qū)間的測量過程Fig.1 measurement process with upper and lower limits of conformance interval

圖1中橫軸代表被測量，η是被測量的值；縱軸為η的正態(tài)分布概率密度。

(3)

式中：um為測量過程的標(biāo)準(zhǔn)不確定度；U為擴展不確定度，包含因子k=2。

定義d為測得值偏離合格區(qū)間下限的相對距離：

(4)

則d的取值范圍是0≤d≤1。將式(3)、式(4)代入式(2)得到

pc=Φ(4Cm(1-d))-Φ(-4Cmd)

(5)

式(5)只有兩個參數(shù)Cm和d，當(dāng)被測量的測得值ηm偏離合格區(qū)間的中心時，可以用偏離下限的距離d和測量能力指數(shù)Cm求得被測量的合格概率。表1是取5個常用Cm值代入式(5)求得的pc值,表2是pc取0.95、0.99時得到Cm的數(shù)值解。

表1 pc值Tab.1 Value of pc

表2 Cm值Tab.2 Value of Cm

圖2為pc-d-Cm曲面。圖3為pc=0.95時d-Cm曲線，曲線上的點對應(yīng)pc=0.95，曲線上方區(qū)域pc>0.95，曲線下方區(qū)域pc<0.95。

圖2 pc-d-Cm曲面Fig.2 Curve surface of pc-d-Cm

圖3 d-Cm曲線(pc=0.95)Fig.3 Curve of d-Cm

圖4為偏離合格區(qū)間下限的距離dL與不合格概率的關(guān)系曲線。對一個測量過程而言，合格區(qū)間和y通常是確定的，由圖4可知，為提高測量過程的合格概率、降低誤判風(fēng)險，必須提高測量能力指數(shù)Cm，特別是當(dāng)測量值位于上下限附近的時候，由于測量不確定度影響使誤判概率增加。這種情況下可以根據(jù)測得值ηm、dL和規(guī)定的合格概率得到過程的測量能力指數(shù)Cm和標(biāo)準(zhǔn)不確定度um，選擇適當(dāng)?shù)臏y量方法和高精度的測量設(shè)備以減小測量過程的um，降低誤判風(fēng)險。

圖4 dL與不合格概率Fig.4 dL and the probability of failure

例2對一氧化碳報警器出廠檢驗，報警器的測量范圍為(0～1 000)×10-6mol/mol， 相對誤差±10%，要求誤判概率小于5%。則對于150×10-6mol/mol測量點允許誤差為±15×10-6mol/mol。選擇Cm=3，則um=T/6=30×10-6/12=2.5×10-6mol/mol。查表1，在TL+U<η0.95。使用相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度值為2×10-6mol/mol氣體標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)進行檢驗，經(jīng)評定標(biāo)準(zhǔn)測量不確定度為2.2×10-6mol/mol，小于um，滿足測量要求。

4 具有單側(cè)上限或下限合格區(qū)間的測量過程

在某些情況下，測量過程只規(guī)定了被測量Y合格區(qū)間的上限TU或下限TL。以單側(cè)下限為例進行分析，如圖5所示，下限值為TL，合格區(qū)域為η≥TL，灰色部分為不合格區(qū)域。此時測量過程合格概率為

(6)

圖5 具有合格區(qū)間單側(cè)下限的測量過程Fig.5 Measurement process with a lower single limit of conformance interval

圖6 單側(cè)下限的曲線Fig.6 Curve of with a single lower limit

對于合格區(qū)間為單側(cè)上限TU的情形，可以采用相同的方法進行分析。

5 結(jié) 論

(1) 由于測量結(jié)果存在不確定度，對測量過程的符合性進行判定必須考慮測量不確定度的影響。

(2)當(dāng)測量結(jié)果位于合格區(qū)間上下限附近時誤判概率增大，必須選擇允許誤差較小的測量設(shè)備減小測量不確定度，提高合格概率。

(3)當(dāng)測量要求規(guī)定了誤判概率的限值，可以查表1和表2得到Cm，計算滿足測量要求的um，如果um小于或等于過程的測量不確定度評定結(jié)果則可以判定該測量過程合格。