劉惠萍,商祥年,程 凱

(中國海洋大學(xué) 物理與光電工程學(xué)院，山東 青島 266100)

光的衍射是物理光學(xué)課程的重要內(nèi)容，而夫瑯禾費(fèi)衍射是其中最重要的一種衍射現(xiàn)象。由于該部分內(nèi)容存在其原理太過抽象，造成教學(xué)難度的增加。為解決這一難題，利用Matlab軟件對夫瑯禾費(fèi)衍射進(jìn)行仿真模擬，運(yùn)用Matlab的圖形用戶界面功能實(shí)現(xiàn)交互式功能[1-6]，結(jié)合真實(shí)的實(shí)驗(yàn)條件模擬了夫瑯禾費(fèi)衍射實(shí)驗(yàn)中衍射孔徑不同形狀的衍射圖樣和光強(qiáng)分布，通過該仿真實(shí)驗(yàn)給學(xué)生提供更直觀，生動(dòng)的光的衍射實(shí)驗(yàn)結(jié)果，加深了對原理的理解，增強(qiáng)課堂教學(xué)效果。

1 夫瑯禾費(fèi)衍射的基本原理

光的衍射是光的波動(dòng)性的重要特征，也是光波在傳播過程中的最重要屬性之一。光的衍射分為菲涅爾衍射(近場衍射)和夫瑯禾費(fèi)衍射(遠(yuǎn)場衍射)。這里主要介紹最常見的夫瑯禾費(fèi)衍射。在夫瑯禾費(fèi)衍射裝置中，若衍射孔徑是矩形孔，在透鏡L2的后焦面上便可獲得矩孔的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣[1]。圖1(a)所示一個(gè)沿x1方向?qū)挾萢比沿y1方向?qū)挾萣小的矩孔的衍射圖樣。它的主要特征是，衍射亮斑集中分布在互相垂直的兩個(gè)軸(x軸和y軸)上，并且x軸上亮斑的寬度比y軸上亮斑的寬度大，這一點(diǎn)與矩孔在兩個(gè)方向上的寬度關(guān)系正好相反。

(a)

下面利用夫瑯禾費(fèi)衍射計(jì)算矩形孔衍射圖樣的強(qiáng)度分布，原理圖如圖1(b)。選取矩孔中心作為坐標(biāo)原點(diǎn)C，觀察平面P點(diǎn)復(fù)振幅為：

(1)

(2)

式中，I0是P0點(diǎn)的強(qiáng)度，

α=kax/2f,β=kby/2f

對于沿x軸的光強(qiáng)分布，因y=0，故有：

對于沿y軸的光強(qiáng)分布由(3)式?jīng)Q定，

(3)

如果矩孔的a和b不等，那么沿x軸和y軸相鄰暗點(diǎn)的距離不同。若b>a,則沿著y軸較沿x軸的暗點(diǎn)間距為密，在x軸和y軸各點(diǎn)的光強(qiáng)度，要根據(jù)它們的坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算，從上面的分析不難明白，強(qiáng)度為零的地方是一些和矩孔邊平行的直線，亦即平行于x軸和y軸的直線，在兩組正交暗線形成的一個(gè)個(gè)矩形格子內(nèi)，各有一個(gè)亮斑。可以看出，中央亮斑的強(qiáng)度最大，其他亮斑的強(qiáng)度比中央亮斑要小得多，所以絕大部分光能集中在中央亮斑內(nèi)。中央亮斑可認(rèn)為是衍射擴(kuò)展的主要范圍，它的邊緣在x和y軸上分別由條件asinθx=±λ和bsinθy=±λ決定。若以坐標(biāo)表示，則有：

(4)

可見，衍射擴(kuò)展與矩孔的寬度成反比，而與光波波長成正比。

2 基于Matlab的夫瑯禾費(fèi)衍射仿真實(shí)驗(yàn)

2.1 矩形孔徑的夫瑯禾費(fèi)衍射仿真

根據(jù)夫瑯和費(fèi)矩孔衍射原理圖1和衍射光強(qiáng)公式2進(jìn)行光學(xué)仿真，編寫了Matlab程序[3]，在用戶界面中，改變不同的光源波長λ、矩孔X軸方向?qū)挾取⒕乜譟軸方向?qū)挾?、光屏離透鏡的距離L。即可得到不同的衍射光強(qiáng)分布，將該光強(qiáng)進(jìn)行二維用圖像化處理的方法可以將夫瑯和費(fèi)矩孔衍射在Matlab中直觀的展現(xiàn)出來[4，5]。圖2顯示的為不同參數(shù)下的衍射光強(qiáng)分布。

(a)

光屏離透鏡的距離越近衍射效果越不明顯，光屏離透鏡的距離越遠(yuǎn)衍射效果越明顯.如果改變孔的大小，其衍射光強(qiáng)的分布也將發(fā)生改變，如圖3所示。

圖3 矩孔大小對衍射的影響

矩孔越大衍射效果越不明顯，矩孔越小衍射效果越明顯，實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果與夫瑯和費(fèi)矩孔衍射理論相一致。

2.2 單縫夫瑯禾費(fèi)衍射仿真

如果矩孔一個(gè)方向的寬度比另一個(gè)方向的寬度大得多，比如b>>a，矩孔就變成了狹縫,變成了單縫的夫瑯禾費(fèi)衍射[2]，由于入射光在y方向的衍射效應(yīng)可以忽略，衍射圖樣只分布在x軸上。顯然，單縫衍射在x軸上的衍射光強(qiáng)分布公式也是在衍射理論中通常稱為單縫衍射因子。矩孔衍射的相對強(qiáng)度I/I0是兩個(gè)單縫衍射因子的乘積。根據(jù)前面的討論，可知在單縫衍射圖樣中，中央亮紋是由式(4)決定的。

這一范圍集中了單縫衍射的絕大部分能量。在寬度上，它是其他亮紋的兩倍。而衍射條紋的間距為：

(5)

那么不同的狹縫寬度，不同的光屏的距離的夫瑯和費(fèi)單縫衍射的光強(qiáng)分布不同，根據(jù)公式(4)和(5)在Matlab中進(jìn)行仿真，結(jié)果如圖4所示。

(a)

狹縫越小衍射越明顯，中央亮條紋的光強(qiáng)越大，光屏離透鏡距離越遠(yuǎn)衍射越明顯，中央亮條紋的光強(qiáng)越大，實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果與夫瑯和費(fèi)單縫衍射理論相一致。

3 結(jié) 語

在物理光學(xué)的實(shí)踐教學(xué)中，光的衍射是重要的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，使用Matlab軟件，對不同孔徑的夫瑯禾費(fèi)衍射進(jìn)行仿真模擬，利用Matlab的的圖形界面功能，得到了不同參數(shù)下衍射光強(qiáng)分布結(jié)果，這一演示實(shí)驗(yàn)可以直接在課堂上進(jìn)行，演示效果好，能夠直觀的解釋不同參數(shù)對衍射結(jié)果的影響，在實(shí)際授課過程中，可以結(jié)合理論推導(dǎo)和實(shí)驗(yàn)?zāi)M結(jié)果相對比,對幫助學(xué)生直觀理解夫瑯禾費(fèi)衍射的原理起到了積極的作用，是理論教學(xué)和實(shí)驗(yàn)教學(xué)的重要輔助工具。