買(mǎi)子桐，賀西平，陳一凡，湯衍鵬，李增明，張 晨，解邦鑫

(陜西師范大學(xué) 物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院，陜西 西安 710119)

磁致伸縮效應(yīng)是鐵磁體在外磁場(chǎng)變化時(shí)，長(zhǎng)度及體積均發(fā)生變化的現(xiàn)象。傳統(tǒng)的磁致伸縮材料，磁致伸縮系數(shù)一般為30～60 ppm。依據(jù)材料特性可將磁致伸縮材料分為兩類(lèi)，一類(lèi)是純金屬磁致伸縮材料，如鎳、鐵鈷合金、鎳鐵合金等。這類(lèi)材料因具有高機(jī)械強(qiáng)度、居里點(diǎn)及工作性能穩(wěn)定，在聲納系統(tǒng)中得到了廣泛的應(yīng)用。另一類(lèi)是鐵氧體金屬材料，如鎳鋅鐵氧體，這種材料具有高靈敏度，渦流和磁滯損耗都較小，可被用作水聽(tīng)器[1]。相較于傳統(tǒng)磁致伸縮材料，上世紀(jì)七八十年代以來(lái)發(fā)現(xiàn)的稀土超磁致伸縮材料及鐵鎵合金則具有更大磁致伸縮系數(shù)(1 500～2 000 ppm)，被稱作超磁致伸縮材料[2,3]。與應(yīng)變系數(shù)為250～400 ppm的PZT壓電陶瓷相比，超磁致伸縮材料不僅應(yīng)變值更大，還具有更大的機(jī)電耦合系數(shù)、更低的聲速，有利于換能器的小型化設(shè)計(jì)[2]。

2020年中國(guó)大學(xué)生物理學(xué)術(shù)競(jìng)賽(2020CUPT)第四題為“唱歌的鐵氧體”：“鐵氧體棒插入信號(hào)發(fā)生器供電的線圈中。在某些頻率下，鐵氧體棒開(kāi)始發(fā)出聲音，試研究這一現(xiàn)象?！笔聦?shí)上，鐵氧體棒之所以能“唱歌”，是因?yàn)樵摪魹榇胖律炜s材料，在交變電流激發(fā)的交變磁場(chǎng)中會(huì)產(chǎn)生磁致伸縮振動(dòng)，從而發(fā)出“歌聲”。類(lèi)似的現(xiàn)象如，變壓器的噪聲就是變壓器線圈中用作鐵芯的鐵氧體磁致伸縮產(chǎn)生的[4]。

本文計(jì)算了鐵氧體棒的共振頻率和應(yīng)力、位移分布。測(cè)試了三根相同直徑、不同長(zhǎng)度的鎳鋅鐵氧體棒的振動(dòng)模態(tài)、共振頻率及電壓和振幅的規(guī)律。分析了霧化現(xiàn)象及斷裂位置。

1 鐵氧體棒振動(dòng)頻率、位移分布及應(yīng)力分布

實(shí)際應(yīng)用中，為避免產(chǎn)生倍頻現(xiàn)象并有更大的振幅，一般要給予磁致伸縮材料適當(dāng)?shù)钠么艌?chǎng)，使其工作在線性區(qū)域。

1.1 共振頻率

假設(shè)一良導(dǎo)磁體與N匝線圈所纏繞的鐵氧體棒形成閉合磁路，輸入電動(dòng)勢(shì)的角頻率為ω，鐵氧體棒的橫截面積為S。

激勵(lì)電源、線圈構(gòu)成的電路中，電壓由激勵(lì)電壓E，主磁通產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)e、漏磁通產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)δe構(gòu)成，通電線圈內(nèi)阻產(chǎn)生電壓降iR，由電路中的基爾霍夫定律，

E=iR-e-δe

式中，線圈內(nèi)阻R一般較小。若忽略線圈內(nèi)阻與漏磁通，上式可以寫(xiě)為，

E=-e

(1)

即，

E=jωNB3S

(2)

(2)式中B3為通過(guò)鐵氧體棒的磁通密度，下角標(biāo)3代表z方向，這里省略了時(shí)間變化項(xiàng)e-jωt。

存在偏置磁場(chǎng)，磁致伸縮材料的應(yīng)變與其內(nèi)部的磁場(chǎng)滿足線性壓磁方程[5]

(3)

(4)

由此，得到棒中的應(yīng)力為，

(5)

棒縱振動(dòng)的微分方程為[6]，

(6)

ξ=Asin(kz)+Bcos(kz)

(7)

其中k=ω/C。由兩端位移邊界條件，

z=0端：ξz=0=ξ0得B=ξ0

(8)

代入式(7)中得，

(9)

棒的兩端不受外力，處于自由邊界條件，

0=-ST3z=0=-ST3z=l

代(5)式和(8)式入(9)式中得，

(10)

由此得鐵氧體棒的位移方程，

(11)

加入時(shí)間變化項(xiàng)有，

(12)

可以看出，振幅與激勵(lì)電壓的幅值，壓磁常數(shù)成正比，與線圈匝數(shù)、波數(shù)、棒橫截面積成反比。

(13)

式中f0為棒的共振頻率，當(dāng)激勵(lì)頻率達(dá)到棒的共振頻率時(shí)，棒的位移振幅最大。若考慮阻尼，設(shè)衰減因子為γ，則考慮阻尼后的共振頻率可以表示為[7]

(14)

可以看到，受阻尼的影響，棒實(shí)際的共振頻率比未考慮阻尼時(shí)的共振頻率要小一些。

1.2 位移、應(yīng)力分布

由(12)、(13)式知，棒共振時(shí)的位移和應(yīng)力分布為，

(15)

(16)

根據(jù)以上兩式，鐵氧體棒沿軸向方向的歸一化分布規(guī)律如圖1所示。

圖1 位移、應(yīng)力分布曲線

可以看到，鐵氧體棒的位移在棒的兩端最大，應(yīng)力在棒中間位置，也即l/2處最大。

2 實(shí)驗(yàn)測(cè)試

實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)由日本產(chǎn)型號(hào)為NF BP4620的雙極性電源、線圈、鎳鋅鐵氧體棒、浙江產(chǎn)的LV-S01測(cè)振儀、Polytec PSV-400掃描式激光測(cè)振儀、PC機(jī)組成。后兩者分別用于面掃和單點(diǎn)式掃描測(cè)振實(shí)驗(yàn)，如圖2(a)和(b)。

(a) 面掃實(shí)驗(yàn)裝置

雙極性電源為線圈提供直流偏置磁場(chǎng)和交流激勵(lì)電壓，線圈中的鎳鋅鐵氧體在交變磁場(chǎng)的作用下進(jìn)行振動(dòng)。激光測(cè)振儀探頭發(fā)射的激光入射到鎳鋅鐵氧體端面，反射的激光也由探頭接收，激光測(cè)振儀將光信息轉(zhuǎn)換為電信號(hào)在PC機(jī)中經(jīng)軟件進(jìn)行分析處理，后將鎳鋅鐵氧體棒的振動(dòng)頻域圖像展示在屏幕上。

先后對(duì)三根相同直徑(10 mm)不同長(zhǎng)度(180 mm、140 mm、120 mm)鎳鋅鐵氧體棒(記為l1、l2、l3)進(jìn)行了振動(dòng)測(cè)試。

2.1 振動(dòng)模態(tài)

利用圖2(a)中的Polytec PSV-400掃描式激光測(cè)振儀測(cè)得三根鎳鋅鐵氧體棒l1、l2、l3的振動(dòng)模態(tài)為縱振動(dòng)，三根棒的基頻分別為14.09 kHz、17.641 kHz、20.91 kHz。圖3中顯示了l2振幅最大處對(duì)應(yīng)的振動(dòng)頻率為17.64 kHz。

圖3 鎳鋅鐵氧體棒的振動(dòng)模態(tài)

2.2 振幅-頻率曲線

利用圖2(b)中的單點(diǎn)式掃實(shí)驗(yàn)裝置測(cè)試鎳鋅鐵氧體棒的振幅-頻率曲線。

調(diào)節(jié)電源，輸入0.84 V的偏置直流電壓及5 V的交流電壓，頻率從1 kHz調(diào)起，以0.5 kHz為步長(zhǎng)調(diào)至25 kHz，記錄鎳鋅鐵氧體棒的振幅和對(duì)應(yīng)的頻率。找到振幅最大點(diǎn)的大概頻率范圍，再在振幅最大點(diǎn)附近內(nèi)減小步長(zhǎng)，精確找到三根鎳鋅鐵氧體棒的共振頻率。測(cè)得的振幅-頻率曲線如圖4所示。

由圖4也可以看出，l1、l2、l3的共振頻率分別為13.60 kHz、17.60 kHz、20.40 kHz，與激光測(cè)振所得的頻率的偏差分別為3.58%、0.23%、2.48%。

(a) l1的振幅-頻率曲線

2.3 共振頻率下的振幅-電壓曲線

根據(jù)磁致伸縮材料的非線性本構(gòu)關(guān)系[7]，在一定偏置磁場(chǎng)下，當(dāng)交變磁場(chǎng)的磁場(chǎng)強(qiáng)度超過(guò)某一閾值時(shí)，磁致伸縮材料的振幅與電壓不再呈近似線性變化關(guān)系，這個(gè)閾值與材料的特性有關(guān)，而外加電壓的大小直接影響了棒中磁場(chǎng)強(qiáng)度的大小。

調(diào)節(jié)電源，輸入直流電壓仍為0.84 V，交流信號(hào)的激勵(lì)頻率分別為l1、l2、l3單點(diǎn)掃描裝置所測(cè)得的共振頻率，電壓幅值從5 V起開(kāi)始調(diào)節(jié)，步長(zhǎng)為5 V，調(diào)至儀器能輸出的最大電壓120 V，得到三根棒在各自共振頻率下的振幅-電壓曲線，如圖5所示。

從圖5可以看出，三根鎳鋅鐵氧體棒在40 V以下的振幅與電壓呈較好的線性關(guān)系，隨著電壓的增大，二者將不再滿足近似線性關(guān)系。

(a) l1的振幅-電壓曲線

3 分析與討論

3.1 共振頻率的理論與實(shí)驗(yàn)對(duì)比

代三根鎳鋅鐵氧體棒的相關(guān)參數(shù)入(13)式，計(jì)算得其共振頻率。理論計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值(以單點(diǎn)測(cè)振儀測(cè)得的實(shí)驗(yàn)值作為比較基準(zhǔn))及相對(duì)誤差ε如表1所示。

表1 鎳鋅鐵氧體棒的共振頻率

可以看到，三根鎳鋅鐵氧體棒共振頻率的實(shí)驗(yàn)值都比理論值小一些，在1.1中已經(jīng)分析過(guò)，這是由于理論計(jì)算中忽略了阻尼。實(shí)驗(yàn)值比理論值要小5%左右。由式估算得到三根棒的阻尼系數(shù)分別為0.31、0.29、0.31。根據(jù)文獻(xiàn)[8]的計(jì)算方法，可以先用(13)式計(jì)算得到鐵氧體棒共振頻率，再令阻尼系數(shù)為0.30，結(jié)合(14)式就可以估算出鐵氧體棒的共振頻率。

3.2 霧化現(xiàn)象

鎳鋅鐵氧體棒的振幅達(dá)到1μm即可觀察到超聲霧化現(xiàn)象，振幅越大，現(xiàn)象越明顯。圖6是當(dāng)輸入交流電壓為60V時(shí)，采用英國(guó)產(chǎn)Photron牌型號(hào)為FASTCAMMini高速攝像機(jī)拍攝l1的霧化圖，此時(shí)棒的振幅為13μm。

圖6 超聲霧化圖像

3.2 斷裂現(xiàn)象

交流電壓為65V時(shí)，l1的振幅達(dá)到了16μm，工作1min左右斷裂。圖7(a)、(b)是l1斷裂前后的情形，測(cè)量斷面在軸向的位置坐標(biāo)為93.94mm，約在棒的中心位置，與理論計(jì)算所得的棒中點(diǎn)位置偏差為4.38%，圖7(c)將實(shí)際斷裂位置與歸一化的應(yīng)力分布曲線進(jìn)行對(duì)照，可以看到，實(shí)際斷裂位置與理論計(jì)算的位置相近。

(a) 斷裂前

4 結(jié) 語(yǔ)

鐵氧體棒唱歌現(xiàn)象產(chǎn)生的物理機(jī)制是磁致伸縮，交流線圈產(chǎn)生交變磁場(chǎng)，鐵氧體在交變磁場(chǎng)中因磁致伸縮而振動(dòng)。有偏置磁場(chǎng)的情況下，其振動(dòng)的頻率與激勵(lì)頻率相同，激勵(lì)頻率達(dá)到共振頻率時(shí)，具有最大振幅。本文計(jì)算了鐵氧體棒的共振頻率及位移、應(yīng)力分布，測(cè)試了鐵氧體棒的縱振動(dòng)模態(tài)、振幅-頻率關(guān)系以及振幅-電壓關(guān)系，并對(duì)棒的斷裂位置進(jìn)行測(cè)量分析，實(shí)驗(yàn)與計(jì)算結(jié)果基本吻合。