鄧浩儀，范紫萍

(華南師范大學(xué) 物理與電信工程學(xué)院，廣東 廣州 510006)

陀螺儀是高速回轉(zhuǎn)體的動(dòng)量矩敏感殼體相對(duì)慣性空間繞正交于自轉(zhuǎn)軸的一個(gè)或兩個(gè)軸的叫運(yùn)動(dòng)檢測(cè)裝置[1]。而利用非鐵磁性材料制成的陀螺儀成為非鐵磁性陀螺儀。根據(jù)楞次定律可以知道，非鐵磁性陀螺儀會(huì)在磁鐵的作用下減速。利用這一特點(diǎn)，可以間接測(cè)量出磁感應(yīng)強(qiáng)度。

為此，本文自制一個(gè)鋁制圓盤的陀螺儀，利用手機(jī)拍攝和Tracker軟件追蹤和數(shù)據(jù)擬合，首先測(cè)量出陀螺儀的摩擦力矩進(jìn)行公式修正，然后探究圓柱形磁鐵與鋁制陀螺儀的徑向距離對(duì)陀螺儀的影響及其規(guī)律，測(cè)量出衰減系數(shù)，根據(jù)此規(guī)律反向來得出制作成特斯拉計(jì)的原理。該方法成本低，數(shù)據(jù)容易獲取，適合學(xué)生在課后進(jìn)行探究。

1 實(shí)驗(yàn)原理與裝置

1.1 實(shí)驗(yàn)原理

當(dāng)沒有外磁場(chǎng)的時(shí)候，陀螺儀因?yàn)槭艿娇諝饽Σ亮睾洼S承摩擦產(chǎn)生的力矩M1(下面簡(jiǎn)稱為摩擦力矩)，會(huì)在平面上逐漸減速，滿足

(1)

其中J為陀螺儀圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，滿足

(2)

由于摩擦力矩M1隨時(shí)間變化較小，故簡(jiǎn)化模型，將其視為常數(shù)。對(duì)式(1)進(jìn)行分離變量積分可得

(3)

鋁是非鐵磁性導(dǎo)電材料之一。當(dāng)鋁制導(dǎo)體圓盤放置在磁場(chǎng)中，對(duì)其進(jìn)行分析時(shí)，可以將圓盤看作是由無數(shù)根沿半徑方向的金屬棒組成。當(dāng)圓盤導(dǎo)體轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)候，部分的圓盤導(dǎo)體會(huì)切割磁感線，由法拉第定律[2]可知，導(dǎo)體圓盤產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)在圓盤導(dǎo)體中會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電流，從而產(chǎn)生與轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反的安培力，使圓盤導(dǎo)體緩慢減速至停止。這個(gè)安培力產(chǎn)生的力矩稱為感應(yīng)力矩。根據(jù)角動(dòng)量定理可知

(4)

其中，M2是感應(yīng)力矩。

其中通過查閱文獻(xiàn)可得，導(dǎo)體圓盤受到的感應(yīng)力矩大小為[3]：

(5)

其中σ為非鐵磁性陀螺儀圓盤的電導(dǎo)率，δ為厚度，a為半徑，R為圓柱磁鐵的半徑，Bz為圓柱磁鐵z方向上的磁場(chǎng)大小，d為圓盤與磁鐵的中心軸線距離，如圖1所示。

圖1 陀螺儀鋁制圓盤和磁鐵位置關(guān)系側(cè)視圖

結(jié)合式(3)和式(4)可以得到非鐵磁性陀螺儀的轉(zhuǎn)速滿足

(6)

其中

(7)

由式(5)可得，陀螺儀角速度的衰減滿足指數(shù)的衰減規(guī)律，其中衰減的快慢由k來決定?；诖?，本研究將非鐵磁性陀螺儀的圓盤轉(zhuǎn)速變化簡(jiǎn)化為[3]：

ω(t)=ω0e-βt

(8)

其中衰減系數(shù)為

(9)

由式(4)至式(9)可知衰減系數(shù)β應(yīng)與圓盤和磁鐵軸心距離d滿足一定的規(guī)律，近似地與d的二次方成正比。

1.2 實(shí)驗(yàn)裝置

實(shí)驗(yàn)器材主要由自制的鋁制圓盤陀螺儀、釹鐵硼圓柱形永磁鐵，手機(jī)、手機(jī)支架、特斯拉計(jì)等材料組成，如圖2所示。相關(guān)材料的實(shí)驗(yàn)參數(shù)如表1所示。

(a)實(shí)驗(yàn)裝置圖

(b)實(shí)物圖圖2 實(shí)驗(yàn)裝置模型圖與實(shí)物圖

表1 實(shí)驗(yàn)材料參數(shù)

1.3 軟件

Tracker是一個(gè)免費(fèi)的視頻跟蹤分析和建模工具軟件[4]。利用該軟件可以將手機(jī)拍攝鋁制圓盤制停的視頻進(jìn)行分析，得到鋁制圓盤在有磁場(chǎng)和無磁場(chǎng)的作用下角速度隨時(shí)間的變化關(guān)系，如圖3所示。

圖3 Tracker分析數(shù)據(jù)圖

2 實(shí)驗(yàn)步驟與內(nèi)容

1)搭建實(shí)驗(yàn)裝置，給予鋁制圓盤一定的初速度，利用手機(jī)的慢鏡頭拍攝鋁制圓盤在無磁場(chǎng)作用時(shí)的視頻，可以獲得鋁制圓盤陀螺儀所受到的摩擦力矩M1。

2)在第一步裝置中加入磁鐵，使磁鐵保持與鋁制圓盤1cm垂直距離。取5種不同的鋁制圓盤與磁鐵的中心軸線距離d，拍攝5組視頻。拍攝過程中，盡可能保持手機(jī)與鋁制圓盤的平面相互平行。

3)將拍攝的視頻導(dǎo)入Tracker軟件，最終鋁制圓盤上標(biāo)志的紅點(diǎn)，獲得角速度-時(shí)間對(duì)應(yīng)關(guān)系，用數(shù)據(jù)處理軟件進(jìn)行擬合，獲得衰減系數(shù)，并進(jìn)行誤差分析。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

3.1 非鐵磁性陀螺儀在無外磁場(chǎng)作用時(shí)的摩擦力矩的求解

圖4 僅在摩擦力矩作用下的陀螺儀轉(zhuǎn)速規(guī)律

3.2 磁鐵的不同徑向距離對(duì)非鐵磁性陀螺儀的影響

在保證陀螺儀初始轉(zhuǎn)速大致一樣的情況下，使鋁制圓盤與磁鐵的中心軸線距離d分別為1.2cm、1.4cm、1.6cm、1.8cm和2.0cm，并對(duì)相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行指數(shù)擬合，數(shù)據(jù)結(jié)果如圖5所示。

(a) d為1.2 cm時(shí)鋁制圓盤轉(zhuǎn)速的變化情況

(b) d為1.4 cm時(shí)鋁制圓盤轉(zhuǎn)速的變化情況

(c) d為1.6 cm時(shí)鋁制圓盤轉(zhuǎn)速的變化情況

(d) d為1.8 cm時(shí)鋁制圓盤轉(zhuǎn)速的變化情況

(e)d為2.0 cm時(shí)鋁制圓盤轉(zhuǎn)速的變化情況圖5 d變化時(shí)鋁制圓盤轉(zhuǎn)速的變化情況

通過圖5可以得到表2的數(shù)據(jù)。

表2 β與d之間的關(guān)系

將這些數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，與式(9)的理論值進(jìn)行比較得到圖6。

圖6 導(dǎo)體圓盤轉(zhuǎn)速的衰減系數(shù)β隨軸心距離d的變化實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與理論值對(duì)比

根據(jù)圖5可以得知實(shí)驗(yàn)值與理論值的趨勢(shì)是大致相同的，但是在d比較小或者比較大的時(shí)候誤差較大。在d較大的時(shí)候，可能是由于圓盤與軸并不是互相垂直的，存在略微傾斜，導(dǎo)致轉(zhuǎn)動(dòng)慣量偏大，衰減系數(shù)偏??；還有可能是由于在測(cè)量磁場(chǎng)的時(shí)候沒有對(duì)準(zhǔn)磁鐵的中心，導(dǎo)致磁場(chǎng)偏小，從而導(dǎo)致衰減系數(shù)偏小。而當(dāng)d較小的時(shí)候，可能是因?yàn)門racker對(duì)圓盤標(biāo)記點(diǎn)的捕捉不夠準(zhǔn)確，從而使在找圓盤從最大速度衰減時(shí)候存在誤差，導(dǎo)致衰減系數(shù)偏大。

因此，由式(7)可知，當(dāng)磁場(chǎng)Bz和d固定的時(shí)候，可以獲得陀螺儀的衰減系數(shù)。反之，當(dāng)d固定的時(shí)候，給予陀螺儀一個(gè)初速度，根據(jù)陀螺儀的角速度與時(shí)間的關(guān)系得到衰減系數(shù)，則可以知道外磁場(chǎng)的大小，相當(dāng)于制作成了一個(gè)特斯拉計(jì)，其關(guān)系滿足如下式(10)：

(10)

其中C表示為式子(11)

(11)

4 結(jié) 語

本文通過Tracker軟件探究軸心距離d對(duì)鋁制陀螺儀的影響，但是影響鋁制陀螺儀的因素還有很多，如非鐵磁性材料的性質(zhì)、厚度等。教師可以在學(xué)習(xí)完楞次定律或者電磁阻尼的時(shí)候，讓學(xué)生在課外進(jìn)行非鐵磁性陀螺儀其他影響因素的探究，加深對(duì)楞次定律之類的知識(shí)的理解。