李新飛，陳忠言，陸梟瀟，黃福祥

(1.哈爾濱工程大學 船舶工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001；2.上海船舶設備研究所，上海 200030；3.海洋石油工程股份有限公司，天津 300451)

0 引 言

船舶動力定位（dynamic positioning，DP）系統(tǒng)是一種能夠適用于復雜海況條件下，自動保持船舶位置、航向或者跟蹤指定航跡的運動控制技術。動力定位船在海上運動時受風、浪、流等環(huán)境載荷作用，其中波浪載荷主要包括一階波浪載荷和二階波浪載荷，進而使船體產(chǎn)生一階波浪運動和二階漂移運動。一階高頻運動是零均值的往復振蕩運動，對動力定位性能影響較大。在傳感器的測量運動信號輸入DP 控制器之前，必須將信號中的一階高頻運動和測量白噪聲濾除。

針對船舶波浪運動濾波和控制問題，國內(nèi)外的許多學者都做過相關研究。Fossen等對船舶受環(huán)境擾動情況時運動控制系統(tǒng)展開研究。Hassani等提出一個由遞歸優(yōu)化過程組成的自適應波浪濾波系統(tǒng)。李楊等在海浪干擾主頻率辨識方法的基礎上,設計擴展狀態(tài)觀測器及二次最優(yōu)控制器。鄧英杰等提出一種動力定位的狀態(tài)觀測飽和控制算法。然而Kalman 濾波由于參數(shù)較多和強耦合性，未能在DP 控制中很好應用。

本文針對船舶動力定位系統(tǒng)的一階波浪運動濾波與控制問題，建立船舶DPS 系統(tǒng)非線性動力學模型和波浪運動的數(shù)學模型，對船舶DPS 的非線性數(shù)學模型進行線性化理處；建立一種基于位置和航向輸出的DPS 狀態(tài)觀測器，研究如何利用基于連續(xù)Kalman 濾波技術解決動力定位系統(tǒng)三自由度解耦濾波問題，并討論DPS 濾波器的噪聲協(xié)方差矩陣參數(shù)的選擇方法；構(gòu)建一種包含狀態(tài)估計和運動控制器的DPS系統(tǒng)仿真模型，并在Simulink 中進行了動力定位仿真分析，進而探討非線性無源濾波和Kalman 濾波方法的濾波效果和船舶動力定位性能。

1 船舶動力學與一階波浪運動建模

1.1 船舶動力學及運動學模型

船舶在海面上的運動可分為由風、海流及二階波浪力等引起的船舶低頻漂移運動和由一階波浪力引起的船舶高頻運動。船舶真實的運動是二者運動的疊加，考慮到傳感器的測量白噪聲干擾，DP 船舶三自由度低頻非線性模型可以寫為：

式中：∈為運動系統(tǒng)的慣性矩陣；∈為阻尼系數(shù)的矩陣；τ ∈為船舶推進系統(tǒng)輸出的推力矢量矩陣；τ∈為風前饋；=diag{,,}為含有正偏差時間常數(shù)的對角矩陣；為偏差向量，是由二階波浪漂移力、洋流和未建模的動力學作用而產(chǎn)生的一種漂移力；ω和 ω為零均值高斯白噪聲信號。

1.2 一階海浪干擾模型

一階海浪干擾力作用到船體上表現(xiàn)為和波高成線性關系且同頻的波浪運動，DP 船舶所受的高頻往復運動是一階波浪干擾力引起的，且在橫蕩、縱蕩和首搖3 個自由度上互不影響，可看成是單獨的運動，都看作是一個附加阻尼項的二階諧波振蕩器：

2 非線性無源估計濾波器的設計

2.1 非線性無源估計濾波器的觀測方程

DP 船舶測量系統(tǒng)測量出的船舶位置以及首搖角度的信息是帶有噪聲干擾的，因此選用的系統(tǒng)測量模型為：

在非線性無源估計濾波器中不再采用零轉(zhuǎn)首率的假設，增加2 個新的假設。

忽略均值為零的高斯白噪聲。

即使在極端海況下，船舶對一階波浪力響應后的首搖角度不超過5°，得到非線性無源估計濾波器的觀測方程為：

2.2 觀測器的參數(shù)設定方法

為保證式（6）滿足KYP 引理，使得系統(tǒng)是嚴格無源系統(tǒng)，設計增益矩陣結(jié)構(gòu)如下：

非線性無源估計濾波器增益矩陣中的參數(shù)如下：

式中：ω為陷波濾波器的截止頻率；?為決定陷波的性能的對阻尼率；?為波譜的相對阻尼率；ω為波譜的峰值頻率。

濾波器增益選取理想情況下需要考慮到波譜的峰值頻率，為了滿足正實引理，重要的是3 個解耦函數(shù)都有一個-90°相位滯后，系統(tǒng)參數(shù)必須滿足：

式中：T為定義偏差估計器的積分時間常數(shù)。

3 連續(xù)型Kalman 濾波器的設計

3.1 連續(xù)型Kalman 濾波算法

建立線性連續(xù)時間系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程：

式中：過程噪聲 ω被假定為具有協(xié)方差矩陣且均值為零的高斯白噪聲過程，其協(xié)方差矩陣=＞0，在一維情況下，對應于標準差的平方，即σ。

測量方程（傳感器系統(tǒng)）為：

式中：測量噪聲 υ假定為具有協(xié)方差矩陣且均值為零的高斯白噪聲過程，其協(xié)方差矩陣=＞0。如果上述系統(tǒng)方程是可觀測的，狀態(tài)向量∈R可以通過測量值∈R和控制輸入值∈R重新遞推求解計算的。

連續(xù)時間Kalman 濾波算法及噪聲方差陣如下：

初始條件：

卡爾曼增益矩陣迭代式：

狀態(tài)估計迭代式：

誤差協(xié)方差迭代式：

3.2 線性DP 狀態(tài)空間模型的設計

選用的線性DP 模型設計結(jié)果模型為15 階狀態(tài)空間模型：

系統(tǒng)矩陣為：

3.3 協(xié)方差矩陣的設定方法

在連續(xù)時間Kalman 濾波器中：

協(xié)方差矩陣=∈R和=∈R必須由使用者指定，測量協(xié)方差矩陣的方法可以使用下述公式：

協(xié)方差矩陣具體的結(jié)構(gòu)形式，要充分考慮船舶在實際航行過程會受到不同海況，是一個強非線性過程具有不確定性的模型。在仿真模擬時通過不斷地試錯得到，確定將主對角線的數(shù)都設成正可調(diào)參數(shù)。最終將這個協(xié)方差矩陣選為對角矩陣=diag{,,}。

矩陣∈代表噪聲 ω的協(xié)方差，取值與船舶的波浪響應參數(shù)有關。可讀取船舶波浪運動的歷史數(shù)據(jù)來確定這一噪聲濾波器的取值設計，矩陣和也設置為對角矩陣，∈代表在位置測量過程中噪聲方差的部分，是噪聲 ω的協(xié)方差；∈一方面可以給其他協(xié)方差的取值提供平衡，也代表著環(huán)境建模時具有一定的不確定性，是噪聲 ω的協(xié)方差。

3.4 三自由度解耦濾波方法

通過以上的推導計算，可得到一個維度為1 5×1的Kalman 增益矩陣?？紤]到DP 系統(tǒng)中濾波器的實時性要求，不能直接將增益與()-()?()簡單相乘。一方面，會使得協(xié)方差矩陣的形式不在清晰；另一方面，高維度的矩陣運算所需計算時間較長，也容易產(chǎn)生不可逆的矩陣。

綜上，可對DP 船三自由度的運動進行解耦運算。即在實際計算過程中縱蕩、橫蕩、首搖這三自由度各取增益的5 個變量，形成針對縱蕩方向的增益K，針對橫蕩方向的增益K，針對首搖方向的增益K。增益K取第1/4/7/10/13 個；增益K取第2/5/8/11/14 個；增益K取第3/9/12/15 個。解耦后的系統(tǒng)計算速度極大提升，也釋放了計算的存儲量壓力。

在每個自由度進行單獨的濾波后，考慮到這3 個自由度的耦合關系，仍需要進行一定程度的重組工作。在與質(zhì)量矩陣的逆、阻尼矩陣的逆、轉(zhuǎn)置矩陣的逆(ψ)等運算之前需要將其重組起來，運算結(jié)束之后進行解耦。能夠有效得到和估計船舶低頻運動，并大幅濾除控制系統(tǒng)接收到的由一階波浪運動和高斯白噪聲等引起的高頻分量。

對單自由度的濾波過程進行設計，具體DP 運動濾波的內(nèi)部原理如圖1 所示。

圖1 某單自由度運動濾波內(nèi)部原理圖Fig.1 Internal principle diagram of a single degree of freedom motion filter

4 濾波控制仿真及結(jié)果分析

4.1 濾波仿真過程及濾波器參數(shù)設置

使用之前數(shù)學模型和濾波算法，以某DP 實船模型為研究對象，通過經(jīng)驗公式的估算，該船舶模型的無因次質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣分別為：

取海浪強度的參數(shù) σ為0.5，阻尼系數(shù) λ為0.1，主導海浪頻率 ω為0.8，濾波截止頻率為1.04，偏差矩陣如下：

其中，在非線性無源估計濾波器中可以設定增益。

4.2 不同濾波方法的運動及濾波效果對比

在Matlab 中構(gòu)建船舶運動濾波及控制的仿真系統(tǒng)，船舶水動力參數(shù)和運動控制器取上文中的參數(shù)值，濾波器參數(shù)分別取非線性無源濾波器和Kalman 濾波器的值，仿真時間200 s，設置，期望位置均為0，期望航向角為10°，得出船舶運動位置和航向角濾波的仿真結(jié)果如圖2 所示。通過對這三自由度的頻率-振幅對應的面積可以展示濾波效果的好壞，如表1 所示。

圖2 三自由度濾波效果對比圖Fig.2 Comparison of filtering effect in three degrees of freedom

表1 三自由度能量剩余表Tab.1 Three degree of freedom energy residual table

由表1 可知，非線性無源估計濾波器在正北、正東上濾除了82%以上的一階高頻波浪運動；Kalman 濾波器在正東和正北方向上濾除了99%以上的一階波浪運動，而且對于傳感器測量白噪聲的抑制效果也很理想。亦可知，非線性無源估計濾波器在航向上濾除了83%的一階高頻波浪運動，Kalman 濾波器在航向上濾除了超過98%的一階波浪運動，而且傳感器測量白噪聲的濾波效果也較好。

由此看出，Kalman 濾波器使得船舶的位置、航向的估計值和理想的低頻漂移運動輸出值基本一致，基本濾除了一階波浪運動，其中航向角濾除了98%以上的一階波浪運動，北東方向濾除了99%以上的一階波浪運動。同非線性無源濾波器相比，Kalman 濾波器的運動濾波效果更好，能夠較好估計出船舶期望的低頻運動。同時也較好抑制了傳感器的測量白噪聲信號，有利于減少控制器的設計難度和實現(xiàn)高精度運動控制。

5 結(jié) 語

本文針對船舶動力定位系統(tǒng)設計中遇到的波浪運動濾波問題，提出一種動力定位系統(tǒng)三自由度解耦Kalman 濾波方法，設計了動力定位系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器和運動控制器，通過動力定位系統(tǒng)濾波與運動控制仿真，可以得到如下結(jié)論：

1）本文方法使得DP 船舶在北東坐標系中的位置和航向上濾波效果和估計出的運動曲線更平滑穩(wěn)定，有效濾除了一階波浪運動的干擾，其中航向濾除了98%以上的一階波浪運動，北東方向濾除了99%以上的一階波浪運動，對傳感器測量白噪聲信號也有較好的抑制作用。

2）與非線性無源估計濾波器相比，本文方法所得到的運動曲線更平滑、穩(wěn)定，可有效減小動力定位控制器的設計難度，對船舶動力定位高精度控制系統(tǒng)設計而言，本文方法是一種有效且實用的運動濾波方法。