文/李 敏

引 言

初中數(shù)學(xué)知識體系主要分為三大類：一是關(guān)于數(shù)字的知識，如實數(shù)、代數(shù)、方程及方程組、不等式及不等式組等；二是關(guān)于圖形的知識，如平面幾何、立體幾何；三是數(shù)形結(jié)合的知識，主要體現(xiàn)在解析幾何上。數(shù)形結(jié)合思想本質(zhì)上是將直觀的圖像和抽象的數(shù)學(xué)語言相結(jié)合，在圖形問題和代數(shù)問題之間相互轉(zhuǎn)化，實現(xiàn)代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化[1]。隨著教學(xué)理念的轉(zhuǎn)變和教學(xué)方法的創(chuàng)新，近年來數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用越來越廣泛，已經(jīng)成為解決實際問題的一種重要方法。以下筆者結(jié)合實踐經(jīng)驗，針對數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用和滲透進行探討。

一、數(shù)形結(jié)合的使用原則和常用方法

（一）數(shù)形結(jié)合的使用原則

1.等價性原則

數(shù)形結(jié)合并不是在所有數(shù)學(xué)問題中均可以應(yīng)用，而是當(dāng)代數(shù)和幾何具有等價性時，才能實現(xiàn)兩者的轉(zhuǎn)化。一些圖形的表達方式有局限，提供的信息量少，盲目采用數(shù)形結(jié)合，會導(dǎo)致解題不嚴謹。以數(shù)軸為例，數(shù)軸上的點和實數(shù)是一一對應(yīng)的關(guān)系，這兩者具有等價性，因此可以采用數(shù)形結(jié)合思想。

2.雙向性原則

對于一些數(shù)學(xué)問題，如果只進行代數(shù)分析或幾何分析，都不能明確知識的內(nèi)在聯(lián)系，此時便可采用數(shù)形結(jié)合，實現(xiàn)圖形和代數(shù)的雙向轉(zhuǎn)化。以平方差公式、完全平方公式的推導(dǎo)為例，基于雙向性的數(shù)形結(jié)合思想，一方面是利用多項式的乘法法則，從數(shù)的角度進行推導(dǎo)；另一方面是利用四邊形面積的變化，從形的角度進行推導(dǎo)[2]。如此便可將數(shù)字問題直觀化、圖形問題邏輯化，方便學(xué)生理解。

3.簡單性原則

針對不同的數(shù)學(xué)問題，采用的解題方法也不同，而且解題方法可能不止一種。有些問題采用圖形法更加簡單快捷，有些問題則需要精準計算。在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合時，學(xué)生應(yīng)找到最簡單的解題方法，而不是機械性地將數(shù)與形結(jié)合，應(yīng)對復(fù)雜問題進行簡單化處理，以形成清晰的邏輯和解題步驟。

（二）數(shù)形結(jié)合的常用方法

1.以形助數(shù)

以形助數(shù)有利于學(xué)生直觀理解抽象問題，幫助學(xué)生形成清晰的解題思路。初中生的閱歷少，而且思維容易受到多方面因素的影響，理解抽象知識時有難度。以形助數(shù)，就是利用簡單的圖形來理解復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，形成一定的解題技巧。

2.以數(shù)解形

以數(shù)解形有利于分析圖形結(jié)構(gòu)特點，實現(xiàn)從幾何到數(shù)量的有效轉(zhuǎn)化。學(xué)生掌握幾何中的數(shù)量關(guān)系后，結(jié)合圖形的結(jié)構(gòu)特征，將兩者整合起來就能形成解題思路，為解答更復(fù)雜的數(shù)形結(jié)合問題打下基礎(chǔ)。初中數(shù)學(xué)教材中有很多使用字母或數(shù)字表示的公式，在教學(xué)這些公式時，教師可以采用數(shù)形結(jié)合。教師在教學(xué)中滲透這一思想時，應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的信息篩選能力，引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)量關(guān)系進行深入理解，從而使其掌握相應(yīng)的圖形結(jié)構(gòu)[3]。

3.數(shù)形互變

數(shù)形互變有利于把握數(shù)與形的關(guān)聯(lián)，在解題中實現(xiàn)數(shù)形互助。教學(xué)時，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)知識和結(jié)論入手，探究數(shù)和形之間的變化，使其深入挖掘這兩者的內(nèi)在聯(lián)系，更好地感知數(shù)字與圖形。

二、數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要價值

（一）激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

和小學(xué)數(shù)學(xué)相比，初中數(shù)學(xué)涉及的知識體系有所擴大，學(xué)習(xí)難度也有所提高。初中生的思維方式正處于過渡時期，他們對理論知識的學(xué)習(xí)興趣不濃，學(xué)習(xí)效率低下。在教學(xué)過程中，教師采用數(shù)形結(jié)合思想可以改變這一現(xiàn)狀，圖形和數(shù)字的結(jié)合、轉(zhuǎn)化、互變，能為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個真實的學(xué)習(xí)情境，有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，使其自覺參與到課堂活動中。

（二）強化知識記憶能力

數(shù)學(xué)是一門工具性學(xué)科，要想學(xué)好數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué)，學(xué)生首先要牢牢記憶概念、特征、定理、公式等基礎(chǔ)知識，如此才能在解決問題時選用相應(yīng)的知識點。學(xué)生在采用數(shù)形結(jié)合思想記憶數(shù)學(xué)知識時，能在腦海中形成具象的畫面，不但記得準確，而且記得時間更長。如此，在面對真實的數(shù)學(xué)問題時，學(xué)生才能做到“下筆如有神”。

（三）培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)知識源于生活，同時又為實際生活服務(wù)。從生活中提煉數(shù)學(xué)元素，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，使其真正做到學(xué)以致用[4]。在學(xué)生采用數(shù)形結(jié)合思想解決抽象問題時，教師要引導(dǎo)學(xué)生觀察、聯(lián)想、分析，拓展學(xué)生思維空間。學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合思想，又能反作用于學(xué)習(xí)過程，將不同知識點融會貫通，建立屬于自己的知識體系。

三、數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

以下結(jié)合例題，介紹數(shù)形結(jié)合思想在實數(shù)、整式運算、坐標系、函數(shù)、方程中的應(yīng)用情況。

（一）實數(shù)

例題1：如圖1，數(shù)軸上有A、B、C、D四個點，根據(jù)它們各自的位置，判斷哪一個點最接近

圖1

數(shù)軸上的點和實數(shù)一一對應(yīng)，利用數(shù)軸可以進行實數(shù)加減，也能表示相反數(shù)、絕對值、不等式的解集等。例題1 本質(zhì)上是求解11-的大小，可按照以下步驟進行：先計算，再計算，最后計算11-。解題過程如下。

（二）整式運算

例題2：圖2是由4 個全等的長方形拼成，根據(jù)中間空白部分面積的不同表示方法，寫出一個關(guān)于a、b關(guān)系的恒等式。

圖2

圖形比較形象直觀，但定量計算時要依靠代數(shù)。對于復(fù)雜的圖形，學(xué)生應(yīng)從不同角度觀察圖形的特征，從而發(fā)現(xiàn)隱藏條件，用數(shù)量正確表示圖形。針對例題2，可以采用以數(shù)解形法，解題過程如下。

觀察圖形，中間空白部分的面積有兩種表示方法：①先得出中間正方形的邊長，然后根據(jù)面積公式計算面積，即中間正方形的邊長是（a-b），面積表示為（a-b）2。②先計算大正方形的面積，然后減去周邊4個長方形的面積，大正方形的邊長是（a+b），面積表示為（a+b）2；1 個長方形的面積是ab，4 個長方形的面積之和是4ab；因此中間小正方形的面積是（a+b）2-4ab。即根據(jù)圖2得到a、b關(guān)系的恒等式是：（a-b）2=（a+b）2-4ab，剛好是完全平方公式的推導(dǎo)過程。

（三）坐標系

例題3：如圖3，已知正方形OABC的邊OA在x軸正半軸上，邊OC在y軸正半軸上，邊AB上有一點D坐標是（4，3）。當(dāng)△CBD繞著點C旋轉(zhuǎn)90°，那么旋轉(zhuǎn)后點D對應(yīng)的點D’坐標是（ ）。

圖3

A.（1，8） B.（-1，0）

C.（8，1）或（-1，0） D.（1，8）或（-1，0）

該題考查的是在平面直角坐標系中，坐標點位和圖形變換的關(guān)系。圍繞已知條件，解題時重點有兩個：一是△CBD旋轉(zhuǎn)90°分順時針和逆時針兩種情況；二是根據(jù)圖形特征計算點D’的坐標。解題過程如下。

因為點D（4，3）在邊AB上，可得BC=OA=4，AD=3，BD=1。①當(dāng)△CBD順時針旋轉(zhuǎn)90°，點D’在x軸上，此時OD’=1，即D’坐標是（-1，0）。②當(dāng)△CBD逆時針旋轉(zhuǎn)90°，點D’到x軸、y軸的距離分別是8 和1，即D’坐標是（1，8）。綜上，點D’的坐標是（-1，0）或（1，8），答案選擇D。

（四）函數(shù)

例題4：已知一次函數(shù)y1=kx+b和y2=x+a的圖像如圖4，對于以下結(jié)論：①k＜0；②a＞0；③當(dāng)x＜3時，y1＜y2，正確的數(shù)量是（ ）。

圖4

A.0 B.1 C.2 D.3

數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)中的應(yīng)用具有代表性，因為函數(shù)不僅有表達式，還有對應(yīng)的圖像[5]。表達式和圖像的相互轉(zhuǎn)化，能提供全面的信息，這些信息就是解題關(guān)鍵，解題過程如下。

分析圖像可知：①y1=kx+b的圖像呈下降趨勢，和y軸相交于正半軸，說明k＜0，b＞0。②y2=x+a的圖像呈上升趨勢，和y軸相交于負半軸，說明a＜0。③兩個函數(shù)的交點橫坐標是3，從圖像位置關(guān)系看，x＜3 時，y1的圖像在y2上方，說明y1＞y2。因此，正確結(jié)論只有1 個，答案選擇B。

（五）方程

例題5：如圖5，已知某花園是長方形ABCD，長度為50m、寬度為30m，規(guī)劃在內(nèi)部修建3 條寬度相同的道路，其中兩條和邊AB平行，另一條和邊BC平行，其余部分種植花草，每一塊草地的面積是50m2，問道路寬度是多少？

圖5

方程及方程組是解決幾何問題的有效方法，根據(jù)已知條件和圖形特征列出方程然后進行計算，可以減少計算量，是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn)。本例題考查的知識點是一元二次方程，解題過程如下。

假設(shè)道路寬度為x，結(jié)合圖形將6 塊草地平移后組成一個長方形，那么它的長是50-2x，寬是30-x。已知每塊草地的面積是50m2，6 塊草地的面積之和是300m2，可列出方程（50-2x）（30-x）=50×6，化簡可得x2-55x+600=0，求解得到x1=15，x2=40，結(jié)合題目將x2舍去，最終得到道路寬度為15m。

四、如何在教學(xué)中更好地滲透數(shù)形結(jié)合思想

（一）模仿實踐，初步感受數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想剛開始應(yīng)用在教學(xué)中，應(yīng)該從簡單的案例入手，讓學(xué)生直觀感受。例如，數(shù)軸可以描述有理數(shù)的絕對值，教師可以提出問題：互為相反數(shù)的兩個數(shù)，它們的絕對值有什么關(guān)系呢？對于這個問題的解答，教師可以利用數(shù)軸上的點表示數(shù)，然后讓學(xué)生模仿和實踐，從而發(fā)現(xiàn)它們距離原點的距離相等，即絕對值相等。

（二）對比運用，深化理解數(shù)形結(jié)合思想

初步感受數(shù)形結(jié)合思想后，教師可在教學(xué)中運用對比方法，讓學(xué)生進行深入理解。以函數(shù)為例，一次函數(shù)比較函數(shù)值的大小，通常結(jié)合函數(shù)的增減性即可做出判斷。但是，反比例函數(shù)的圖像不連續(xù)，是由兩條曲線組成的。這時，教師可以讓學(xué)生自己嘗試，畫出反比例函數(shù)的圖像，然后區(qū)分象限進行考慮；如果在同一個象限，可利用增減性比較函數(shù)值大小。教師讓學(xué)生對比嘗試，借助圖形解決問題，能加深其對數(shù)形結(jié)合思想的理解，以便其解題時靈活運用。

（三）獨立思考，充分掌握數(shù)形結(jié)合思想

當(dāng)學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想有了深入了解后，教師應(yīng)作為引導(dǎo)者和管理者，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，讓他們通過獨立思考，充分掌握數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用方法。一方面，教師可以利用一連串具有相關(guān)性的問題，引導(dǎo)學(xué)生培養(yǎng)觀察、猜想、歸納能力，通過由數(shù)到形、由形到數(shù)的轉(zhuǎn)化，提高數(shù)形結(jié)合思想的運用能力。另一方面，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識是為了解決實際問題，教師還應(yīng)為學(xué)生創(chuàng)設(shè)真實的生活情境，讓學(xué)生學(xué)會采用數(shù)形結(jié)合的思想去解決實際生活中的問題，從而簡化解題步驟，提高解題效率[5]。

結(jié) 語

綜上所述，數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生知識記憶能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維。文章以實數(shù)、整式運算、坐標系、函數(shù)、方程等課程知識為例，結(jié)合例題介紹了數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用。在實際教學(xué)過程中，教師應(yīng)考慮學(xué)生的實際情況，合理設(shè)計教學(xué)方案，讓學(xué)生循序漸進地感受、理解、掌握數(shù)形結(jié)合思想，實現(xiàn)預(yù)期教學(xué)目標。