張加興

(廈門實(shí)驗(yàn)中學(xué) 福建 廈門 361100)

電子自旋假設(shè)是獨(dú)特的微觀世界電子運(yùn)動圖景，它完全不同于經(jīng)典物理學(xué)中地球自轉(zhuǎn)模型.物理理論來源于實(shí)踐，在實(shí)踐的過程中，物理理論又是對以往理論的揚(yáng)棄與革新，呈現(xiàn)一定的螺旋上升的過程.電子自旋假設(shè)提出是一段凝聚眾多物理學(xué)家心血的科學(xué)探索旅程，也是近代物理學(xué)發(fā)展過程中激動人心的篇章.本文從物理學(xué)史的角度，闡釋電子自旋假設(shè)發(fā)展過程中對我們的啟示.

1 電子自旋假設(shè)提出的歷史背景

1.1 原子光譜實(shí)驗(yàn)的反?，F(xiàn)象與麥克斯韋電磁統(tǒng)一理論

(1)

w0為未加磁場時的電子繞原子核運(yùn)動的固有輻射頻率.可得式(1)的通解為

r(t)=a(ex-iey)e-iw+t+
b(ex+iey)e-iw-t+ceze-iw0t

(2)

從式(2)，可以看出在磁場中一條譜線除本身外多了兩條譜線，可以判斷沿各個方向觀察每個分裂譜線的偏振情況，也可以從實(shí)驗(yàn)結(jié)果計(jì)算出電子的荷質(zhì)比.這個值正好與湯姆森在幾個月后從陰極射線得到的“載荷子”的荷質(zhì)比數(shù)值相差很少[1].塞曼只解釋了光譜三分裂的現(xiàn)象，對于不同原子在不同磁場強(qiáng)度作用下的譜線分裂規(guī)律呈現(xiàn)出各種復(fù)雜的分裂現(xiàn)象是行不通的.1897年，普林斯頓用一個強(qiáng)大的電磁體觀察鎘原子譜線分裂的實(shí)驗(yàn)時就看到其中一條譜線劈裂成4條[2].在電子自旋假設(shè)提出之前，它是個令所有嘗試解釋這種物理現(xiàn)象的物理學(xué)家感到頭疼的難題.

1.2 施特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)與舊量子論

1920年由施特恩-蓋拉赫兩個人在容器中加熱到1 000 ℃(約為103K數(shù)量級)使銀原子變成蒸汽發(fā)射出來，通過狹縫S1,S2形成細(xì)束，經(jīng)過一個抽成真空的不均勻的磁場區(qū)域(磁場垂直于射束方向)，最后到達(dá)照相底片上，顯像后的底片上出現(xiàn)了兩條黑斑.處在熱平衡狀態(tài)有[3]

(3)

由式(3)可知，在T=103K溫度下，原子平均動能才達(dá)到0.13 eV，值低于銀原子從基態(tài)躍遷到最近的激發(fā)態(tài)的能量(約為1～10 eV數(shù)量級)，根據(jù)溫度T熱平衡下的原子按能級的玻爾茲曼分布[4]

(4)

在基態(tài)的銀原子的數(shù)目遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于第一激發(fā)態(tài)的數(shù)目.在處于熱平衡的容器上開一個小孔，在用兩個0.03 mm寬的準(zhǔn)直狹縫導(dǎo)入長為3.5 cm的偏轉(zhuǎn)磁場，磁場大小為0.1 T，梯度為10 T/cm[5]，在通過準(zhǔn)直狹縫后變成原子束，原子束中的銀原子速率的分布[7]

(5)

根據(jù)式(5)可求出原子束的平均速率[3]

(6)

射出后的銀原子通過在極小尺度內(nèi)的非均勻磁場，由原子物理學(xué)可知，一個磁矩在不均勻磁場中感受到一個力，其公式如下[4]

(7)

原子在穿過長l的不均勻磁場中偏轉(zhuǎn)的距離為[4]

(8)

在式(8)中除μz外，其他都是常數(shù)，這就說明銀原子有兩個μz值，也就是說有兩個β值，說明銀原子在磁場中只有兩個取向.

隨著波爾提出的舊量子論以及愛因斯坦提出的相對論，在1916年，索末菲考慮了相對論效應(yīng)后的氫原子能量推廣了玻爾的理論，提出了量子化通則以及電子橢圓軌道運(yùn)動.對于氫原子光譜精細(xì)結(jié)構(gòu)，索末菲考慮相對論效應(yīng)的修正后氫原子能量可表示為[4]

(9)

第二，此時，郎德和海森堡合作從塞曼效應(yīng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的經(jīng)驗(yàn)公式分析推出的原子實(shí)矢量模型，即考慮一個原子實(shí)的角動量和軌道角動量的合成，得到了不同原子的總角動量的合成g因子.這種模型應(yīng)用于雙線和三線光譜及塞曼效應(yīng)時，結(jié)果出人意料地使人滿意，但是它在解釋多電子原子光譜現(xiàn)象時遇到了困難[2].多電子原子需要考慮到Pauli不相容原理，Pauli也在這時引入了一個表征電子在磁場中二值性的量子數(shù)ms，這樣表示原子狀態(tài)的量子數(shù)有4個，既要考慮電子自旋的量子數(shù)是分?jǐn)?shù)，思想上，物理科學(xué)家似乎都朝著一個共同的方向奔去，盡管有一些不同.

第三，如果忽略施特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的條數(shù)的反常，再考慮實(shí)驗(yàn)中得到銀的偏轉(zhuǎn)距離為0.2 mm，可以根據(jù)上式反過來求出這個未知的磁矩在任意方向上的投影值正好約為一個玻爾所假設(shè)的磁子μB=0.927×10-23A·m2，誤差為10%[5]，是因?yàn)殡娮幼孕慕莿恿颗c經(jīng)典的角動量完全不相同，不能按照舊的思維方式.

2 電子自旋假設(shè)的提出與對實(shí)驗(yàn)顯現(xiàn)的論證

2.1 電子自旋假設(shè)的內(nèi)容及其內(nèi)涵解釋

在1925年的夏天，兩個萊頓大學(xué)的學(xué)生Uhlenbeck和Goudsmit總結(jié)了之前其他物理學(xué)家的工作，完整地提出了兩條電子自旋假設(shè)：

(1)每個電子具有自旋角動量S，它在空間上任何方向的投影只能取兩個

(10)

(2)每個電子具有自旋磁矩MS,它和自旋角動量的關(guān)系是

(11)

電子自旋角動量與經(jīng)典軌道磁矩與軌道角動量不同，而是有個2的倍數(shù).這條假設(shè)實(shí)際上是為了符合實(shí)驗(yàn)中分裂譜線間距是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，在當(dāng)時看來，可以算是個近似猜測的唯象理論.

2.2 電子自旋假設(shè)與光譜反常實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的解釋

按照上述兩條假設(shè)，先忽略精細(xì)結(jié)構(gòu)項(xiàng)，綜合考慮處在不同狀態(tài)的單個價電子的原子的總磁矩可以表示為[4]

(13)

(14)

g稱為朗德因子.其中

這個g因子包含了單個電子的自旋磁矩和電子軌道磁矩的耦合作用，又根據(jù)經(jīng)典電動力學(xué)理論，原子總磁矩在磁場中的能量為[4]

ΔE=|μj||B|cosα

(15)

μj在磁場中的取向又是量子化的，所以能量也分裂為[4]

(16)

這樣就可以計(jì)算譜線分裂的間距，如果按照動量守恒和選擇定則可以確定譜線的條數(shù)和偏振情況.如圖1所示.

圖譜線的塞曼效應(yīng)

忽略外磁場時，對于光譜精細(xì)結(jié)構(gòu)，對氫和類氫原子的能量主要部分的一般公式為[4]

(17)

Z-σ是有效電荷，對氫Z-σ=1，對類氫原子Z-σ是考慮到原子實(shí)極化和軌道貫穿后的等效電荷，一般大于1.

然后可以根據(jù)托馬斯理論以及經(jīng)典電動力學(xué)的理論，計(jì)算出自旋與軌道的相互作用能量[4]

(18)

其中

當(dāng)然，必須考慮到經(jīng)過Heisenberg用量子力學(xué)修正后的Sommerfeld的相對論能量[4]

(19)

從實(shí)驗(yàn)測出的Z-s和Z-σ稍有不同，對堿金屬原子而言都隨著l改變，但對于氫原子都等于1.

僅僅考慮用量子力學(xué)修正后的相對論能量項(xiàng)會反而不符合精細(xì)結(jié)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)事實(shí)，所以必須綜合之前電子自旋角動量和軌道角動量之間的相互作用，即托馬斯的第二項(xiàng)，所以總的能量為[4]

(20)

圖2 氫原子n=3的能級演變(不按比例)

3 電子自旋假設(shè)與量子力學(xué)理論

3.1 波動量子力學(xué)理論與電子自旋假設(shè)

1925年到1928年之間，量子力學(xué)取得了進(jìn)一步的發(fā)展，形成比舊量子論更嚴(yán)密完整更深刻揭示微觀世界的物理過程的體系，迫使物理學(xué)家重新描述電子自旋假設(shè)及其物理含義.一方面建立的波動量子力學(xué)，在波動方程中引入了系統(tǒng)哈密頓量的概念，力學(xué)量用力學(xué)算符來代替.然后，對于簡單的系統(tǒng)，如在有心力場中的哈密頓算符得出了表征氫原子原子狀態(tài)的3個量子數(shù)物理含義.在另一方面，海森堡建立了與Schrodinger等價的矩陣量子力學(xué).

如果按照二值的自旋分量，可以構(gòu)造描述電子自旋角動量所對應(yīng)的算符，即泡利矩陣.根據(jù)托馬斯計(jì)算的結(jié)果，考慮有單個電子原子的哈密頓量為

(21)

考慮兩種極端情況，當(dāng)磁場足夠弱時，即沒有破壞自旋與軌道的耦合時，可以把總角動量與磁場相互作用看成是微擾項(xiàng)，這時J為好量子數(shù)，采用lsjm表象，則能量的一級近似為[7]

(22)

當(dāng)磁場足夠強(qiáng)時，即破壞了自旋與軌道的耦合時，把自旋與軌道相互作用看成是微擾項(xiàng)，這時l,m,ml,ms近似看成是好量子數(shù)，可以得到能量一級近似為[10]

(23)

忽略自旋與軌道的耦合能時，近似求解在不同條件下的結(jié)果，與經(jīng)典的結(jié)論是一致的.

3.2 相對論量子力學(xué)與電子自旋假設(shè)

1928年狄拉克建立了相對論性量子力學(xué)，他將相對論和量子力學(xué)融合，使之發(fā)展成更加嚴(yán)密的統(tǒng)一的框架.他修正了Schrodinger方程，滿足了洛倫茲變換不變性.在狄拉克理論下，電子自旋的假設(shè)變成了自然而然的性質(zhì)，使得電子自旋擺脫了人為因素.

自由粒子的狄拉克方程為[8]

(24)

其中有

(25)

若是帶電粒子-e在電磁場中的狄拉克方程只要將上述方程進(jìn)行如下代換：其

(26)

在非相對論近似下可得到Pauli方程[8]

(27)

上式一般公式若是處在均勻磁場中條件下

Bx=By=0Bz=B

(28)

并滿足橫波條件?·A=0，可以求得[8]

(29)

最后一項(xiàng)與物質(zhì)順磁性質(zhì)相關(guān).

再考慮在有心力場中的非相對論狄拉克方程有[7]

(30)

從這個方程中可以看出它包含了之前所分開討論的所有項(xiàng)，其中，第一、二兩項(xiàng)是不包含自旋的薛定諤方程，第三項(xiàng)是由相對論質(zhì)量修正而來，第四項(xiàng)是自旋軌道耦合能，而且也得出了狄拉克方程所特有的達(dá)爾文項(xiàng).

狄拉克方程的優(yōu)勢在于將量子力學(xué)形成一個規(guī)范的自洽的體系，在各個不同的條件下可以得出光譜精細(xì)結(jié)構(gòu)以及微觀原子在磁場中的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，也將所有的電子自旋性質(zhì)統(tǒng)一在這個體系當(dāng)中，狄拉克理論的正確性已經(jīng)在正電子的預(yù)言中得到了證實(shí).之后，在粒子物理學(xué)中，具有半整數(shù)自旋的粒子遵循費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)，稱為費(fèi)米子，它們必須占據(jù)反對稱的量子態(tài)，這種性質(zhì)要求費(fèi)米子不能占據(jù)相同的量子態(tài)，這被稱為泡利不相容原理[9～14].

4 電子自旋假設(shè)的啟示

4.1 注重實(shí)驗(yàn)與思維

實(shí)驗(yàn)是物理學(xué)大廈的根基.物理學(xué)理論的建立一般都會經(jīng)歷：實(shí)驗(yàn)—假說—數(shù)學(xué)推理—實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)—建立理論—拓展應(yīng)用等幾個階段.從實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)問題，從問題中進(jìn)行思考，從思考獲得答案，從答案中反思過程.在浩蕩的物理學(xué)史中，不難發(fā)現(xiàn)很多理論都是人類思維上巨大的轉(zhuǎn)變，如量子力學(xué)和相對論等.提出分?jǐn)?shù)量子數(shù)同樣是這一段旅程中巨大的閃光點(diǎn)，改變一貫的思維慣性，才能獲得柳暗花明又一村的電子微觀世界運(yùn)動的圖景，這需要大量的實(shí)驗(yàn)和深度思維的支撐及不懈的努力.

4.2 注重繼承與創(chuàng)新

電子自旋假設(shè)和其他科學(xué)理論一樣，都是科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)水平發(fā)展到一定階段的必然產(chǎn)物．隨著對于光譜精細(xì)結(jié)構(gòu)條件的改善，才有實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的觀察．就像兩次工業(yè)革命一樣.同時，理論的成功是很多位科學(xué)家們一起努力的結(jié)果，對于電子自旋假設(shè)而言，經(jīng)歷了從經(jīng)典的地球自轉(zhuǎn)模型到神奇的半數(shù)量子數(shù)的自旋無疑是一種巨大的創(chuàng)新，這種創(chuàng)新某種意義上對分?jǐn)?shù)電荷粒子夸克的提出也具有影響.