周定河

(常德市第一中學(xué) 湖南 常德 415000)

以桿物繩系統(tǒng)為背景的習(xí)題在各種資料上出現(xiàn)的頻率較高，習(xí)題設(shè)計(jì)一般針對物體的動力學(xué)分析和能量問題討論，但有些題目給出的答案往往出現(xiàn)失誤.因此，有必要對這類問題深入研究.下面結(jié)合幾個例題從動力學(xué)分析和能量轉(zhuǎn)換兩個側(cè)面對桿物繩系統(tǒng)深度分析[1]，以期避免同樣的失誤.

【例1】如圖1所示，物塊套在固定豎直桿上，用輕繩連接后跨過定滑輪與小球相連.開始時物塊與定滑輪等高.已知物塊的質(zhì)量m1=3 kg，球的質(zhì)量m2=5 kg，桿與滑輪間的距離d=2 m，重力加速度g=10 m/s2，輕繩和桿足夠長，不計(jì)一切摩擦，不計(jì)空氣阻力.現(xiàn)將物塊由靜止釋放，在物塊向下運(yùn)動的過程中( )

圖1 桿物繩系初態(tài)

C．物塊下降的最大距離為3 m

D．小球上升的最大距離為2.25 m

原解:當(dāng)物塊所受的合外力為零時，物塊運(yùn)動的速度最大，此時，小球所受合外力也為零，則有繩的張力為小球的重力，即

FT=m2g=50 N

(1)

對物塊作受力分析，如圖2所示，可知

FTcosθ=m1g

(2)

圖2 物塊受力分析

對物塊速度v沿繩子的方向和垂直繩的方向分解，則沿繩方向的分速度即為小球的速度，設(shè)為v1，則有

v1=vcosθ

(3)

對物塊和小球組成的系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒定律可知

(4)

代入數(shù)據(jù)，得

(5)

故A正確，B錯誤.

設(shè)物塊下落的最大高度為h，此時小球上升的最大距離為h1，則有

(6)

對物塊和小球組成的系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒定律可得

m1gh=m2gh1

(7)

聯(lián)立解得

h=3.75 mh1=2.25 m

(8)

故C錯誤，D正確.選A，D.

原題給出的答案中，選項(xiàng)A是錯誤的.該解答的失誤在于沒有對球進(jìn)行正確的動力學(xué)分析.討論如下.

1 物體加速度的研究

在例1中，釋放物塊時物塊的合力為豎直向下的m1g，則物塊下滑全程必先向下做加速度減小的加速運(yùn)動，后做加速度增大的減速運(yùn)動，其加速度為零時速度最大.

設(shè)繩與桿成θ角時物塊的速度為v、加速度大小為a，小球的加速度大小為a1.將v沿繩和垂直繩的方向分解，如圖3所示.沿繩方向的分速度大小v1就是小球的速度大小，有

圖3 物塊速度分解

(9)

兩邊求導(dǎo)，得

(10)

(11)

可見，物塊加速度為零時，小球的加速度必不為零.

這是桿物繩系統(tǒng)中物體加速度問題的關(guān)鍵，也是特別容易出現(xiàn)錯誤的地方.而原解答則認(rèn)為兩球的加速度同時為零，從而得出選項(xiàng)A對的錯誤結(jié)論.

2 物系能量的研究

在例1中，對桿物繩系統(tǒng)的能量研究，可以得到物塊運(yùn)動的最大速度.

設(shè)繩與桿成θ時物塊的速度大小為v.對物塊和小球組成的系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒定律，有

(12)

代入數(shù)據(jù)化簡，得

(13)

直接解該方程求v難度可想而知，幾乎得不出結(jié)果.在網(wǎng)上覓得一款門檻極低的GeoGebra動態(tài)數(shù)學(xué)作圖軟件，可以輕松作出v2-θ圖像，從而解出vm.用GeoGebra繪出的式(13)的圖像如圖4所示.可得，vm=3.91 m/s，對應(yīng)的θ約為59.6°.

圖4 用GeoGebra繪出的式(13)的v2-θ圖像

在圖4中的C點(diǎn)，θ約為28.0°，由幾何關(guān)系有

(14)

與直接解得的結(jié)果3.75 m非常接近.說明上述結(jié)果是可信的.

與該題相似的是1995年上海市第九屆高一物理競賽復(fù)賽第23題，原題如下.

【例2】如圖5所示，細(xì)線的一端與套在光滑細(xì)桿MN上的滑塊A相連，另一端通過不計(jì)大小的定滑輪O將物體B懸掛在空中，細(xì)桿MN與水平面成60°角，桿上P點(diǎn)與滑輪O處在同一水平面上，P到O點(diǎn)的距離為s=1 m，滑塊A的質(zhì)量為5m，物體B的質(zhì)量為m，滑塊A在P點(diǎn)由靜止開始沿桿下滑.

圖5 桿物繩系初態(tài)

(1) 當(dāng)OP繩轉(zhuǎn)過角度θ=60°時，滑塊A的速度多大？

(2)求滑塊A下滑的最大速度.

(15)

他們利用MATLAB軟件作出式(15)的v2-θ圖像如圖6所示，A點(diǎn)表示滑塊下滑到最大距離處，此時θ約為4.75°，B點(diǎn)表示滑塊的速度達(dá)到最大，約為3.75 m/s，此時θ約為68.21°.

圖6 用MATLAB軟件作出的式(15)的v2-θ圖

圖7 用GeoGebra繪出的式(15)的v2-θ圖像

針對例1，由機(jī)械能守恒定律可得到小球的速度大小滿足

(16)

圖8 用GeoGebra繪出的式(16)的圖像

3 繩上彈力的研究

在例1中，設(shè)繩與桿成θ時繩上的拉力大小為FT，物塊加速度大小為a，小球的加速度大小為a1.由牛頓第二定律有

m1g-FTcosθ=m1a

(17)

FT-m2g=m2a1

(18)

解得

(19)

當(dāng)小球加速度為零時其速度最大，此時FT=m2g，由圖8可得對應(yīng)的θ約為45.0°，由式(19)可以得物塊加速度a=-1.78 m/s2.說明該時刻物塊在向下減速.

而物塊加速度為零時，θ約為59.6°，有

m1g-FTcosθ=0

(20)

解得FT=59.3 N，利用式(18)，可得小球的加速度大小為1.86 m/s2.

總之，在解答以桿物繩系為背景命制的部分習(xí)題時，很容易出現(xiàn)物體加速度關(guān)系的錯誤，從而得出錯誤的結(jié)論.期望本文的思路能為大家提供一點(diǎn)參考.