紅蘭,戈君,雙山,劉達(dá)權(quán)

(呼倫貝爾學(xué)院物理與電子信息學(xué)院,內(nèi)蒙古 呼倫貝爾 021008)

0 引言

研究人員應(yīng)用電子的電荷特性開創(chuàng)了微電子學(xué),使各種基于電荷特性的半導(dǎo)體微電子器件走進(jìn)人們的日常生活[1,2]。近年來自旋電子學(xué)已成為物理學(xué)中最熱門的研究領(lǐng)域之一,具有廣闊的應(yīng)用前景。目前,研究自旋電子學(xué)的一個(gè)重要分支是在半導(dǎo)體量子阱、量子點(diǎn)、量子線或半導(dǎo)體異質(zhì)結(jié)等介觀系統(tǒng)模型上研究Rashba自旋軌道耦合效應(yīng),它可以應(yīng)用在自旋三極管、自旋過濾器、以及自旋波導(dǎo)等電子器件中。1990年,Datta和Das[3]首次提出基于控制電子自旋的晶體管理論,自Datta的文章發(fā)表以來,許多學(xué)者對(duì)低維量子系統(tǒng)中的Rashba效應(yīng)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)[4,5]和理論[6,7]研究。如:Qiu等[8]實(shí)驗(yàn)研究了具有倒置能帶結(jié)構(gòu)的HgTe/HgCdTe量子阱Shubnikov De Haas震蕩中的拍頻現(xiàn)象,發(fā)現(xiàn)在量子阱中電子存在強(qiáng)烈的Rashba自旋分裂。Zhang等[9]從實(shí)驗(yàn)和理論上證明了無論是對(duì)稱還是非對(duì)稱摻雜HgTe量子阱,均不存在磁致子帶間散射,原因是HgTe量子阱中導(dǎo)帶的嚴(yán)重非拋物性導(dǎo)致子帶電子非常復(fù)雜的能帶結(jié)構(gòu)和異常的不規(guī)則Landau能級(jí)分布,從而抑制了磁致子間的散射,所以HgTe量子阱中的拍頻現(xiàn)象只能是由于Rashba自旋分裂引起的。Li等[10]采用有效質(zhì)量包絡(luò)函數(shù)理論研究了GaAs/GaAlAs量子阱中含氫施主雜質(zhì)的Rashba自旋軌道分裂。Stanley等[11]利用Kane的8帶k·p理論和包絡(luò)函數(shù)近似,導(dǎo)出了Ⅲ-V族半導(dǎo)體量子阱結(jié)構(gòu)的緊束縛態(tài)哈密頓量,精確地模擬了能帶結(jié)構(gòu)和自旋-軌道耦合,計(jì)算了最低導(dǎo)帶中的Rashba自旋分裂。Jin等[12]研究了生長(zhǎng)方向和電子密度不同的非對(duì)稱量子阱中的Rashba自旋分裂,在高度不對(duì)稱量子阱中強(qiáng)Rashba效應(yīng)為自旋電子器件提供了潛在的應(yīng)用價(jià)值。由于Rashba自旋-軌道相互作用,能級(jí)分裂成自旋向上和自旋向下態(tài)兩個(gè)分支。Xu等[13]研究了PbTe/PbSrTe半導(dǎo)體非對(duì)稱量子阱中的Rashba效應(yīng),得到Ⅳ-Ⅵ族半導(dǎo)體非對(duì)稱量子阱結(jié)構(gòu)比Ⅲ-V族半導(dǎo)體具有更大的Rashba自旋分裂能,這一特點(diǎn)使得它在自旋電子器件領(lǐng)域具有潛在的應(yīng)用價(jià)值。然而,外加磁場(chǎng)也能使能量發(fā)生分裂,由外加磁場(chǎng)導(dǎo)致的能量分裂是Zeeman分裂。因此,由Rashba自旋軌道分裂引起的能量分裂并不是一個(gè)簡(jiǎn)單的分裂,有時(shí)會(huì)摻雜Zeeman分裂,如何區(qū)分這兩種效應(yīng)在能量分裂中的貢獻(xiàn)還存在一定的爭(zhēng)議。在弱磁場(chǎng)下,Zeeman效應(yīng)的影響往往被忽略,而在強(qiáng)磁場(chǎng)中必須考慮Zeeman分裂。如:外磁場(chǎng)下,Lipparini等[14]利用哈密頓量的精確解析解研究了量子阱中的Rashba效應(yīng)、Dresselhaus效應(yīng)和Zeeman效應(yīng),并對(duì)各種效應(yīng)對(duì)朗道能級(jí)分裂的貢獻(xiàn)做了分析。

不難發(fā)現(xiàn),研究者對(duì)量子阱中電子的Rashba效應(yīng)已做了大量研究工作,但很少有人在極化子領(lǐng)域?qū)ζ渥鲞^研究。本文將研究外磁場(chǎng)下非對(duì)稱量子阱中極化子的Rashba效應(yīng)和Zeeman效應(yīng),并在強(qiáng)弱磁場(chǎng)下分別對(duì)Rashba效應(yīng)和Zeeman效應(yīng)在能量分裂中所占的主導(dǎo)地位進(jìn)行研究。

1 理論模型

由兩種材料構(gòu)成的非對(duì)稱量子阱中的電子與體縱光學(xué)聲子場(chǎng)發(fā)生相互作用,沿著Z方向施加一個(gè)矢勢(shì)為A=(-By/2,Bx/2)的磁場(chǎng)B。體系中電子-聲子相互作用的哈密頓量可表示為

式中

且β2=2eB/c,m是電子帶質(zhì)量,r是電子位置矢量,(ak)是波矢為k的體縱光學(xué)聲子的產(chǎn)生(湮滅)算符,ωLO是體縱光學(xué)聲子頻率,V和α分別代表晶體的體積和電子-聲子耦合強(qiáng)度,σ為電子的泡利矩陣算符,αR為Rashba自旋-軌道耦合常量,g為電子的朗德因子,μB為玻爾磁子。

受限勢(shì)為

式中:V0是阱深,R表示阱寬。引入幺正變換算符

式中fk和fk*為變分參量,可由能量分別對(duì)fk*和fk求變分并取極小值求得。對(duì)(1)式進(jìn)行幺正變換,變換后的哈密頓量為

選取非對(duì)稱量子阱中磁極化子基態(tài)嘗試波函數(shù)為

式中ωc=eB/(mc)定義為磁場(chǎng)回旋共振頻率,η=mg/(2m0),m0是裸電子質(zhì)量,玻爾磁子μB=e?/(2m0c)。

由變分法得到

將fk和fk*代入能量期望值的表達(dá)式,得到

2 數(shù)值計(jì)算

為了更清楚地表示Rashba效應(yīng)和Zeeman效應(yīng)對(duì)磁極化子性質(zhì)的影響,對(duì)非對(duì)稱量子阱中磁極化子的基態(tài)能量進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算。為了簡(jiǎn)單,計(jì)算過程中取極化子單位(?=ωLO=2m=1),分別討論了磁極化子基態(tài)能量與波矢、阱寬、磁場(chǎng)回旋共振頻率及阱深的關(guān)系。在強(qiáng)、弱磁場(chǎng)下,分別對(duì)Rashba效應(yīng)和Zeeman效應(yīng)在能量分裂中所占的主導(dǎo)地位進(jìn)行了對(duì)比。在所有圖中E0代表磁極化子零自旋分裂能,ER代表Rashba自旋-軌道分裂能,EZ代表Zeeman分裂能。

當(dāng)磁場(chǎng)回旋共振頻率分別取值為ωc=5和ωc=25時(shí),圖1、圖2體現(xiàn)了磁極化子基態(tài)能量E與波矢k之間的函數(shù)關(guān)系。由圖1、2可以看出,E隨k增加呈拋物線性增加,比較k2和k對(duì)(9)式的貢獻(xiàn),從兩圖曲線的走向可知k2比k對(duì)E的貢獻(xiàn)大。

圖1 當(dāng)ωc=5時(shí),磁極化子基態(tài)能量E與波矢k之間的關(guān)系Fig.1 Relation of magnetopoloran ground state energy E with the wave vector k for fixed ωc=5

圖2 當(dāng)ωc=25時(shí),磁極化子基態(tài)能量E與波矢k之間的關(guān)系曲線Fig.2 Relation of magnetopoloran ground state energy E with the wave vector k for fixed ωc=25

當(dāng)ωc=5和ωc=25時(shí),圖3、4展示了E隨阱寬R的變化。由圖3、4可以看出,E是R的減函數(shù),當(dāng)R取值較小時(shí),隨著R的減小,E增加較顯著。由于受限勢(shì)限制電子的運(yùn)動(dòng),電子的運(yùn)動(dòng)范圍隨著受限勢(shì)的增大而減小,然而電子熱運(yùn)動(dòng)能量和電子-聲子相互作用能隨著粒子運(yùn)動(dòng)范圍的減小而增加。因此,E會(huì)隨R的減小而增大。此現(xiàn)象進(jìn)一步說明量子限制效應(yīng)依賴于阱寬,也就是說阱寬越小量子限制效應(yīng)越顯著。

圖3 當(dāng)ωc=5時(shí),磁極化子基態(tài)能量E與阱寬R之間的關(guān)系Fig.3 Relation of magnetopoloran ground state energy E with the well width R for fixed ωc=5

圖5展示了E隨ωc的變化,可以看出E隨ωc的增大呈拋物線性增加。因?yàn)殡娮硬ê瘮?shù)的極大值位于量子阱中,而波函數(shù)有很大的重疊,磁場(chǎng)越強(qiáng)波函數(shù)變得越局域,電子波函數(shù)的重疊積分增加,所以會(huì)有上述結(jié)論。

圖5 磁極化子基態(tài)能量E與磁場(chǎng)回旋共振頻率ωc之間的關(guān)系Fig.5 Relation of magnetopoloran ground state energy E with the magnetic field resonance cyclotron frequency ωc

當(dāng)ωc=5和ωc=25時(shí),圖6、7分別描繪了E與阱深V0之間的關(guān)系曲線。由圖6、7可見,E是V0的減函數(shù),這是由(9)式中的第三項(xiàng)決定的,V0對(duì)E的貢獻(xiàn)為負(fù)。

由圖1～7可以看出,磁極化子基態(tài)能量分裂成幾支。由于電子既具有自旋磁矩又具有軌道磁矩,磁矩的方向和空間取向都是量子化的,因此在磁場(chǎng)下能級(jí)發(fā)生分裂,由磁場(chǎng)引起的能級(jí)分裂是Zeeman分裂。半導(dǎo)體中電子的自旋性質(zhì)不僅與其自身的磁矩有關(guān),還與其軌道運(yùn)動(dòng)有關(guān)。如果晶體的反演對(duì)稱性被破壞,在不受外加磁場(chǎng)影響的情況下能量也會(huì)發(fā)生分裂。在窄禁帶半導(dǎo)體中,Rashba分裂主要是由結(jié)構(gòu)反演不對(duì)稱引起的,自旋-軌道耦合引起的Rashba分裂更明顯。由圖1、圖3和圖6可以看出,當(dāng)磁場(chǎng)較弱時(shí),在能量分裂中Rashba效應(yīng)占主導(dǎo)位置。然而,在強(qiáng)磁場(chǎng)下,由圖2、圖4和圖7可知Zeeman效應(yīng)在能量分裂中占主導(dǎo)位置。在圖1和圖2中,Rashba自旋-軌道分裂能距隨著波矢的增加而增大,而Zeeman分裂能距隨著波矢的增加基本保持不變。從表達(dá)式和知,Rashba自旋-軌道分裂不僅與波矢有關(guān),而且還與磁場(chǎng)回旋共振頻率有關(guān),而Zeeman分裂只與磁場(chǎng)回旋共振頻率有關(guān)。圖3和圖4體現(xiàn)出隨著阱寬的增大能距變大,當(dāng)阱寬達(dá)到某個(gè)值時(shí),能距隨著阱寬的增大變化不再明顯,說明能量分裂達(dá)到了飽和態(tài)。

圖4 當(dāng)ωc=25時(shí),磁極化子基態(tài)能量E與阱寬R之間的關(guān)系Fig.4 Relation of magnetopoloran ground state energy E with the well width R for fixed ωc=25

圖6 當(dāng)ωc=5時(shí),磁極化子基態(tài)能量E與阱深V0之間的關(guān)系Fig.6 Relation of magnetopoloran ground state energy E with the well depth V0 for fixed ωc=5

由圖5可見,當(dāng)ωc=0時(shí),Zeeman分裂是零,然而在零磁場(chǎng)下Rashba分裂依然存在,這是因?yàn)樽孕?軌道耦合導(dǎo)致電子的零場(chǎng)分裂。當(dāng)磁場(chǎng)回旋共振頻率取較小值時(shí),Rashba自旋-軌道分裂比Zeeman分裂明顯,Rashba效應(yīng)在分裂中占主導(dǎo)位置,隨著磁場(chǎng)回旋共振頻率的增大,Zeeman分裂能距增大較明顯,而Rashba自旋軌道分裂能距基本保持不變。當(dāng)Zeeman分裂能等于零場(chǎng)自旋分裂能時(shí),自旋分裂能并不等于零場(chǎng)自旋分裂能,而是整個(gè)磁場(chǎng)中自旋分裂能的平均值。在強(qiáng)磁場(chǎng)作用下,電子自旋與軌道運(yùn)動(dòng)之間存在相互作用能,與外加磁場(chǎng)產(chǎn)生的附加能相比,自旋-軌道相互作用能可以忽略,Zeeman效應(yīng)占主導(dǎo)地位。從圖6和圖7可以看出,隨著阱深的變化Rashba自旋軌道分裂能距和Zeeman分裂能距都保持不變,從表達(dá)式和可知Rashba自旋軌道分裂和Zeeman分裂都與阱深無關(guān),所以阱深對(duì)能量分裂沒有影響。由(9)式的第四項(xiàng)可知聲子對(duì)磁極化子能量的貢獻(xiàn)為負(fù),聲子的存在降低了粒子的總能量,所以極化子態(tài)比裸電子態(tài)更穩(wěn)定,極化子能量分裂也更穩(wěn)定。

圖7 當(dāng)ωc=25時(shí),磁極化子基態(tài)能量E與阱深V0之間的關(guān)系Fig.7 Relation of magnetopoloran ground state energy E with the well depth V0 for fixed ωc=25

3 結(jié)論

采用Pekar變分法[15]研究了非對(duì)稱量子阱中磁極化子的性質(zhì),理論推導(dǎo)得到磁極化子基態(tài)能量的表達(dá)式,深入討論了磁極化子基態(tài)能量與波矢、阱寬、磁場(chǎng)回旋共振頻率、阱深之間的關(guān)系。通過研究得到以下結(jié)論:零場(chǎng)下Zeeman分裂是零,而Rashba自旋-軌道耦合作用導(dǎo)致極化子發(fā)生零場(chǎng)自旋分裂;在弱磁場(chǎng)下,Rashba效應(yīng)在能量分裂中占據(jù)主導(dǎo)地位;在強(qiáng)磁場(chǎng)下,Zeeman效應(yīng)在分裂中起主導(dǎo)作用。聲子對(duì)極化子能量的貢獻(xiàn)為負(fù),聲子的存在降低了粒子的總能量,所以極化子態(tài)比裸電子態(tài)更穩(wěn)定,極化子能量分裂也更穩(wěn)定。