陳麗敏，王 瑾，盧宗凱

（1. 沈陽師范大學；2. 遼寧省實驗學校）

一、問題提出

加權平均數(shù)反映了一組數(shù)據(jù)中各個數(shù)據(jù)的重要程度對整體集中趨勢的影響. 加權平均數(shù)的大小不僅與一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)有關，還受到數(shù)據(jù)的“權”的大小影響.“權”有兩種表現(xiàn)形式：一種是絕對數(shù)（頻數(shù)）；一種是相對數(shù)（頻率）. 學生在學習加權平均數(shù)的時候往往會存在諸多認知困難.

例如，在教學中引出如下教學情境. 一家公司打算招聘一名英文翻譯，對甲、乙兩名應試者進行了聽、說、讀、寫方面的英語水平測試，他們的各項成績（百分制）如表1所示.

表1

（1）如果公司想招聘一名綜合能力較強的翻譯，計算兩名應試者的平均成績（百分制），從他們的平均成績來看，應該錄取誰？

（2）如果這家公司想招聘一名筆譯能力較強的翻譯，聽、說、讀、寫成績按照2∶1∶3∶4確定，計算兩名應試者的平均成績（百分制），從他們的平均成績來看，應該錄取誰？

一些學生列出了錯誤的加權平均數(shù)的算式. 例如，甲的成績：（85×2+78×1+85×3+73×4）÷4；乙的成績：（73×2+80×1+82×3+83×4）÷4.

同時，學生的課堂回答情況也表明，雖然有些學生能夠正確列式，計算出加權平均數(shù)，但也只是生搬硬套公式，對“權”的含義理解不透徹，不清楚“權”的意義. 產生這種現(xiàn)象的原因，一方面，來源于學生受到算術平均數(shù)的影響；另一方面，來源于該問題情境脫離了學生的實際生活，教師沒有深入剖析該問題情境的教學意圖，沒有解釋引入“權”的必要性和“權”的意義. 那么，采用哪種表現(xiàn)形式引入“權”更合適？如何引導學生深入理解“權”的含義？如何能夠水到渠成地引入加權平均數(shù)的公式？下面通過一節(jié)“加權平均數(shù)”教學課例進行深入剖析.

二、“加權平均數(shù)”的教學課例評析

1.“權”的引入

問題情境1：表2是3名學生的平時、期中、期末三項數(shù)學成績. 如果用三項成績的算術平均數(shù)來計算學生學期總評成績，你認為合理嗎？說說你的想法.不合理的話，按你的想法計算出每名學生的平均成績，并排出名次.

表2

學生在獨立思考的基礎上，小組討論匯報，一致認為用三項成績的算術平均數(shù)來計算本學期數(shù)學總評成績是不合理的，因為三項成績的重要程度不同. 教師順勢提出讓學生尋找方法來區(qū)分三項成績的不同重要程度. 學生并沒有提出用教材中的比例來刻畫三項成績，而是提出用不同的百分數(shù)（如平時為20%，期中為30%，期末為50%）來刻畫三項成績的重要程度，教師采納了學生的建議，并讓學生計算總評成績. 學生計算之后匯報結果，學生C 成為第一名. 這個時候教師通過學生C 從最后一名躍升為第一名的原因進行深入挖掘，引導學生體會“權”的意義. 最后，教師明確，用三個百分數(shù)來表示三項成績的不同重要程度，這三個百分數(shù)就稱為“權”.

【評析】對于“權”的兩種表現(xiàn)形式——絕對數(shù)（頻數(shù)）和相對數(shù)（頻率），教師根據(jù)學生已有的知識和生活經(jīng)驗讓其感受到算術平均數(shù)的局限性，提出“權”的表現(xiàn)形式，并通過計算結果的變化來體會“權”的意義. 可見，這種處理方式符合建構主義理論，教學不再是傳遞客觀而確定的知識，而是要為學生創(chuàng)設理想的學習情境，喚醒學生原有的認知經(jīng)驗，在學生已有的認知經(jīng)驗的基礎上開展教學.

2.“權”的形成

教學過程描述：在學生知道百分數(shù)可以表示三項成績的不同重要程度之后，教師進一步引導學生思考，三項成績的不同重要程度的表示除了可以使用百分數(shù)，還可以使用哪些數(shù). 學生提出了分數(shù)，教師讓學生簡要描述如何計算總評成績，卻沒有讓學生計算得數(shù)，以便節(jié)約時間. 之后，教師進一步引導學生思考，除了分數(shù)和百分數(shù)，還有哪種方式能用來表示數(shù)據(jù)的不同的重要程度. 這時，學生提出還可以用比例來表示. 教師讓學生給出具體的比例系數(shù)，根據(jù)學生給出的比例系數(shù)，教師強調比例的三個數(shù)字之和不一定必須等于10，而通常教材設置比例系數(shù)之和為10是為了方便學生計算. 同時，比例的三個數(shù)字之和一般大于3，如果和為3的話，三項成績的重要程度就相同了，也就是算術平均數(shù). 之后教師讓學生根據(jù)三項成績按1∶3∶4的比例來計算問題情境1中每名學生的學期總評.

學生列式計算如下.

學生A的學期總評：

根據(jù)學生列式，教師總結得出1∶3∶4 中的1，3，4 同樣能表示三項成績的不同重要程度，也稱為“權”，并引導學生歸納出加權平均數(shù)的計算公式，強調百分數(shù)和分數(shù)形式的“權”之和為1，探究加權平均數(shù)和算術平均數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系.

【評析】由于前面增加了用百分數(shù)、分數(shù)表示“權”的鋪墊，因此，學生在“權”為比例形式的這個問題情境中會比較容易避免上文提到的認知困難，得出正確的計算方法. 這里，教師提出的比例1∶3∶4的設定并不是常見的比之和為10，教師借此機會強調比例形式的“權”之和不一定必須為10. 根據(jù)“權”的三種不同表現(xiàn)形式，教師引導學生抽象、概括“權”的含義，并根據(jù)算式歸納出加權平均數(shù)的計算公式. 給出加權平均數(shù)的公式之后，教師強調了百分數(shù)和分數(shù)形式的“權”之和為1. 可見，該教師在教學過程中，激發(fā)了學生抽象、概括、分析、綜合、鑒別、批判等高級思維過程，并在學生進行意義建構的過程中，給他們提供必要的幫助和支持，促使他們更好地理解“權”的意義.

3.“權”的深化

問題情境2：學校想了解三年五班學生的期末數(shù)學成績，具體成績?yōu)椋?5 分4 人，90 分6人，87分10人，85分10人，80分5人，76分8人. 求該班學生在此次考試中的平均數(shù)學成績.

教師讓學生先自行計算平均成績，學生列式如下.

平均成績：

教師讓學生獨立列出算式，并思考、分析這個算式和上面的加權平均數(shù)公式的聯(lián)系. 學生發(fā)現(xiàn)平均成績的計算公式和加權平均數(shù)的計算公式完全相同. 之后，教師引導學生找到公式中的數(shù)據(jù)和頻次分別是哪些數(shù)，發(fā)現(xiàn)頻次大的數(shù)據(jù)對算術平均數(shù)的影響大一些，頻次小的數(shù)據(jù)對算術平均數(shù)的影響就小一些. 也就是說，每個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的不同次數(shù)表明這個數(shù)據(jù)對平均數(shù)的影響的重要程度不同，和情境1 中各種形式的“權”的含義一樣. 因此，數(shù)據(jù)95，90，87，85，80，76重復出現(xiàn)的次數(shù)4，6，10，10，5，8也是權.

【評析】由于前面問題情境中用百分數(shù)、分數(shù)以及比例形式的“權”來描述不同數(shù)據(jù)的重要性，比較明顯. 但是該情境中的“權”是由數(shù)據(jù)本身出現(xiàn)的頻次多少引入，其表示數(shù)據(jù)的重要性并不是特別明顯. 因此，教師通過講解揭示頻次形式的“權”也能表示不同數(shù)據(jù)的重要性，與前面的各種形式的“權”的含義建立聯(lián)系，拓展“權”的內涵.

4.“加權平均數(shù)”的應用

在學生初步理解“權”的定義與意義的基礎上，教師展示問題情境3：某公司欲招聘職員一名，對應聘者進行素質測試，按創(chuàng)新設計、工作經(jīng)驗、語言形象給應聘者A和應聘者B兩人打分，如表3所示. 如果兩人中只錄取一人，試設計一個錄取方案，并按照你的方案說明勝出者適用于什么職位？

表3

教師出示問題情境之后，先讓學生獨立思考，然后小組交流. 學生集思廣益，認為首先需要了解公司的招聘人員需要完成的任務，根據(jù)不同的任務，對“創(chuàng)新設計”“工作經(jīng)驗”“語言形象”分別賦予大小不同的“權”，“權”的表現(xiàn)形式可以多樣，之后核算分數(shù). 例如，有的學生說：如果招聘“公關代表”，那么“工作經(jīng)驗”和“語言形象”賦的“權”要大些，“創(chuàng)新設計”的“權”要小一些，如將語言形象∶工作經(jīng)驗∶創(chuàng)新設計的比設為5∶3∶1，比較兩者的加權平均數(shù)之后，錄取應聘者A；有的學生說：如果招聘一名設計總監(jiān)，那么“創(chuàng)新設計”的“權”要比較大，“工作經(jīng)驗”其次，“語言形象”最小，具體的賦值可為“創(chuàng)新設計”占70%，“工作經(jīng)驗”占20%，“語言形象”占10%，比較兩者的加權平均數(shù)之后，錄取應聘者B.

【評析】在學生初步掌握“權”的概念和加權平均數(shù)的計算公式后，教師在此處設計一道招聘的開放性習題，通過讓學生根據(jù)不同含義的數(shù)據(jù)賦予不同大小和表現(xiàn)形式的“權”的活動，檢驗學生對于“權”的內涵理解和加權平均數(shù)計算公式的應用情況. 在課堂上，師生互動熱烈，學生能夠積極地參與到交流分享的活動中，描述自己設計的錄取方案，闡述自己的理由，教學效果良好.

三、啟示

從加權平均數(shù)的教學課例中，我們可以得到如下教學啟示.

第一，統(tǒng)計概念的教學要基于學生已有的知識經(jīng)驗，促進知識經(jīng)驗的“生長”. 建構主義教學觀強調，教學不是傳遞客觀而確定的現(xiàn)成知識，而是要基于學生已有的知識經(jīng)驗，促進知識經(jīng)驗的“生長”，促進學生的知識建構活動，以促成知識經(jīng)驗的重新組織、轉換和改造. 因此，統(tǒng)計概念的教學應從學生熟悉的情境出發(fā)，基于學生的經(jīng)驗引入，并明確新知識引入的必要性. 例如，在本節(jié)加權平均數(shù)的教學中，教師從學生熟悉的計算學期總評成績的情境入手，讓學生感受到算術平均數(shù)的局限性，通過給不同的數(shù)據(jù)賦予不同的百分數(shù)，在算術平均數(shù)的基礎上建構了加權平均數(shù).

第二，統(tǒng)計概念的形成要通過豐富實例抽象出概念的本質屬性. 在統(tǒng)計概念的教學中，教師要呈現(xiàn)給學生豐富的案例，以供學生開展抽象、概括的數(shù)學學習活動. 如果實例過少，學生對該概念的感性認識不充分，就難以對這個概念所包含的各種要素進行全面鑒別，對所要學習的概念的經(jīng)驗也難以建立起來聯(lián)系，進而影響學生深入地理解概念. 在本節(jié)加權平均數(shù)概念的教學中，教師通過呈現(xiàn)“權”的不同表現(xiàn)形式，逐步深化學生對于“權”的意義和加權平均數(shù)計算公式的理解，而不是通過一種表現(xiàn)形式就迫不及待地給出加權平均數(shù)的計算公式，這種教學處理既符合數(shù)學概念教學的基本要求，也有利于學生抽象素養(yǎng)的形成.