宋璐佳

（北京師范大學三帆中學朝陽學校）

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1. 內(nèi)容

本節(jié)課選自人教版《義務教育教科書·數(shù)學》九年級上冊“24.1.4 圓周角”，主要內(nèi)容為圓周角的概念、圓周角定理及其推論.

2. 內(nèi)容解析

圓周角是一類非常重要的角. 圓周角定理刻畫了圓中同一條弧所對的圓周角和圓心角的數(shù)量關(guān)系. 它是解決與圓有關(guān)的角的計算，證明弦、角、弧相等的重要且便捷的方法. 另外，圓周角定理的證明采用了完全歸納法，這與以往的證明定理的方法不同. 證明前需要先對其分類，然后分情況證明，在分情況證明時先證明特殊情況，再把一般情況化為特殊情況從而完成證明.

本節(jié)課的研究對象——圓周角，作為與圓相關(guān)的一種元素，是繼圓心角、弧、弦之后圓的性質(zhì)探究的延續(xù). 同時，圓周角是一種幾何圖形，也是幾何學習的延續(xù). 因此，本節(jié)課除了一些知識性的目標，還可以關(guān)注圓周角與圓中其他元素的關(guān)系、圓周角與其他幾何圖形一致的研究套路.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學重點為：圓周角定理的發(fā)現(xiàn)與證明.

二、目標和目標解析

1. 目標

（1）了解圓周角的概念，會證明圓周角定理并提出推論.

（2）通過對圓周角的概念的學習，明確圓周角和圓心角的關(guān)系；在探索圓周角的性質(zhì)的過程中，發(fā)現(xiàn)并證明圓周角定理、提出推論，體會分類討論、化歸的思想方法.

2. 目標解析

達成目標（1）的標志是：能從與圓相關(guān)的角的圖形中識別出圓周角，會畫一條弧所對的圓周角；知道一條弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半；會把圓周角分成三類，并證明每一類圖形中的一條弧所對的圓周角都等于這條弧所對的圓心角的一半；能根據(jù)圓周角定理提出“同弧或等弧所對的圓周角相等，半圓或直徑所對的圓周角是直角”.

達成目標（2）的標志是：能結(jié)合圖形，通過分析圓心角和圓周角的概念，認識到圓心角和圓周角都是與圓相關(guān)的角，區(qū)別是它們的頂點的位置不同，圓心角的頂點在圓心，圓周角的頂點在圓上；會分析圓周角的圖形結(jié)構(gòu)，知道圓周角的圖形中的相關(guān)元素（圓心角、圓周角、同一條弧）；會分析圓周角、圓心角、同一條弧之間的關(guān)系，提出“同一條弧所對的圓周角和圓心角有什么關(guān)系？”“同一條弧所對的無數(shù)個圓周角有什么關(guān)系？”能根據(jù)三個不同位置的圓周角分類證明“一條弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半”.

三、教學問題診斷分析

“圓周角”這一節(jié)課的核心內(nèi)容是圓周角定理. 引導學生發(fā)現(xiàn)圓周角定理，并證明圓周角定理是比較關(guān)鍵的. 圓周角是一種幾何圖形，圓周角定理是圓周角的性質(zhì)，從一般觀念出發(fā)，也就是關(guān)注幾何圖形的研究套路：先研究幾何圖形的概念，再探究幾何圖形的性質(zhì). 認識幾何圖形的概念包含給圖形下定義、用不同的形式表示圖形、對圖形進行分類等. 圓周角定理在探究圓周角的性質(zhì)中會自然而然地被發(fā)現(xiàn)，而證明圓周角定理對于學生來說存在困難.

圓周角定理的證明需要分情況討論，而學生之前沒有接觸過分情況討論，體會不到分情況討論的必要性. 另外，分情況討論要用到化歸思想. 先證明特殊位置的情況，再把另外兩種一般情況化歸到特殊情況從而完成證明.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學難點是：發(fā)現(xiàn)圓周角定理，并分情況證明圓周角定理.

在本節(jié)課中，突破這兩個難點要從以下方面著手.

（1）從一般觀念出發(fā)，調(diào)動學生已有的幾何學習經(jīng)驗研究圓周角. 在研究圓周角的性質(zhì)時，讓學生關(guān)注到圓周角的圖形結(jié)構(gòu)自然提出問題，通過觀察、度量、猜想、證明得到圓周角定理.

（2）在學習圓周角概念時進行分類，而不是在證明圓周角定理時為了分類而分類. 后者的邏輯是學生更難理解的，前者符合數(shù)學上認識一個新概念時的邏輯. 給新概念下定義，用不同的語言（文字、圖形、符號）去表示新概念，再對其分類. 對新概念進行分類，有助于明確新概念，甚至分類會對之后的研究思路明晰簡化. 如果在學習圓周角概念時分類，那么在之后研究它的性質(zhì)時，會自然而然地研究它每一類的性質(zhì)，這樣分類研究、分類證明的必要性便更容易體會. 此種處理方法既分散了難點，又符合認識邏輯.

四、教學過程設(shè)計

1. 概念的產(chǎn)生

（1）定義.

活動1：在本章中，我們已經(jīng)學習了一種與圓有關(guān)的角——圓心角，如圖1所示的∠AOB，它的頂點在圓心，兩邊與圓相交. 現(xiàn)在我們改變這個圓心角的頂點的位置，能產(chǎn)生哪些新的角？試著畫一畫.

圖1

師生活動：學生從圓心角出發(fā)，改變圓心角的頂點，嘗試著畫出不同位置的角. 教師收集學生的作品，展示在黑板上.

學生畫出如圖2所示的三種圖形.

圖2

【設(shè)計意圖】通過這個畫圖活動，既可以讓學生主動地發(fā)現(xiàn)本節(jié)課的研究對象——圓周角，又構(gòu)建了與圓有關(guān)的角的知識體系.

問題1：你能對畫出的這些新的角進行分類嗎？分類的標準是什么？

師生活動：學生通過觀察，發(fā)現(xiàn)這些角可以按頂點與圓的位置關(guān)系分成角的頂點在圓內(nèi)、圓上和圓外三類.

追問1：這三類角中位置最特殊的是哪一種？

師生活動：學生發(fā)現(xiàn)頂點在圓上的角的位置最特殊. 接著，教師引出研究對象——圓周角及它的定義：像這樣，頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.

【設(shè)計意圖】通過對由圓心角產(chǎn)生的新的角進行分類，明確圓周角與圓心角都是與圓有關(guān)的角，且都是與圓有關(guān)的位置特殊的角，使學生意識到研究圓周角的必要性和價值.

練習：判斷圖3中的各角是不是圓周角，并說明理由.

圖3

【設(shè)計意圖】這道練習題中同時呈現(xiàn)了圓周角的正例和反例，有利于學生對圓周角概念的本質(zhì)屬性與非本質(zhì)屬性進行比較，鞏固對圓周角概念的理解.

（2）表示.

活動2：我們知道圓周角不單是頂點在圓上，還要求兩邊都與圓相交. 如圖4，在⊙O的圓周上給定兩點A，B，你能畫出一個劣弧AB所對的圓周角嗎？你能畫出第二個圓周角嗎？更多的呢？你有什么發(fā)現(xiàn)？

圖4

師生活動：學生通過畫圖會發(fā)現(xiàn)一條弧所對的圓周角有無數(shù)個，如圖5 所示. 教師用多媒體演示：同圓中，一條弧所對的圓心角只有一個，而它所對的圓周角有無數(shù)個，并小結(jié)“這無數(shù)個圓周角所對的弧是同一條，這無數(shù)個圓周角和唯一的圓心角所對的弧也是唯一的”.

圖5

【設(shè)計意圖】通過活動2，學生關(guān)注到圓中的元素（圓周角、圓心角、?。┑膫€數(shù)，通過初步分析，感受了圓周角這個圖形的本質(zhì)結(jié)構(gòu)，意識到圓周角、圓心角、弧之間的關(guān)聯(lián)性.

（3）分類.

活動3：怎樣對一條弧所對的無數(shù)個圓周角進行分類？（小組合作討論.）

師生活動：學生通過分組交流、討論，找到如下的分類標準. 如圖6，按與圓心的關(guān)系分類，把同一條弧所對的無數(shù)個圓周角分成三類：①圓心在圓周角內(nèi)部；②圓心在圓周角的邊上；③圓心在圓周角的外部.

圖6

【設(shè)計意圖】通過活動2，學生發(fā)現(xiàn)了一條弧所對的圓周角有無數(shù)個，在活動3 中對圓周角進行分類，邏輯嚴明，結(jié)構(gòu)緊湊. 另外，對研究對象進行分類，有助于學生明確研究對象和研究思路，也可以簡化研究過程. 當然，也為后面發(fā)現(xiàn)和證明性質(zhì)做鋪墊.

2. 性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)

問題2：已經(jīng)明確圓周角的概念，接下來應該研究什么？怎樣研究？

師生活動：學生根據(jù)以往積累的研究幾何圖形的經(jīng)驗，很容易想到在獲得圖形的概念之后需要對圖形的性質(zhì)進行研究，但是部分學生很難想到研究方法.

追問1：我們知道，研究圖形的性質(zhì)本質(zhì)上是研究組成圖形的元素之間的關(guān)系，那么試觀察圓周角，圖中有哪些元素？

追問2：我們可以研究哪些問題？

追問3：這里與圓周角相關(guān)的弧有幾條？有幾個圓心角？有幾個圓周角？弧是唯一的，它所對的圓周角卻有無數(shù)個，你可以提出什么問題？同弧所對的圓周角有無數(shù)個，而所對的圓心角是唯一的，對此你又可以提出什么問題？

學生提出問題：（1）同弧所對的無數(shù)個圓周角之間有什么關(guān)系？（2）同弧所對的無數(shù)個圓周角與唯一的圓心角之間又有什么關(guān)系？

追問4：具體的關(guān)系是什么？

師生活動：學生通過觀察、度量特殊情況的圖形，得到如下猜想.

猜想1：同弧所對的圓周角相等.

猜想2：同弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.

【設(shè)計意圖】通過以上問題串引導學生關(guān)注圓周角的圖形結(jié)構(gòu)，從組成圖形的元素入手，探究圓周角的性質(zhì)即探究圓周角中的元素的關(guān)系. 明晰圖形結(jié)構(gòu)后，學生能夠自主發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，為后面自然而然地發(fā)現(xiàn)圓周角定理做準備. 另外，對于九年級學生來說，已經(jīng)學習過了很多直線型幾何圖形，積累了豐富的研究幾何圖形的性質(zhì)的經(jīng)驗，這里教師通過問題串調(diào)動學生已有的研究幾何圖形的經(jīng)驗，并引導學生再次體會研究幾何圖形的一般套路，構(gòu)建方法體系.

3. 定理的證明

問題3：你能證明得到的猜想嗎？你想怎樣證明？

學生會發(fā)現(xiàn)兩個猜想的關(guān)系：第二個命題包含著第一個，從而確定只需要證明第二個命題即可.

問題4：如何證明一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半？

師生活動：學生意識到圓周角與圓心角有如圖6所示的三種位置關(guān)系，需要分別證明.

追問1：要根據(jù)圓周角的三種分類分情況證明，那先證明哪一類呢？為什么？

師生活動：學生通過觀察圖6 發(fā)現(xiàn)先證圓心在圓周角邊上的情況，因為這種情況最特殊，且最易證明.

圖7

追問2：已經(jīng)證出了特殊情況，那么另外兩種一般情況要怎么證明？

師生活動：學生發(fā)現(xiàn)只需要把一般情況轉(zhuǎn)化為特殊情況即可完成證明.

追問3：如何把一般情況轉(zhuǎn)化為特殊情況呢？

師生活動：學生通過分析發(fā)現(xiàn)，特殊情況是圓周角的一邊過圓心，可以把圓周角的頂點和圓心連接起來，把一般情況的圓周角轉(zhuǎn)化為兩個頂點過圓心的特殊的圓周角的和或差，從而使猜想得證.

情況2：圓心在圓周角的內(nèi)部.

證明思路：如圖8，連接CO并延長，交⊙O于點D.這樣就把圓周角∠ACB轉(zhuǎn)化為圓周角∠ACD與∠BCD的和，而這兩個圓周角都是其中一邊經(jīng)過圓心的特殊情況的圓周角.

圖8

情況3：圓心在圓周角的外部.

證明思路：如圖9，連接CO并延長，交⊙O于點E.這樣就把圓周角∠ACB轉(zhuǎn)化為圓周角∠ECA與∠ECB的差，而這兩個圓周角都是其中一邊經(jīng)過圓心的特殊情況的圓周角.

圖9

【設(shè)計意圖】通過問題4和一系列的追問讓學生發(fā)現(xiàn)分情況證明的必要性及證明思路，積累分情況證明的經(jīng)驗.

活動4：現(xiàn)在已經(jīng)完成了三種情況的圓周角性質(zhì)的分類證明，你能歸納一下，證出圓周角的性質(zhì)嗎？根據(jù)圖形，你可以用符號表示嗎？

師生共同歸納出圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.

符號語言：

圖10

【設(shè)計意圖】師生共同歸納出圓周角定理，并從不同的角度（文字、圖形、符號）表示得到的定理，加深學生對圓周角定理的理解.

4. 推論的提出

問題5：一個定理的產(chǎn)生，往往會帶來一些新的結(jié)論，也就是推論. 那么由圓周角定理能得出什么推論呢？如何得出？

師生活動：得到推論的最重要的方法是特殊化，教師讓學生按照這種思路，在課下嘗試著得到圓周角定理的推論并證明.

【設(shè)計意圖】讓學生積累得到推論的方法，并在課下檢驗學生是否會學以致用，便于之后能解決相關(guān)的問題.

5. 課堂小結(jié)

（1）本節(jié)課我們主要學習了哪些內(nèi)容？

（2）我們是如何研究圓周角的？是怎樣發(fā)現(xiàn)圓周角的性質(zhì)的？怎么想到證明圓周角定理的方法的？又是如何得到推論的呢？

（3）你能結(jié)合具體的知識談談本節(jié)課的學習蘊含的數(shù)學思想方法嗎？

【設(shè)計意圖】引導學生分別從知識、過程和方法的角度梳理本節(jié)課學習的內(nèi)容，尤其是在過程和方法上是以知識為載體，便于把學生從知識、過程和方法上的收獲落實，以達到在今后的學習中將知識遷移的目的.

五、教學反思

筆者在進行教學設(shè)計時主要考慮本節(jié)課與前后知識的聯(lián)系、整體知識架構(gòu)、在“圖形與幾何”內(nèi)容中承載的一般研究思路與方法、怎樣突破分情況證明圓周角性質(zhì)等問題. 基于以上思考，教學設(shè)計有以下特點.

1. 以圓周角為載體，引導學生關(guān)注幾何圖形的研究套路，培養(yǎng)學生的一般觀念

對于之前的直線型圖形的學習，學生對相關(guān)知識結(jié)構(gòu)理解得較為清楚，較容易體會到幾何圖形的研究思路與方法. 而在學習圓周角或本章其他內(nèi)容時，學生感覺相關(guān)概念和定理繁雜、知識難成體系、已有的研究經(jīng)驗和方法難以融入本章的學習.

本節(jié)課中，在學習完圓周角的概念后，筆者提出了問題2，意在調(diào)動學生研究幾何圖形的已有經(jīng)驗；“怎樣研究？”直指研究幾何圖形性質(zhì)的方法. 通過這樣的問題，既引導學生關(guān)注研究幾何圖形的套路、重視研究圖形性質(zhì)的方法，又讓學生切實知道如何研究幾何圖形及其性質(zhì). 通過接下來的追問1，引導學生明確研究幾何圖形的性質(zhì)就是研究組成圖形的元素之間的關(guān)系，那么只要分析出組成圖形的元素，研究這些元素之間的關(guān)系便可以得到圖形的性質(zhì). 從課堂教學來看，當教師提出這個問題后，使得不同層次的學生都可以深入思考，調(diào)動了學生以往學習幾何圖形的經(jīng)驗，讓學生切實關(guān)注到研究幾何圖形的一般思路和方法，從而可以把以往學習的幾何圖形的研究思路和方法與圓周角的研究思路和方法融會貫通，形成整體研究幾何圖形的套路.

2. 以學生為中心，引導學生自主發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，提高學生主動思考、主動學習的能力

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出：學生的學習應是一個主動的過程，認真聽講、獨立思考、動手實踐、自主探索、合作交流等是學習數(shù)學的重要方式. 教學活動應注重啟發(fā)式，激發(fā)學生的學習興趣，引發(fā)學生積極思考，鼓勵學生質(zhì)疑問難，引導學生在真實情境中發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，利用觀察、猜測、實驗、計算、推理、驗證、數(shù)據(jù)分析、直觀想象等方法分析問題和解決問題；促進學生理解和掌握數(shù)學的基礎(chǔ)知識和基本技能，體會和運用數(shù)學的思想與方法，獲得數(shù)學的基本活動經(jīng)驗；培養(yǎng)學生良好的學習習慣，形成積極的情感、態(tài)度和價值觀，逐步形成核心素養(yǎng).

學生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新的基礎(chǔ). 因此，培養(yǎng)學生自主發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力是每一位數(shù)學教師的責任. 本節(jié)課中，問題2 后面的一系列追問旨在引導學生關(guān)注圓周角的圖形結(jié)構(gòu)，從組成圖形的元素入手，分析圖形中元素之間的關(guān)系. 當學生明晰圖形中元素的關(guān)系后，根據(jù)已有的數(shù)學學習經(jīng)驗，很自然地能夠發(fā)現(xiàn)問題、提出問題. 課堂中，當教師追問后，學生發(fā)現(xiàn)了圖形結(jié)構(gòu)，很順暢地主動提出了問題，之后解決問題，整個過程一氣呵成.

3. 從數(shù)學學科的邏輯入手，突破教學難點

本節(jié)課的教學難點是圓周角定理的證明需要分情況討論. 到底該怎樣突破分情況證明這個難點呢？怎樣讓學生認識到對于圓周角分類的必要性呢？筆者從數(shù)學的內(nèi)部邏輯上重新思考了這個問題. 一般來說，在學習一個新概念時，先下定義明確其概念，用不同形式去表示它以增進對新概念的認識，再對其進行分類. 一方面，分類可以讓學生更明確、深刻地認識研究對象；另一方面，分類對接下來的研究思路和方法也有一定的借鑒作用. 基于以上思考，筆者想到在學習圓周角概念時就要對其進行分類，那么學生在接下來研究如何證明圓周角的性質(zhì)時，會自然地想到研究每一類圓周角的性質(zhì). 細思其中的道理，不正是數(shù)學學科的研究邏輯嗎？