王振家，丁文瓊

（紅河學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南蒙自 661199）

近年來，利用適當(dāng)?shù)姆椒▽で蠓蔷€性偏微分方程精確解的研究越來越多，這樣的趨勢有助于人們對復(fù)雜的物理現(xiàn)象、自然科學(xué)和工程模型原理的理解和研究.使得非線性偏微分方程的求解問題成為非線性鄰域的熱門課題.經(jīng)過眾多學(xué)者多年來的研究形成不少行之有效的方法，如齊次平衡法[1]、雙曲線函數(shù)法[2]、展開法[3]、首次積分法[4].

分?jǐn)?shù)階時(shí)空方程Drinfel'd-Sokolov-Wilson(DSW)是一個(gè)數(shù)學(xué)物理方程，該類方程的精確解對于其所描述的自然現(xiàn)象的理解和認(rèn)識起著推動作用.分?jǐn)?shù)階時(shí)空方程組DSW：

目前還沒有一種積分方法可以解決所有類型的非線性偏微分方程，即使一些方法可以求出方程的解，也不是全部的解.這種現(xiàn)狀表明了對于分?jǐn)?shù)階非線性偏微分方程精確解的研究仍是重中之重.

1.定義與性質(zhì)

黎曼劉維爾導(dǎo)數(shù)算子的定義[5]：

Jumarie修正黎曼劉維爾導(dǎo)數(shù)具有一些顯著性質(zhì)，例如：

以上性質(zhì)有助于找到精確的解析，要注意的是上述性質(zhì)適用于具有黎曼-劉維爾導(dǎo)數(shù)分?jǐn)?shù)階時(shí)空偏微分方程，但它可以推廣到具有其他分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階時(shí)空偏微分方程.

步驟1：通過引進(jìn)了一個(gè)新的行波變量：

將（6）式簡化成常微分方程：

多項(xiàng)式表示：

步驟3：利用（8）式中的最高階導(dǎo)數(shù)與非線性項(xiàng)平衡來確定（9）式中的整數(shù)

步驟4：將（9）代入（8）式中，并利用二階常微分方程（10），合并同類項(xiàng)將所有具有相同的冪項(xiàng)集合在一起，使得得到的多項(xiàng)式的每一個(gè)系數(shù)都等于零.得到一個(gè)關(guān)于的代數(shù)方程組

3.時(shí)空分?jǐn)?shù)階方程組 DSW的精確解

這樣就可以將（11）式轉(zhuǎn)換成整數(shù)階常微分方程：

由（13）式中第一個(gè)方程可以得到：

通過（9）和（10）兩式可以推出

利用Maple軟件求解上述方程組可以得到一組有用解：

對應(yīng)方程組的雙曲函數(shù)通解為:

4.結(jié)論

分?jǐn)?shù)階非線性偏微分方程在近年來的研究中取得了豐碩的研究成果，雖然分?jǐn)?shù)階非線性偏微分方程精確解的研究難度較高，依然有許多對應(yīng)的方法被提出并證明有用，文章中主要以-展開法進(jìn)行介紹和研究.

在文章中運(yùn)用-展開法，這種方法是求分?jǐn)?shù)階非線性偏微分方程的精確解有效的方法.對于時(shí)空分?jǐn)?shù)階方程組 DSW利用分?jǐn)?shù)階的變換，使得方程變換成相應(yīng)的常微分方程，然后利用-展開法得到了關(guān)于時(shí)空分?jǐn)?shù)階方程組 DSW的精確行波解.得到了包括了雙曲函數(shù)解、三角函數(shù)解和有理函數(shù)解，為解時(shí)空分?jǐn)?shù)階方程組 DSW提供了新的方法.

這種方法應(yīng)用在時(shí)空分?jǐn)?shù)階方程組 DSW，計(jì)算量都會大一些，但優(yōu)點(diǎn)在于豐富了已有方程的解.-展開法對于求解分?jǐn)?shù)階非線性偏微分方程具有巨大的潛力和普遍性.