張照耀，鄭君民，陳毅，趙劍峰，佟謠

大連交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院

1 引言

整體硬質(zhì)合金鉆頭廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代機(jī)械制造業(yè)中。螺旋槽的磨削加工是鉆頭生產(chǎn)制造中的重要工序，砂輪在磨削過程中的輪廓形狀和位姿決定了螺旋槽的輪廓。對于螺旋槽的研究工作主要集中于螺旋槽的建模和加工，一般可分為直接法和間接法。直接法是根據(jù)磨削過程中給定的砂輪輪廓及其位姿計(jì)算螺旋槽的截面輪廓；間接方法是根據(jù)砂輪位姿和所需要的螺旋槽輪廓確定砂輪輪廓[1]。然而，間接方法計(jì)算出來的砂輪形狀往往很復(fù)雜，在工業(yè)上并不實(shí)用。因此，研究標(biāo)準(zhǔn)砂輪在五軸數(shù)控工具磨床的磨削加工方法具有重要意義。

復(fù)雜幾何形狀刀具的磨削與數(shù)控磨床加工中的一些復(fù)雜運(yùn)動過程有關(guān)，國內(nèi)外研究者對于螺旋槽磨削和刀具制造進(jìn)行了廣泛的研究。肖思來等[2]基于無瞬心包絡(luò)法建立了變參數(shù)螺旋槽的數(shù)學(xué)模型，提出使用B樣條曲線插值曲面描述螺旋槽的思路和方法。Guo C.L.等[3]提出了基于嚙合理論的純解析方法，利用給定的砂輪輪廓和砂輪與工件的相對運(yùn)動，精確計(jì)算螺旋槽的數(shù)學(xué)模型。Ren L.等[4]提出利用標(biāo)準(zhǔn)1V1/1A1砂輪，基于解析幾何和包絡(luò)理論建立非線性方程組求解砂輪位姿，保證螺旋槽的芯厚、前角和槽寬。Li G.C.等[5]基于微分幾何和單參數(shù)曲面包絡(luò)理論，建立了砂輪的運(yùn)動軌跡和由砂輪錐面生成的包絡(luò)面方程，得到螺旋槽的數(shù)學(xué)模型。螺旋槽的形狀對于任何鉆頭的設(shè)計(jì)都至關(guān)重要，Hsieh J.F.[6]建立了在六軸工具磨床加工時的螺旋槽輪廓或刀具輪廓通用數(shù)學(xué)模型，并對其靈敏度進(jìn)行了分析。Tang F.等[7]詳細(xì)研究了硬質(zhì)合金鉆頭螺旋槽數(shù)學(xué)模型，通過控制螺旋槽的關(guān)鍵參數(shù)螺旋角、鉆芯直徑和前角，利用計(jì)算機(jī)編程方便快捷地計(jì)算砂輪位姿，克服經(jīng)驗(yàn)公式精度低的問題，提高了硬質(zhì)合金鉆頭螺旋槽設(shè)計(jì)的靈活性。

本文通過分析鉆頭螺旋槽磨削成型原理，基于嚙合原理[8]和解析幾何，提出了采用標(biāo)準(zhǔn)砂輪在五軸數(shù)控工具磨床上進(jìn)行螺旋槽磨削的精確方法。采用這種方法可以根據(jù)螺旋槽的設(shè)計(jì)參數(shù)，精確求解出砂輪與工件做螺旋運(yùn)動的相對位姿。根據(jù)砂輪位姿參數(shù)并通過后置處理得到五軸數(shù)控磨削加工的NC程序。利用VERICUT軟件進(jìn)行加工仿真并進(jìn)行仿真數(shù)據(jù)測量，驗(yàn)證了該方法的可行性和準(zhǔn)確性。

2 螺旋槽建模

2.1 砂輪數(shù)學(xué)模型

目前，在五軸數(shù)控工具磨床上采用標(biāo)準(zhǔn)砂輪磨削刀具螺旋槽的方法得到了廣泛應(yīng)用。圖1為標(biāo)準(zhǔn)1V1/1A1砂輪，決定砂輪輪廓形狀的參數(shù)包括砂輪半徑RS，砂輪寬度H和砂輪輪廓傾斜角η。其中，1A1砂輪被認(rèn)為是傾斜角η=0的標(biāo)準(zhǔn)1V1砂輪。

圖1 標(biāo)準(zhǔn)砂輪模型

以1V1砂輪為例，建立砂輪坐標(biāo)系OS-XSYSZS，YS軸沿砂輪軸線方向，XSOSZS平面位于砂輪大端面圓內(nèi)，則砂輪的參數(shù)表達(dá)式為

(1)

式中，h為砂輪厚度參變量，h∈[0，H]；α為參數(shù)角，α∈(0，2π]。

2.2 螺旋槽數(shù)學(xué)模型

在螺旋槽磨削過程中，砂輪相對于棒料做螺旋運(yùn)動，磨削形成螺旋槽。本文基于直接方法建模，即已知砂輪輪廓形狀和加工相對位姿，求解螺旋槽槽型。將砂輪離散成無限個一定厚度的薄圓盤，螺旋槽曲面由這些圓盤產(chǎn)生不同的切削路徑包絡(luò)而形成。建立如圖2所示的坐標(biāo)系，其中，工件坐標(biāo)系O-XYZ固定在棒料上，圓心O位于棒料端面圓心上，X軸與棒料軸線重合；砂輪坐標(biāo)系OS-XSYSZS固聯(lián)在砂輪上，圓心與砂輪大端面圓中心重合，YS軸與砂輪軸線方向一致。已知砂輪輪廓模型，則螺旋槽槽型輪廓由砂輪初始安裝角度γ和圓心初始位置(px，py，pz)決定。

圖2 磨削過程砂輪位置

將砂輪坐標(biāo)系中的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到工件坐標(biāo)系的矩陣變換公式為

(2)

則工件坐標(biāo)系中砂輪的參數(shù)方程可表示為

(3)

確定砂輪初始位姿后，砂輪以一定姿態(tài)繞棒料軸線做螺旋運(yùn)動，導(dǎo)致材料去除形成螺旋槽，則螺旋運(yùn)動的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(4)

聯(lián)立式(3)和式(4)，得到工件坐標(biāo)系中螺旋槽曲面參數(shù)方程有

(5)

(6)

3 砂輪位姿求解

3.1 建立參數(shù)方程

鉆頭的前角、芯厚和螺旋角是螺旋槽的關(guān)鍵參數(shù)，對鉆頭的鉆削性能、剛度、排屑以及容屑能力有較大影響。因此，在整體硬質(zhì)合金鉆頭螺旋槽加工時要保證螺旋角、前角和芯厚，才能獲得理想的螺旋槽。

為了避免螺旋槽在磨削過程中發(fā)生干涉，引入了切削角的概念，同時芯厚形成角則是為了得到滿足要求的芯厚。該工步的關(guān)鍵在于根據(jù)槽型參數(shù)建立參數(shù)方程，并對芯厚形成角進(jìn)行優(yōu)化求解，進(jìn)一步得到砂輪在工件坐標(biāo)系下的初始安裝角度和圓心坐標(biāo)(見圖3)。

圖3 砂輪初始位姿

在圖3所示坐標(biāo)系中，設(shè)棒料半徑為R，砂輪半徑為R1。初始時刻，砂輪與XOZ平面平行，砂輪與棒料的切點(diǎn)坐標(biāo)OR=(0，0，R)，砂輪大端面圓的圓心坐標(biāo)記為OS=(0，0，R+R1)。砂輪過切點(diǎn)OR依次繞Z軸方向向量旋轉(zhuǎn)螺旋角θ，繞方向向量kθ旋轉(zhuǎn)法前角φ，然后繞方向向量kθ旋轉(zhuǎn)切削角σ，最后繞方向向量kφ旋轉(zhuǎn)芯厚形成角φ。采用優(yōu)化算法對其進(jìn)行迭代求解，計(jì)算芯厚形成角φ。

砂輪的參數(shù)方程可表示為

r(R1，ε)=[R1cosε，0，R+R1+R1sinε]T

(7)

φ=arctan(tanδcosθ)

(8)

kθ=Rot(z，-θ)i0

(9)

kφ=Rot(kθ，φ)Rot(z，-θ)j0

(10)

對于繞空間任意單位向量N=(u，v，w)T旋轉(zhuǎn)ξ角的矩陣變換公式有

(11)

工件坐標(biāo)系中砂輪參數(shù)方程的矩陣變換為

(12)

對式(12)進(jìn)行化簡得

r4(R1，ε)=Rot(kφ，φ)Rot(kθ，σ)Rot(kθ，φ)
Rot(z，-θ)[r(R1，ε)-OOR]+OOR

(13)

砂輪最后繞方向向量kγ旋轉(zhuǎn)芯厚形成角φ后，此時砂輪上有且僅有一點(diǎn)到鉆頭軸線的距離為r，即砂輪與鉆頭棒料芯厚相切，則滿足下列等式

(14)

式中，s為切削長度；μ為參數(shù)角，μ∈[0，2π]；r為鉆頭芯厚半徑。

聯(lián)立式(7)～式(11)、式(13)和式(14)可得

F(ε，φ，r)=0

(15)

式(15)包含ε和φ兩個未知數(shù)，利用數(shù)學(xué)計(jì)算軟件對其進(jìn)行迭代求解，可求得當(dāng)砂輪與鉆頭芯厚相切時，砂輪參數(shù)角ε有唯一值，對應(yīng)芯厚角φ?？梢赃M(jìn)一步求解砂輪在工件坐標(biāo)系下的初始砂輪空間位置和砂輪法向量。

3.2 參數(shù)方程求解

由式(15)求解得芯厚形成角，則可知在工件坐標(biāo)系下砂輪經(jīng)過一系列變換后的法向量j1和磨削端面圓的圓心坐標(biāo)OO4。

砂輪法向量的表達(dá)式為

j1=Rot(kφ，φ)Rot(kθ，σ)Rot(kθ，φ)Rot(z，-θ)j0

(16)

砂輪磨削端面圓的圓心坐標(biāo)為

(17)

對式(17)化簡可得

OO4=Rot(kφ，φ)Rot(kθ，σ)Rot(kθ，φ)
Rot(z，-θ)(OOS-OOR)+OOR

(18)

螺旋槽的設(shè)計(jì)參數(shù)見表1，根據(jù)上述方程利用數(shù)學(xué)計(jì)算軟件對其進(jìn)行優(yōu)化求解，得到磨削參數(shù)見表2。

表1 螺旋槽初始參數(shù)

表2 求解的磨削參數(shù)

為了求解砂輪初始安裝角度，將砂輪法向量j1繞X軸旋轉(zhuǎn)至與Z軸相互垂直的位置，此時的旋轉(zhuǎn)角度即為相對旋轉(zhuǎn)角θA，矩陣變換公式為

(19)

式中，θA為繞X軸旋轉(zhuǎn)角度。

此時砂輪法向量記為j2，有

j2=Rot(x，θA)j1

(20)

由砂輪法向量j2與Z軸相互垂直可得

j2k0=0

(21)

聯(lián)立式(20)和式(21)，求解得到旋轉(zhuǎn)角θA。

此時砂輪磨削端面與X軸之間的夾角記為γ，砂輪法向量j2，X軸方向向量i0，則有

(22)

在實(shí)際計(jì)算γ過程中，需要對γ角進(jìn)行調(diào)整，令t=i0j2，若t=i0j2>0，則γ=γC；若t=i0j2<0，則γ=-γC。

砂輪繞X軸旋轉(zhuǎn)θA角后，則此時砂輪圓心坐標(biāo)記為O5，有

OO5=Rot(x，θA)OO4

(23)

至此，根據(jù)已知參數(shù)求解得到砂輪的初始安裝角度和磨削端面圓心坐標(biāo)，通過該算法可以快速計(jì)算出不同參數(shù)下砂輪安裝角度和砂輪圓心相對于工件坐標(biāo)系原點(diǎn)的偏移量，此算法具有較強(qiáng)的通用性和拓展性，為以后研究刀具磨削軟件系統(tǒng)奠定了基礎(chǔ)。

4 五軸工具磨床的后置處理

后置處理的關(guān)鍵是機(jī)床運(yùn)動求解，即根據(jù)機(jī)床的結(jié)構(gòu)和各軸之間的運(yùn)動關(guān)系，把工件坐標(biāo)系中包含刀具方向矢量和刀具中心位置矢量的刀位數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為機(jī)床坐標(biāo)系中數(shù)控機(jī)床各坐標(biāo)軸的運(yùn)動坐標(biāo)[9]。根據(jù)圖4所示的五軸數(shù)控磨床結(jié)構(gòu)，對上述砂輪位姿參數(shù)通過后置處理算法求解得到NC代碼。

圖4 虛擬五軸數(shù)控工具磨床

圖中，五軸工具磨床包含3個平動軸(X，Y，Z)和2個轉(zhuǎn)動軸(A，C)，其中C軸的回轉(zhuǎn)軸為Z軸，A軸的回轉(zhuǎn)軸為X軸。由于工件裝夾在五軸工具磨床上，工件坐標(biāo)系與機(jī)床坐標(biāo)系不一致。

為了降低計(jì)算難度，需將工件坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)至與機(jī)床坐標(biāo)系的方向一致。則旋轉(zhuǎn)矩陣M1可表示為

M1=Rot(z，π)

(24)

為了更準(zhǔn)確地描述五軸工具磨床各坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，建立如圖5所示的后置處理求解坐標(biāo)系。

圖5 后置處理坐標(biāo)系運(yùn)動鏈

后置處理坐標(biāo)系運(yùn)動鏈包括機(jī)床坐標(biāo)系O-XYZ，旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系OA-XAYAZA和OC-XCYCZC，工件坐標(biāo)系OG-XGYGZG，砂輪坐標(biāo)系OS-XSYSZS。將砂輪的軸向方向向量和刀位點(diǎn)坐標(biāo)從砂輪坐標(biāo)系中轉(zhuǎn)換到工件坐標(biāo)系中，其轉(zhuǎn)換關(guān)系可表示為

RG=Rot(x，-A)Rot(z，C)RS

(25)

PG=Rot(x，-A)Trans(x+LG，y，z)
Rot(z，C)Trans(0，LS，0)PS

(26)

式中，RG，PG為工件坐標(biāo)系中砂輪法向量和磨削端面圓心坐標(biāo)；RS，PS為砂輪坐標(biāo)系中砂輪法向量和磨削端面圓心坐標(biāo)；LG和LS分別為工件伸出長度和砂輪法蘭長；-A為A軸旋轉(zhuǎn)角度；-C為C軸旋轉(zhuǎn)角度；x，y，z分別對應(yīng)各平移運(yùn)動軸的位移坐標(biāo)。

(27)

(28)

對式(27)求解得到角度A和C，有

(29)

由式(28)求解得到各平移軸的移動坐標(biāo)為

(30)

將上述求解得到的砂輪位姿坐標(biāo)和砂輪法向量代入式(29)和式(30)中，得到驅(qū)動五軸磨床各運(yùn)動軸運(yùn)動的NC程序。假設(shè)LS=240mm，LG=60mm，所得的部分加工G代碼見表3。

表3 部分加工G代碼

5 仿真驗(yàn)證

利用VERICUT仿真軟件創(chuàng)建五軸工具磨床仿真系統(tǒng)，將工件軸線、砂輪軸線與主軸Z軸三線交點(diǎn)記為虛擬機(jī)床零點(diǎn)。加載上文求解的驅(qū)動機(jī)床運(yùn)動的G代碼，進(jìn)行加工仿真驗(yàn)證，仿真結(jié)果如圖6所示。通過VERICUT仿真軟件測量工具對關(guān)鍵參數(shù)進(jìn)行測量，結(jié)果見表4?？芍?，測量值與設(shè)計(jì)值結(jié)果滿足設(shè)計(jì)精度的要求，證明了該算法的可行性和準(zhǔn)確性。

圖6 VERICUT仿真結(jié)果

為了進(jìn)一步驗(yàn)證該算法的可靠性，通過改變螺旋槽槽型參數(shù)，對螺旋槽輪廓形狀進(jìn)行仿真模擬，研究不同參數(shù)對螺旋槽橫截面的影響。表1中其他參數(shù)不變，前角依次設(shè)定為6°，10°，14°，觀察螺旋槽橫截面仿真結(jié)果如圖7所示。將切削角依次設(shè)定為4°，8°，12°，同時表1中其他參數(shù)不變，得到仿真結(jié)果如圖8所示。

表4 測量值與設(shè)計(jì)值對比

圖7 不同刀具前角時的螺旋槽輪廓仿真結(jié)果

圖8 不同切削角時的螺旋槽輪廓仿真結(jié)果

對比圖7和圖8可以看出，通過改變設(shè)計(jì)參數(shù)得到不同的螺旋槽槽型。分析可知，隨著刀具前角或切削角的增大，螺旋槽槽型輪廓及槽寬均有明顯的差異。通過設(shè)定不同的前角或切削角得到不同的螺旋槽輪廓，極大地提高了整體硬質(zhì)合金鉆頭螺旋槽磨削的靈活性。

6 結(jié)語

本文通過分析鉆頭螺旋槽磨削工藝特點(diǎn)，提出了一種采用標(biāo)準(zhǔn)砂輪進(jìn)行五軸數(shù)控磨削螺旋槽的方法。該方法可以根據(jù)螺旋槽的設(shè)計(jì)參數(shù)，精確求解出砂輪與工件做螺旋運(yùn)動的相對位姿，保證螺旋槽前角、芯厚和螺旋角等關(guān)鍵參數(shù)的精度。VERICUT軟件仿真結(jié)果表明，采用這種方法加工的槽型參數(shù)與設(shè)計(jì)值基本一致，驗(yàn)證了該方法的可行性和準(zhǔn)確性。