陳家涌，吳新燁

（廈門大學(xué) 建筑與土木工程學(xué)院，廈門市交通基礎(chǔ)設(shè)施智能管養(yǎng)工程技術(shù)研究中心，廈門 361005，中國）

車輛碰撞容易翻滾、爆炸等問題，從而造成重大的安全問題、經(jīng)濟(jì)損失。交通事故重建的目的是能夠客觀科學(xué)的對(duì)道路交通事故進(jìn)行重現(xiàn)，提高交通事故判定的準(zhǔn)確性、公正性、科學(xué)性，目前交通事故重建主要有動(dòng)量法、能量法2 種模型。20 世紀(jì)90 年代，Ishikawa 基于碰撞中兩車的動(dòng)量、動(dòng)量矩、恢復(fù)因數(shù)而建立了動(dòng)量法模型來進(jìn)行汽車交通事故重建[1-2]。Herman Stcffan 以Kudlich-Slibar 的模型開發(fā)了PC-Crash 軟件，并基于動(dòng)量理論引入切向、法向恢復(fù)因數(shù)來構(gòu)建模型。

清華大學(xué)在國內(nèi)較早開展了相關(guān)研究，李一兵發(fā)現(xiàn)了基于動(dòng)量法的事故再現(xiàn)模型中計(jì)算結(jié)果的參數(shù)敏感性問題[3]以及事故再現(xiàn)估計(jì)速度不確定性的問題[4]。陳濤等人基于動(dòng)量法模型對(duì)車輛碰撞事故中參數(shù)進(jìn)行分析，得知在接近正面碰撞的工況下，碰撞方位角對(duì)結(jié)果的影響尤為重大[5]。鄭月楠基于動(dòng)量法模型，對(duì)碰撞后車輛運(yùn)動(dòng)軌跡計(jì)算過程進(jìn)行優(yōu)化，證明了基于動(dòng)力學(xué)迭代求解碰撞后運(yùn)動(dòng)參數(shù)的可行性[6]。

陳昆山通過將Ishikawa 的動(dòng)量法模型應(yīng)用于一起無軌跡碰撞事故，并利用LS-DYNA 軟件進(jìn)行整車碰撞仿真，發(fā)現(xiàn)能夠較好的對(duì)碰撞前車速進(jìn)行反求[7]。張健基于動(dòng)量法模型對(duì)實(shí)際事故案例展開研究，分析碰撞中心坐標(biāo)、力學(xué)參數(shù)、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等參數(shù)的誤差對(duì)碰撞前車輛運(yùn)動(dòng)參數(shù)的影響，并得到了事故重建中速度誤差與上述幾種參數(shù)之間的關(guān)系[8-11]。

王金剛較早的基于車輛能量網(wǎng)格與能量法模型展開研究，并將其應(yīng)用于實(shí)際的交通事故還原中[12]。王旭東對(duì)車輛側(cè)向碰撞事故中的車輛剛度系數(shù)誤差展開研究，并提出了有效的解決方法[13]。劉志強(qiáng)[14]則將能量法模型應(yīng)用于一起車輛側(cè)向碰撞事故，發(fā)現(xiàn)模型的計(jì)算結(jié)果與Vangi[15]提出的推薦公式所得到的計(jì)算結(jié)果相吻合。

鄒鐵方利用PC-crash 軟件設(shè)計(jì)正交實(shí)驗(yàn)，對(duì)交通事故重建中參數(shù)的敏感性進(jìn)行了研究[16]。胡林等人通過Madyom 動(dòng)力學(xué)軟件對(duì)交通事故重建中人體頭部的損傷差異性進(jìn)行了探究[17]。

目前采用動(dòng)量法模型進(jìn)行事故重建時(shí)，選取碰撞前后的恢復(fù)因數(shù)遇到一定的困難，進(jìn)而造成計(jì)算誤差。本文通過對(duì)比碰撞過程中的能量損失與車體的塑性變形能，完成基于塑性變形能的車輛二維點(diǎn)碰撞動(dòng)量法模型構(gòu)建，從而有效避免切向法向恢復(fù)因數(shù)選取的主觀性和不確定性，探究將車輛塑性變形能應(yīng)用于車輛二維點(diǎn)碰撞動(dòng)量法交通事故重建的可行性與有效性。

1 車輛二維點(diǎn)碰撞的力學(xué)分析

1.1 二維點(diǎn)碰撞模型的建立

在大部分碰撞事故中，碰撞前兩車位置是錯(cuò)位的；大部分車輛在碰撞后都會(huì)有一定程度轉(zhuǎn)動(dòng)的情況，故車輛之間的碰撞一般為二維碰撞。本文探究車輛的一般二維點(diǎn)碰撞，利用車輛之間的動(dòng)量、動(dòng)量矩、切向法向恢復(fù)因數(shù)建立動(dòng)量法模型[1-2]。

以兩車的碰撞點(diǎn)為原點(diǎn)O，并以其切線（tangent,T）、法線(normal,N)方向建立直角坐標(biāo)系。其中a1、b1、a2、b2分別為車1與車2 的質(zhì)心在坐標(biāo)系里的位置參數(shù)；車1 速度沿著T、N2 軸的速度分量為v10T、v10N，角速度為ω1；車2 速度T、N2 軸的速度分量為v20T、v20N，角速度為ω2。

車輛發(fā)生一般二維點(diǎn)碰撞示意圖見圖1。

圖1 車輛發(fā)生一般二維點(diǎn)碰撞示意圖

車輛與車輛的碰撞過程分為碰撞前、碰撞中、碰撞后3 個(gè)過程，碰撞中過程持續(xù)時(shí)間極其短暫并產(chǎn)生較大的碰撞力，一般只有60～150 ms 左右。在短暫的時(shí)間內(nèi)，兩車完成速度上的交換，因此在碰撞中階段往往可以忽略摩擦力做功、空氣阻力作用、噪聲發(fā)熱等外力作用與能量損耗。

以車1、車2 為研究對(duì)象，通過動(dòng)量定理可以得到：

其中：mi為車身的質(zhì)量(i=1，2，分別代表車1 和車2)，vijk為速度分量（j=0、1，分別代表碰撞前和碰撞后；k的取值為N軸或者T軸）。

以車1、車2 為研究對(duì)象，對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)O取動(dòng)量矩，通過動(dòng)量矩定理可以得到：

其中：ωij為車輛的角速度，R1、R2分別為車1 與車2 的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑，而車1 與車2 的質(zhì)心位置在坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)分別為（a1,b1）、（a2,b2）。

1.2 引入切向與法向恢復(fù)因數(shù)對(duì)方程組重構(gòu)

考察碰撞后的運(yùn)動(dòng)參數(shù)：相對(duì)變形速度（relative deformation speed，RDS）和相對(duì)滑動(dòng)速度 (relative sliding speed，RSS)，以及碰撞前的運(yùn)動(dòng)參數(shù)：RDS0和RSS0，定義為：

由于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)參數(shù)多于約束方程的個(gè)數(shù)，引進(jìn)切向、法向恢復(fù)因數(shù)eN、eT對(duì)方程進(jìn)行補(bǔ)充：

結(jié)合式（1）-（6），碰撞前后運(yùn)動(dòng)參數(shù)表達(dá)為

2 基于塑性變形能的動(dòng)量法模型構(gòu)建

2.1 碰撞過程中的能量變化及車輛的塑性變形能

因碰撞接觸到碰撞分離的時(shí)間很短，故忽略空氣動(dòng)力、摩檫力等外界因素的影響。在2 車碰撞前，2 車的合動(dòng)能達(dá)到最大。在碰撞中當(dāng)2 車達(dá)到共同速度時(shí)，2車合動(dòng)能的損失達(dá)到最大，此時(shí)彈性變形、彈性勢(shì)能最大；而后隨著2 車開始分離，彈性變形減少并且一部分彈性勢(shì)能又轉(zhuǎn)變?yōu)閯?dòng)能。2 車的合動(dòng)能在碰撞過程中的能量變化如圖2 所示。其中：Ein為2 車接觸碰撞前的動(dòng)能之和；Eout為2 車將要分離瞬間的動(dòng)能之和。若令EL為2 車碰撞前與碰撞后損失(loss,L)的動(dòng)能，則ELmax為整個(gè)碰撞中階段的最大動(dòng)能損失。

圖2 車輛能量隨碰撞過程變化圖

顯而易見：

在實(shí)車碰撞實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，車輛所受單位寬度上的碰撞力與車輛的變形量呈線性變化關(guān)系[18-19]：

其中：F為車體單位寬度上所受的碰撞力，其方向與寬度垂直；W為碰撞力對(duì)應(yīng)的寬度，A為沒有塑性變形時(shí)單位寬度上的碰撞力，B為斜率，C為車輛寬度上某位置的變形量。

常數(shù)A、B與車輛類型有關(guān)，美國國家公路交通安全管理局（National Highway Traffic Safety Administration，NHTSA）在對(duì)大量車輛碰撞實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，對(duì)所得碰撞試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行線性回歸統(tǒng)計(jì)得到的參數(shù)。該公式雖然因?yàn)檩^為簡單應(yīng)用廣泛，但不適用于高速車輛碰撞的情況，在高速碰撞下常數(shù)A、B可能會(huì)有較為明顯的下降[20]。

碰撞后車輛產(chǎn)生塑性變形如圖3 所示。其中：Y為車身的長度方向；W為車身的寬度方向；C1—C6為車身寬度上5 等分各端點(diǎn)處的塑性變形值。

圖3 車輛塑性變形示意圖

對(duì)式（9）在車輛寬度以及塑性變形上進(jìn)行2 次積分，可得到車輛的塑性變形能為

其中：C為寬度任一位置上的塑性變形，W0為車體寬度，而CR為車輛上的變形曲線。

在將車輛二維點(diǎn)碰撞模型與車輛塑性變形能公式兩者結(jié)合以構(gòu)建改進(jìn)模型時(shí)，假設(shè)：

1）兩車在碰撞后不發(fā)生二次事故，即車輛在碰撞后不發(fā)生翻滾、側(cè)翻、傾覆等二次碰撞事故。

2）兩車在碰撞過程中車輛質(zhì)心高度差距較小，并且碰撞速度相對(duì)在中低速范圍內(nèi)，不產(chǎn)生豎向動(dòng)能損失。

3）考慮到在碰撞前后兩車的能量應(yīng)守恒，可以認(rèn)為兩車碰撞過程中的最終能量損失EL就是兩車的塑性變形能Ed，即：

2.2 車輛塑性變形能與動(dòng)量法模型的結(jié)合

動(dòng)量法模型中兩車碰撞前后能量損失EL可通過兩車碰撞前后動(dòng)能差值計(jì)算[2]：

而且，γ1N、γ1T、γ2N、γ2T、mN、mT、m0為等效參數(shù)，R1、R2分別為車1 與車2 的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑。結(jié)合式（11）、（12），得到車輛變形C、碰撞前后恢復(fù)因數(shù)eN與eT、碰撞后運(yùn)動(dòng)參數(shù)RDS 與RSS 之間的關(guān)系：

通過式（13）得到eN與eT的關(guān)系，并通過eN循環(huán)計(jì)算，并以此計(jì)算兩車碰撞前后理論上的能量損失。由于忽略了碰撞中的能量損失，故理論計(jì)算的車輛能量損失與車輛的塑性變形能Ed相等，即：

3 數(shù)值模擬與驗(yàn)證

3.1 事故現(xiàn)場情況及碰撞后運(yùn)動(dòng)參數(shù)計(jì)算

某天下午一輛大眾轎車由西向東行駛，此時(shí)一輛自東向西的長安轎車越過路中心線，兩車相撞。根據(jù)痕跡，兩車碰撞的角度非常大，接近于正面非對(duì)心碰撞，碰撞前兩車都沒有采取制動(dòng)措施，事故現(xiàn)場如圖4 所示[21]。

圖4 道路交通事故示意圖[21]

通過從該事故中測(cè)量到的相關(guān)數(shù)據(jù)[21]，得到車輛基本參數(shù)與車輛塑性變形量，通過平均塑性變形計(jì)算車輛塑性變形能Ed。通過式（11）算得Ed=119.4 kJ。將車輛相關(guān)參數(shù)列于表1，其中：C1—C6為車輛的變形量，W0為變形寬度。

表1 車輛基本參數(shù)與質(zhì)心位置參數(shù)

2 車在碰撞后分離階段，車輛運(yùn)動(dòng)參數(shù)、速度方向決定了2 車最終停止位置?；谲囕v分離瞬間與車輛停止時(shí)2 車的質(zhì)心位置，通過剛體動(dòng)力學(xué)迭代得到2 車?yán)碚撚?jì)算的停止位置。將理論計(jì)算停止位置、實(shí)際停止位置相對(duì)比，確定2 車碰撞后分離瞬間的運(yùn)動(dòng)參數(shù)[6]。計(jì)算流程圖如圖5 所示，并將計(jì)算結(jié)果列于表2。

表2 碰撞后2 車運(yùn)動(dòng)參數(shù)計(jì)算

圖5 碰撞后運(yùn)動(dòng)參數(shù)計(jì)算流程圖

3.2 能量法模型計(jì)算

假設(shè)2 車對(duì)撞時(shí)只存在線速度，忽略角速度，利用水平方向能量守恒、碰撞沖量與n軸的夾角、以及塑性變形能Ed為約束條件，構(gòu)建能量法計(jì)算模型[14，22]。計(jì)算可得：車1 和車2 碰撞前速度分別為52.6 km/h 和47.6 km/h。碰撞前后2 車能量損失為122.5 kJ，其與塑性變形能的相對(duì)誤差為2.57%。

3.3 基于車輛塑性變形能的能量法模型計(jì)算

將車輛塑性變形能Ed作為約束條件，對(duì)于任個(gè)給定法向恢復(fù)因數(shù)eN，都能得到一組車輛碰撞前運(yùn)動(dòng)參數(shù)(vi0、ω)以及車輛的理論塑性變形能。通過循環(huán)計(jì)算，避免切向法向恢復(fù)因數(shù)選取的主觀性和不確定性問題，可以得到相對(duì)準(zhǔn)確的結(jié)果。計(jì)算流程如圖6 所示。

圖6 計(jì)算流程圖

以車輛塑性變形能的動(dòng)量法模型所得2 車碰撞前運(yùn)動(dòng)參數(shù)如下：車1 和車2 的速度分別為53.9 km/h 和46.5 km/h，角速度分別為0.26 rad/s 和-0.18 rad/s，碰撞前后兩車能量損失為125.4 kJ，其與塑性變形能的相對(duì)誤差為5.04%。

3.4 PC-crash 仿真結(jié)果

在PC-crash 軟件內(nèi)設(shè)置車輛質(zhì)心高度、減速階段減速度后，調(diào)整2 車碰撞前運(yùn)動(dòng)參數(shù)、碰撞點(diǎn)位置、碰撞角度、恢復(fù)因數(shù)等參數(shù)，使得PC-crash 仿真軟件內(nèi)車輛的停止位置與實(shí)際停止位置接近。2 車摩擦因數(shù)μ=0.7，反彈因數(shù)λ=0.1，其余參數(shù)設(shè)置列于表3，仿真與實(shí)際中車輛的停止位置如圖7 所示。

圖7 PC-crash 仿真結(jié)果

表3 PC-crash 中碰撞沖量及其他參數(shù)設(shè)置

PC-crash 軟件仿真中，采用的是案例中的長安轎車與大眾轎車，車高均在1.6～1.7 m 左右，2 車的質(zhì)心高度基本相等。因此本文案例中采取的改進(jìn)算法將情況設(shè)定在中低速度并忽略豎向動(dòng)能損耗，對(duì)車輛碰撞瞬間前的運(yùn)動(dòng)參數(shù)進(jìn)行計(jì)算是合理的。

通過測(cè)量PC-crash 軟件中2 車停止時(shí)的質(zhì)心位置坐標(biāo)，其與實(shí)際2 車停止時(shí)的質(zhì)心坐標(biāo)相近，因此將PC-crash 軟件的計(jì)算結(jié)果認(rèn)為是2 車實(shí)際發(fā)生碰撞前的速度。仿真所得2 車停止時(shí)質(zhì)心位置列于表4。

表4 PC-crash 計(jì)算2 車停止位置結(jié)果

3.4 數(shù)據(jù)分析

現(xiàn)將PC-Crash 軟件模擬、能量法以及本文的基于塑性變形能的車輛二維點(diǎn)碰撞改進(jìn)的動(dòng)量法所計(jì)算得到碰撞后2 車運(yùn)動(dòng)參數(shù)匯總于表5，其中，δ為能量法、本文模型與PC-Crash 的速度相對(duì)誤差。

表5 不同模型計(jì)算結(jié)果匯總表

可以看出：基于塑性變形能的車輛二維點(diǎn)碰撞動(dòng)量法的計(jì)算結(jié)果與PC-crash、能量法計(jì)算模型得到的結(jié)果較為吻合，這說明：基于塑性變形能的車輛二維點(diǎn)碰撞動(dòng)量法計(jì)算結(jié)果比較合理。

分析可知：基于塑性變形能的車輛二維點(diǎn)碰撞動(dòng)量法能夠一定程度提高計(jì)算精度。

有如下分析：

1）常規(guī)的能量法模型中，由于矩陣內(nèi)多個(gè)方程之間可能存在線性相關(guān)、方程之間數(shù)量級(jí)相差過大，進(jìn)而容易導(dǎo)致方程組的解存在病態(tài)現(xiàn)象[22-23]。在利用基于塑性變形能的車輛二維點(diǎn)碰撞動(dòng)量法求解碰撞前運(yùn)動(dòng)參數(shù)之前，通過檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)本案例中6 個(gè)方程在代數(shù)空間內(nèi)得夾角較大，不存在因?yàn)榉匠涕g夾角較小而導(dǎo)致碰撞后運(yùn)動(dòng)參數(shù)、切向法向恢復(fù)因數(shù)對(duì)解的結(jié)果影響過大情況。

2）能量法模型忽略了正面碰撞過程中的角速度，導(dǎo)致兩車碰撞前原本存在的微小轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)化為平動(dòng)動(dòng)能，進(jìn)而導(dǎo)致2 車碰撞前線速度誤差過大?；谒苄宰冃文艿能囕v二維點(diǎn)碰撞動(dòng)量法在計(jì)算時(shí)考慮了碰撞前2 車可能存在的角速度，因此計(jì)算結(jié)果合理。

3）與其他模型相比，本文中提出的改進(jìn)模型在計(jì)算車輛碰撞分離前瞬間的運(yùn)動(dòng)參數(shù)具有較好的結(jié)果，但改進(jìn)模型在進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)未對(duì)2 車碰撞產(chǎn)生豎向動(dòng)能的損耗進(jìn)行探究。

4 結(jié)論

本文將車輛碰撞后的塑性變形能作為參數(shù)，引入到動(dòng)量法模型中進(jìn)行碰撞前的運(yùn)動(dòng)參數(shù)計(jì)算，構(gòu)建基于車輛塑性變形能與改進(jìn)動(dòng)量法的交通事故參數(shù)計(jì)算模型。該計(jì)算模型可以避免切向、法向恢復(fù)因數(shù)選取的主觀性以及不確定性等問題。由于改進(jìn)模型在計(jì)算中考慮了2 車碰撞前的角速度，通過對(duì)比基于塑性變形能的車輛二維點(diǎn)碰撞動(dòng)量法的計(jì)算結(jié)果與PC-crash軟件仿真結(jié)果、能量法模型計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)：改進(jìn)模型的計(jì)算結(jié)果與PC-crash 軟件仿真結(jié)果較為接近，改進(jìn)模型的計(jì)算結(jié)果與能量法的計(jì)算結(jié)果相比，更加接近車輛正面非對(duì)心碰撞事故發(fā)生的情況。