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        享受思維“沖浪”逐層認識“全等”

        2022-10-11 05:54:30姜鴻雁
        初中生世界 2022年34期
        關(guān)鍵詞:順時針沖浪線段

        文/姜鴻雁

        經(jīng)過七年級的學習,同學們一定對一些平面幾何圖形有了初步認識,比如線段、角、三角形、平行線等,也初步明白了幾何研究的對象是圖形,知道了既要研究圖形的定義、性質(zhì)、判定和應(yīng)用,還要研究圖形與圖形之間的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系等。這些是幾何學習的“原材料”。我們在發(fā)現(xiàn)全等、證明全等、應(yīng)用全等、圖形變換、構(gòu)造全等的思維沖浪過程中,將逐步深入認識全等三角形。

        一、發(fā)現(xiàn)全等——識圖能力的考驗

        識圖能力的培養(yǎng)從我們進入幾何大門的那一刻便已開始。全等三角形的學習,對同學們識圖能力的要求隨之提高。例如,如圖1,點C在線段AB上,且CE=CA,CF=CB,∠ACE=∠FCB=60°,連接AF、BE相交于點P,分別交CE、CF于點M、N。

        圖1

        同學們能看出圖中有幾對全等三角形嗎?怎樣識圖不易遺漏呢?首先,我們要會給線段或角找到“家”,也就是一條線段或一個角是哪個或哪些三角形中的元素。比如,線段AC既在△ACE中,還在△ACF、△ACM中;∠1既在△ACF中,又在△ACM中。其次,要關(guān)注“深藏”的等角或等邊。比如,本題中“藏著”的∠ACE=∠MCN=∠FCB=60°。最后,你一定遇到過公共角、對頂角、直角(都相等)、公共邊、線段中點(平分線段)等這些全等的“自然資源”吧?

        識圖不僅在數(shù)學內(nèi)部,對生活中的一些現(xiàn)象,也要能抽象成數(shù)學圖形。比如,在生活中,我們常??吹饺藗冇么竽粗钢讣夂椭兄钢讣鉁y量兩點間的距離,這個距離叫作“拃”(如圖2)。你看到其中的幾何圖形了嗎?同學們要慢慢學會用數(shù)學的眼光看世界。

        圖2

        二、證明全等——推理能力的提升

        歐幾里得的巨著《幾何原本》,是從五個公理出發(fā),通過一個個嚴密的推理建成幾何的大廈,體現(xiàn)了推理的力量,彰顯了數(shù)學的理性。因此,僅在復雜的圖形中發(fā)現(xiàn)全等三角形還不夠,我們還需要運用全等三角形的判定方法(SAS、ASA、AAS、SSS、HL)加以證明,才具有說服力。例如,在圖1中,用“SAS”證得△ACF≌△ECB,由它生發(fā)的∠1=∠2是△ACF≌△ECB的一個性質(zhì),也是△ACM≌△ECN的判定條件之一,其他全等三角形的證明也水到渠成。

        生活中,人們?yōu)槭裁茨苡谩皰€”測量兩點之間的距離呢?看了圖3,相信你一定會恍然大悟!學習是“知其然,知其所以然”的過程,同學們要慢慢學會用數(shù)學的思維思考世界。

        圖3

        三、應(yīng)用全等——應(yīng)用意識的覺醒

        全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等、面積相等……這些性質(zhì)是證明兩條線段相等、兩個角相等的有力“武器”,同時,也是進一步學習其他重要幾何定理的保障。例如,在圖1中,只有先由△ACF≌△ECB證得∠1=∠2,才能證明△ACM≌△ECN。本題還可以通過求∠EPA證明CM=CN,動手試試,相信你一定行!

        根據(jù)圖1中的已知條件,結(jié)合小學的經(jīng)驗,你一定能猜到△ACE、△CBF是等邊三角形。但是它們?yōu)槭裁词堑冗吶切??依?jù)什么定理?未來,同學們將以全等三角形為依托,學習與等邊三角形有關(guān)的定理,所以說,全等三角形是幾何大廈中的一塊重要的“奠基石”。

        在實際生活中,全等三角形也有廣泛的運用。同學們要慢慢學會用數(shù)學的“語言”(比如,圖形及圖形之間的關(guān)系)表達世界。

        四、圖形變換——靜中見動的智慧

        平移、翻折、旋轉(zhuǎn)改變的是圖形的位置,不變的是形狀與大小,變換前后的兩個圖形全等。因此,我們看到的一對對全等三角形是靜止的,但也是靈動的。

        例如,在圖1中,CA、CE是等邊△ACE的兩條邊。我們既可以把CA看成繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°,得到CE,也可以把△ACF看成繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)60°,得到△ECB。你還能看出其他全等三角形的變換方式嗎?以后我們還將學習以平面直角坐標系為依托,從“數(shù)”的角度刻畫“形”的變換。

        未來,我們還要學習只改變圖形大小,不改變圖形形狀的變換——相似變換。例如,在圖1中,我們可以認為等邊△ACE是繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)120°,并按一定比例縮小得到等邊△FCB。全等是相似的特例,學好全等可以為未來學習相似奠定基礎(chǔ)。

        五、構(gòu)造全等——從無到有的創(chuàng)見

        再看圖1,連接PC,你能證明PC平分∠APB嗎?顯然∠APC、∠BPC無論放在哪兩個三角形中,都沒有全等,怎么辦?構(gòu)造全等!如圖4,作CH⊥AF、CG⊥BE,垂足分別為H、G。CH、CG還可以看成△ACF、△ECB對應(yīng)邊AF、BE上的高(又是識圖能力的考驗),相信同學們一定能想到用“HL”證明Rt△PHC≌Rt△PGC。因此,構(gòu)造全等是基于對已知條件、待求目標以及全等變換等因素綜合分析的結(jié)果。

        圖4

        發(fā)現(xiàn)、證明、應(yīng)用、變換、構(gòu)造,由淺到深的思維歷程不僅僅是我們學習全等三角形所要經(jīng)歷的,也是認識、研究其他幾何圖形需要經(jīng)歷的。同學們,你們將從全等三角形這章開始,插上幾何學習騰飛的翅膀!

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