湖北省宜昌市葛洲壩中學(xué) (443000) 彭曉琳

試題呈現(xiàn)

(2022年湖北省高三二月聯(lián)考第22題)已知f(x)=x2-2alnx,

(1)討論y=f(x)的單調(diào)性；(2)若y=f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2(x1

(i)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(ii)設(shè)x0是y=f(x)的極值點(diǎn)，求證：x1+3x2>4x0.

一、解法探究

題目第(1)問為第(2)問(ii)的解答提供幫助，閱卷表明，學(xué)生普遍不能解答該題第(2)問的第(ii)小問，現(xiàn)撰文探討第(2)問的第(ii)小問的解題方法，期待能對(duì)廣大師生有所啟發(fā).

思路1：(利用比值代換將雙變量問題化為單變量問題然后構(gòu)造新函數(shù)證不等式)

思路2：(通過等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想利用對(duì)稱差函數(shù)然后構(gòu)造新函數(shù)證不等式)

點(diǎn)評(píng)：解題的關(guān)鍵是根據(jù)f(x1)=f(x2)建立等式，通過消參、恒等變形轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)平均，利用對(duì)數(shù)平均不等式求解.

由此我聯(lián)想到2021年高考22題，這道題的第二問也是一個(gè)極值點(diǎn)偏移問題.下面我們來探究一下這道題的解法.

二、遷移應(yīng)用

解法：(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)．由f(x)=x(1-lnx)得f′(x)=-lnx，當(dāng)x=1時(shí)，f′(x)=0；當(dāng)x∈(0,1)時(shí)f′(x)>0；當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，f′(x)<0．故f(x)在區(qū)間(0,1]內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間[1,+∞)內(nèi)為減函數(shù).

第(2)問可以有以下幾種解法：

點(diǎn)評(píng)：等價(jià)轉(zhuǎn)化是處理導(dǎo)數(shù)問題的常見方法，其中利用對(duì)稱差函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)的思想，這些都是導(dǎo)數(shù)問題必備的知識(shí)和技能.

點(diǎn)評(píng)：等價(jià)轉(zhuǎn)化是常見的數(shù)學(xué)思想，構(gòu)造對(duì)稱差函數(shù)是最基本的極值點(diǎn)偏移問題的處理策略.

點(diǎn)評(píng)：比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明題中的不等式即可.

點(diǎn)評(píng)：構(gòu)造函數(shù)之后想辦法出現(xiàn)關(guān)于x1+x2-e<0的式子，這是本方法證明不等式的關(guān)鍵所在.

三、教學(xué)啟示

解決極值點(diǎn)偏移問題主要有兩種方法，實(shí)質(zhì)上都是把雙變量的等式或不等式轉(zhuǎn)化為一元變量問題求解，途徑都是構(gòu)造一元函數(shù)，因此，主元法才是破解極值點(diǎn)偏移問題的通法，而比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明題中的不等式即可.這種處理技巧是解決極值點(diǎn)偏移問題的常用方法.