丁強(qiáng)，江瑩旭，倪拓成

（1.南京工業(yè)職業(yè)技術(shù)大學(xué)電氣工程學(xué)院，江蘇南京 210023；2.江蘇省風(fēng)力發(fā)電工程技術(shù)中心，江蘇南京 210023；3.蘇州新智機(jī)電工業(yè)有限公司，江蘇蘇州 215000）

無(wú)軸承永磁薄片電機(jī)（bearingless permanent magnet slice motor，BPMSM）作為一種磁懸浮特種電機(jī)，具有無(wú)機(jī)械磨損、無(wú)需潤(rùn)滑、壽命長(zhǎng)的特點(diǎn)，在超潔凈場(chǎng)合（如半導(dǎo)體清洗、食品化工、生命醫(yī)療等）有著廣泛的應(yīng)用前景[1-3]。

BPMSM的軸向尺寸較短，一般僅為轉(zhuǎn)子直徑的1/3～1/4，因此可以利用永磁體產(chǎn)生的磁阻力實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子在軸向平移方向和扭轉(zhuǎn)方向的被動(dòng)穩(wěn)定懸浮。但其徑向自由度是被動(dòng)不穩(wěn)定的，需要通過在繞組中注入懸浮電流主動(dòng)控制徑向力，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子在徑向的二自由度懸浮[4]。因此，無(wú)軸承薄片電機(jī)懸浮控制對(duì)系統(tǒng)的魯棒性和安全性尤為關(guān)鍵。

針對(duì)無(wú)軸承電機(jī)懸浮系統(tǒng)的控制，不少學(xué)者基于現(xiàn)代控制理論、非線性控制理論等提出了各種優(yōu)化控制算法。文獻(xiàn)[5]針對(duì)懸浮控制磁鏈精度不足的缺陷，采用基于鎖相環(huán)原理的磁鏈觀測(cè)器算法。文獻(xiàn)[6]為解決轉(zhuǎn)矩和懸浮力之間的耦合問題，將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的思想引入無(wú)軸承的控制中。除此以外，直接懸浮力控制[7-9]、自抗擾控制[10-12]也是學(xué)界研究的熱點(diǎn)。盡管如此，PID控制由于算法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，仍然是無(wú)軸承懸浮控制中應(yīng)用最為廣泛的控制器。

然而在實(shí)際懸浮系統(tǒng)調(diào)試過程中，由于位移環(huán)PID參數(shù)整定過程缺乏理論指導(dǎo)，確定一組既能保證懸浮系統(tǒng)系統(tǒng)穩(wěn)定，又能滿足動(dòng)靜態(tài)懸浮性能需求的參數(shù)，通常需要較多時(shí)間嘗試。針對(duì)此問題，本文對(duì)懸浮控制PID參數(shù)的穩(wěn)定域范圍進(jìn)行了理論探究。在此基礎(chǔ)上，本文進(jìn)一步分析了微分環(huán)節(jié)濾波對(duì)懸浮系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的影響，指出PID控制所存在的問題，為工程實(shí)踐提供了指導(dǎo)。

為了進(jìn)一步改善懸浮系統(tǒng)動(dòng)態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能，本文提出一種基于轉(zhuǎn)子位移剛度勢(shì)能控制的算法，該算法使轉(zhuǎn)子處于低勢(shì)能位時(shí)可以以最快的速度向平衡位置運(yùn)動(dòng)，在高勢(shì)能位時(shí)，以無(wú)超調(diào)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)到達(dá)穩(wěn)定位置，兼顧了動(dòng)態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能。本文用理論推導(dǎo)證明了方案的可行性，并通過仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了算法的有效性和魯棒性。

1 電機(jī)結(jié)構(gòu)及徑向力模型

以圖1所示6齒1對(duì)極單繞組無(wú)軸承永磁薄片電機(jī)為例，推導(dǎo)建立電機(jī)徑向懸浮力數(shù)學(xué)模型。

圖1 單繞組無(wú)軸承永磁薄片電機(jī)Fig.1 Single-winding BPMSM

從產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩的角度來(lái)看，此電機(jī)可以看成六相電機(jī)，假設(shè)各相轉(zhuǎn)矩電流為

式中：At，θt分別為轉(zhuǎn)矩電流的幅值和相位；n為繞組編號(hào)（n=1，2，…，6）。

若電機(jī)轉(zhuǎn)矩控制采用直軸電流id=0的矢量控制算法，則轉(zhuǎn)矩電流相位θt始終超前轉(zhuǎn)子相位90°。

基于式（1）轉(zhuǎn)矩電流表達(dá)式，為了滿足懸浮磁場(chǎng)與轉(zhuǎn)矩磁場(chǎng)極對(duì)數(shù)相差1對(duì)極的基本原理，各相繞組中懸浮電流可以表示為

式中：Al，θl分別為懸浮電流的幅值和相位。

利用磁場(chǎng)疊加原理，通過麥克斯韋力的方程可推導(dǎo)電機(jī)徑向懸浮力數(shù)學(xué)表達(dá)式為[13]

式中：μ0為真空磁導(dǎo)率；r，h，leg分別為電機(jī)轉(zhuǎn)子的外半徑、軸向長(zhǎng)度以及等效氣隙長(zhǎng)度；α為電機(jī)定子齒的極弧寬度；APM為電機(jī)轉(zhuǎn)子永磁體的磁勢(shì)幅值；θr為電機(jī)轉(zhuǎn)子機(jī)械轉(zhuǎn)角；lpx，lpy分別為電機(jī)轉(zhuǎn)子在徑向x，y方向上的偏心距離。

分析電機(jī)徑向力模型可知，轉(zhuǎn)子的徑向受力由兩部分構(gòu)成，第一部分與懸浮電流的幅值和相位有關(guān)，此部分是通過注入懸浮電流實(shí)現(xiàn)的主動(dòng)控制部分。第二部分與轉(zhuǎn)子的偏心位置有關(guān)，由于leg通常變化較小并且APM＞＞At，因此系數(shù)kxx和kyy可近似認(rèn)為是常數(shù)，后文中統(tǒng)一表示為ks。由此可以看出，第二部分徑向力正比于轉(zhuǎn)子的偏心位移，并且其作用方向總是指向偏離平衡位置的方向，因此該力是無(wú)軸承電機(jī)懸浮系統(tǒng)中的不穩(wěn)定因素，稱之為徑向被動(dòng)剛度力。通常意義上，本文所述的懸浮力指的是第一項(xiàng)由懸浮電流產(chǎn)生的徑向力，只要控制懸浮電流的幅值即可控制懸浮力的大小、控制懸浮電流的相位，即可控制懸浮力在x，y軸上的分量，也即控制力的方向。

2 位移環(huán)PID參數(shù)整定及其問題

在不考慮徑向力負(fù)載或擾動(dòng)的情況下，無(wú)軸承電機(jī)位移環(huán)結(jié)構(gòu)如圖2所示，sref為參考位移，一般設(shè)定為零；m為轉(zhuǎn)子質(zhì)量；ks為轉(zhuǎn)子的位移剛度系數(shù)；kp，ki，kd分別為PID控制參數(shù)；Td為微分環(huán)節(jié)的濾波時(shí)間。

圖2 無(wú)軸承電機(jī)位移環(huán)路傳遞函數(shù)Fig.2 Displacement loop transfer function of BPMSM

根據(jù)圖2可以寫出系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

暫時(shí)不考慮微分項(xiàng)的濾波時(shí)間，則表達(dá)式可寫為

對(duì)應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

系統(tǒng)的特征方程為

根據(jù)勞斯判據(jù)不難得出懸浮系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為

式（10）給出的僅是無(wú)軸承電機(jī)懸浮系統(tǒng)穩(wěn)定的基本條件。為了能滿足一定的懸浮性能要求，需要對(duì)PID參數(shù)作進(jìn)一步約束。從閉環(huán)傳遞函數(shù)的特征方程可以看出該系統(tǒng)是三階系統(tǒng)，存在三個(gè)極點(diǎn)。為了兼顧動(dòng)態(tài)和穩(wěn)態(tài)的性能，將其中一個(gè)極點(diǎn)分配在負(fù)實(shí)軸上，另外兩個(gè)為共軛的主導(dǎo)極點(diǎn)，則特征方程可寫成如下形式：

式中：z0為位于實(shí)軸的極點(diǎn)；ξ，ωn分別為二階環(huán)節(jié)的阻尼比和角頻率。

將式（11）對(duì)比式（9）可以得到：

考慮到共軛極點(diǎn)對(duì)性能起到主導(dǎo)作用，將非主導(dǎo)極點(diǎn)（-z0，0）到虛軸距離配置為共軛極點(diǎn)到虛軸距離3倍以上，則有：

式中：p為系數(shù)。

至此，可以根據(jù)式（12）、式（13）對(duì)PID參數(shù)進(jìn)行約束。為了兼顧動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能，ξ和p分別取0.707和5。由此可將三個(gè)參數(shù)的自由度約束為關(guān)于kp系數(shù)的整定。

圖3為kp不同取值時(shí)的階躍響應(yīng)曲線。由圖3可以看出，kp系數(shù)越大，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能越好。相應(yīng)的，整定的kd也會(huì)越大。無(wú)軸承電機(jī)懸浮控制實(shí)踐表明微分環(huán)節(jié)會(huì)引入噪聲，導(dǎo)致系統(tǒng)穩(wěn)定裕度降低。因此需要根據(jù)位移反饋信號(hào)的噪聲條件，限制微分系數(shù)的大小，并且在微分環(huán)節(jié)上加入小濾波環(huán)節(jié)來(lái)改善信噪比。但是，濾波環(huán)節(jié)的引入對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響卻未能得到足夠的重視。

圖3 不同kp取值下的階躍響應(yīng)Fig.3 Step response of different kp

圖4為kp取5倍ks的情況下，根據(jù)上述的參數(shù)整定結(jié)果，選取不同的Td繪制波特圖。當(dāng)Td=0時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)定性較強(qiáng)，相角裕度有90°。加了濾波環(huán)節(jié)后，系統(tǒng)的相角裕度顯著減小，即便Td取值僅有10-5，相角裕度也已經(jīng)降低到20°以內(nèi)，當(dāng)Td取值超過5×10-4時(shí)，相角裕度已經(jīng)非常接近零，此時(shí)系統(tǒng)已經(jīng)瀕臨不穩(wěn)定。顯然，在存在Td的情況下，原整定的參數(shù)已經(jīng)較難穩(wěn)定，則需要再一次進(jìn)行調(diào)整，改善系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。

圖4 不同Td取值下的波特圖Fig.4 Bode diagram of different Td

圖5為濾波系數(shù)Td取0.001時(shí)，在初始整定參數(shù)的基礎(chǔ)上調(diào)整微分系數(shù)繪制波特圖?？梢钥吹?，微分系數(shù)可以提高相角裕度，但微分系數(shù)減小會(huì)犧牲系統(tǒng)的響應(yīng)帶寬。當(dāng)kd降低到初始值kd0的0.01時(shí)，相角裕度反而出現(xiàn)了輕微的下降，此時(shí)降低微分系數(shù)不僅犧牲了帶寬，還降低了穩(wěn)定性能。

圖5 不同kd取值下的波特圖Fig.5 Bode diagram with different kd

綜合上述分析，可以歸納無(wú)軸承電機(jī)懸浮系統(tǒng)位移環(huán)PID控制存在如下問題：

1）懸浮系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性與穩(wěn)定性的矛盾。kp越大系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能越好，但同時(shí)需要的kd越大，則導(dǎo)致信噪比降低，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性受到影響。

2）懸浮系統(tǒng)信噪比與穩(wěn)定性的矛盾。增加慣性濾波環(huán)節(jié)Td可提高信噪比，但會(huì)降低系統(tǒng)穩(wěn)定裕度。同樣，減小kd也可以提高信噪比，但同樣降低穩(wěn)定裕度。

考慮到微分環(huán)節(jié)濾波的影響，應(yīng)根據(jù)實(shí)際信號(hào)的信噪比，選取盡可能小的微分濾波系數(shù)，并在此基礎(chǔ)上適當(dāng)調(diào)整微分系數(shù)以獲得更好的穩(wěn)定裕度。

3 位移剛度勢(shì)能懸浮控制

上一節(jié)分析了無(wú)軸承電機(jī)懸浮系統(tǒng)位移環(huán)PID參數(shù)整定及其存在的固有問題。由于PID算法是基于線性調(diào)節(jié)器理論進(jìn)行設(shè)計(jì)的，在無(wú)軸承電機(jī)懸浮系統(tǒng)控制實(shí)踐中，由于噪聲、濾波環(huán)節(jié)等因素的存在，轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定裕度和實(shí)際的位移響應(yīng)并非如預(yù)期的理想，實(shí)際中總是存在震蕩超調(diào)等問題。

無(wú)軸承電機(jī)懸浮控制的基本目標(biāo)為，當(dāng)電機(jī)轉(zhuǎn)子偏離中心時(shí)，系統(tǒng)可以有較快的速度回到中心平衡位置，并且位移控制的超調(diào)量要盡可能小。同時(shí)，懸浮系統(tǒng)需要對(duì)給定量有著較好的跟蹤性能，在轉(zhuǎn)子受到擾動(dòng)偏離中心平衡位置時(shí)具有較好的魯棒性。現(xiàn)代控制理論已經(jīng)證明，采用開關(guān)控制，也即Bang-Bang控制，是一種時(shí)間最優(yōu)的控制方案。當(dāng)偏電機(jī)轉(zhuǎn)子位移偏離中心平衡位置時(shí)，轉(zhuǎn)子回復(fù)到平衡狀態(tài)的時(shí)間最短、動(dòng)態(tài)性能最優(yōu)。但是，當(dāng)轉(zhuǎn)子處于中心平衡位置或者中心平衡位置附近時(shí)，傳統(tǒng)Bang-Bang控制的機(jī)理決定其所輸出的懸浮力在限幅邊界處來(lái)回切換，導(dǎo)致轉(zhuǎn)子始終處于振動(dòng)狀態(tài)。為解決上述問題，本文提出了基于位移剛度力場(chǎng)勢(shì)能的懸浮控制算法。

當(dāng)電機(jī)轉(zhuǎn)子處于自由狀態(tài)時(shí)，也即沒有可控懸浮力和其他外力作用時(shí)，轉(zhuǎn)子僅受到位移剛度力的作用。如式（3）所示，該力正比于轉(zhuǎn)子偏離平衡位置的位移。類比于重力勢(shì)能的概念，轉(zhuǎn)子在位移剛度力場(chǎng)的作用下，也具有對(duì)應(yīng)的勢(shì)能，稱之為位移剛度勢(shì)能。如果將平衡位置的勢(shì)能定義為0，則位移剛度力勢(shì)能Es和位移s之間的關(guān)系滿足式（14），其曲線如圖6所示。

圖6 位移剛度力場(chǎng)下的轉(zhuǎn)子勢(shì)能Fig.6 Rotor potential energy in stiffness force field

由圖6勢(shì)能曲線可以看出，當(dāng)懸浮系統(tǒng)無(wú)可控懸浮力作用時(shí)，無(wú)軸承電機(jī)轉(zhuǎn)子徑向自由度為不穩(wěn)定系統(tǒng)，轉(zhuǎn)子在中心平衡位置O的勢(shì)能最大，因此當(dāng)電機(jī)轉(zhuǎn)子受到外部擾動(dòng)便會(huì)向勢(shì)能低的位置運(yùn)動(dòng)且無(wú)法自發(fā)的回到穩(wěn)定位置。

電機(jī)轉(zhuǎn)子機(jī)械能可以表示為剛度勢(shì)能和動(dòng)能EV之和，即

式中：s0，v0分別為初始時(shí)刻轉(zhuǎn)子的位置和速度。

由于無(wú)軸承電機(jī)懸浮控制目標(biāo)是將轉(zhuǎn)子控制在中心位置并且靜止，從能量角度需要滿足：

假設(shè)k時(shí)刻轉(zhuǎn)子的位置和速度狀態(tài)分別為sk和vk，其總機(jī)械能為ET0。系統(tǒng)的末狀態(tài)的速度和位移均為零，根據(jù)能量守恒定律：

式中：F為懸浮力。

寫成離散的形式即為

受懸浮繞組載流量的限制，控制量懸浮力的作用邊界如下：

式中：Fmax為懸浮力的最大值。

剛度勢(shì)能控制過程如圖7所示。

由圖7可知，在k時(shí)刻需要計(jì)算懸浮力輸入給轉(zhuǎn)子的能量，也即懸浮力Fk與位移差值Δsk+1（Δsk+1=sk+1-sk）的乘積。為使得系統(tǒng)的能量盡快歸零，每拍輸入的能量應(yīng)盡可能多，但當(dāng)轉(zhuǎn)子的能量滿足：

表明k時(shí)刻懸浮力即使作用到最大，也無(wú)法令轉(zhuǎn)子等效勢(shì)能立即歸零。

因此當(dāng)轉(zhuǎn)子能量較低時(shí)，可以讓懸浮力處于作用域[-Fmax，F(xiàn)max]的邊界上，此時(shí)等效勢(shì)能便會(huì)以最快的速度增加，其控制效果和Bang-Bang控制等同。當(dāng)電機(jī)轉(zhuǎn)子能量增加，較為接近零勢(shì)能點(diǎn)時(shí)，如圖7中k+n時(shí)刻，計(jì)算需要給定的懸浮力滿足：

表明此時(shí)需要輸出的懸浮力處于作用域內(nèi)，經(jīng)過該力一拍的作用，系統(tǒng)能量可精確歸零，不存在超調(diào)，解決了Bang-Bang控制在平衡位置附近造成的控制量變化巨大引起轉(zhuǎn)子震動(dòng)的問題。

可以看出，上述每個(gè)時(shí)刻計(jì)算輸出懸浮力時(shí)均需知道在該懸浮力作用下的位移Δsk+1，從而計(jì)算出在該時(shí)間段內(nèi)輸入給轉(zhuǎn)子的能量。電機(jī)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)方程如下：

式中：Ts為控制周期。

可以根據(jù)本拍轉(zhuǎn)子狀態(tài)預(yù)測(cè)出下一拍轉(zhuǎn)子位移sk+1。將其與本拍位移sk作差后可計(jì)算出Δsk+1。

4 徑向負(fù)載觀測(cè)器

以上基于位移剛度勢(shì)能的控制算法避免了傳統(tǒng)PID控制中參數(shù)整定困難的問題，在繼承Bang-Bang控制動(dòng)態(tài)性能優(yōu)勢(shì)的基礎(chǔ)上，提升了電機(jī)轉(zhuǎn)子在中心平衡位置附近的控制性能。然而，以上推導(dǎo)均基于無(wú)其他徑向力的前提。實(shí)際上，無(wú)軸承電機(jī)懸浮系統(tǒng)中除了位移剛度力和可控懸浮力之外，往往還存在徑向的負(fù)載力、轉(zhuǎn)子質(zhì)量不平衡引起的偏心力等，這些徑向力的作用將使得每個(gè)控制周期內(nèi)輸入到轉(zhuǎn)子的能量產(chǎn)生偏差，導(dǎo)致轉(zhuǎn)子無(wú)法穩(wěn)定在能量最高處。針對(duì)此問題，有必要對(duì)轉(zhuǎn)子受到的徑向負(fù)載進(jìn)行觀測(cè)并補(bǔ)償，以此消除其對(duì)中心平衡點(diǎn)的影響。

考慮徑向負(fù)載力時(shí)，無(wú)軸承電機(jī)轉(zhuǎn)子的徑向運(yùn)動(dòng)學(xué)狀態(tài)方程可以寫成：

式中：fd為徑向負(fù)載力。

根據(jù)現(xiàn)代控制理論，可在控制器中構(gòu)建一個(gè)與式（23）相同的狀態(tài)觀測(cè)器。但受到參數(shù)失配和擾動(dòng)的影響，實(shí)際系統(tǒng)的輸出和觀測(cè)器的輸出并不完全相同，因此可以將實(shí)際系統(tǒng)和觀測(cè)器的輸出量作差后，反饋到觀測(cè)器的輸入端，由此觀測(cè)器的輸出和實(shí)際系統(tǒng)輸出間的誤差將收斂至零。當(dāng)觀測(cè)器帶寬足夠高時(shí)，收斂速度便足夠快，此時(shí)可將觀測(cè)器中的狀態(tài)作為實(shí)際系統(tǒng)的狀態(tài)用于狀態(tài)反饋，觀測(cè)器結(jié)構(gòu)如圖8所示，其中H為反饋矩陣。

圖8 狀態(tài)觀測(cè)器結(jié)構(gòu)框圖Fig.8 Block diagram of state observer

根據(jù)上述原理，可寫出狀態(tài)觀測(cè)器表達(dá)式：

依據(jù)式（24）并按照?qǐng)D8觀測(cè)器結(jié)構(gòu)，可以得到適用于無(wú)軸承電機(jī)懸浮系統(tǒng)徑向負(fù)載力的觀測(cè)器。在此基礎(chǔ)上，圖9給出位移剛度勢(shì)能懸浮控制的結(jié)構(gòu)框圖。

圖9 位移剛度勢(shì)能懸浮控制結(jié)構(gòu)框圖Fig.9 Block diagram of the displacement stiffness potential energy suspension control system structure

5 仿真與實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證本文所提的位移剛度勢(shì)能懸浮控制算法的有效性，本文在Matlab/Simulink中搭建的仿真模型并編寫實(shí)驗(yàn)控制程序，通過和傳統(tǒng)PID控制對(duì)比，驗(yàn)證該懸浮控制算法的有效性。依據(jù)圖9所示，懸浮系統(tǒng)中轉(zhuǎn)子能量給定量設(shè)為0，由式（15）計(jì)算轉(zhuǎn)子實(shí)際能量并于轉(zhuǎn)子能量給定量做差后，經(jīng)剛度勢(shì)能控制算法調(diào)節(jié)得到懸浮力給定值。將懸浮力給定值減去由徑向負(fù)載觀測(cè)器觀測(cè)得到的徑向負(fù)載力后，對(duì)轉(zhuǎn)子施加實(shí)際控制作用。

仿真與實(shí)驗(yàn)中電機(jī)的主要參數(shù)如下：定子外徑146 mm，定子內(nèi)徑84 mm，定子齒極弧40°，轉(zhuǎn)子外徑78 mm，轉(zhuǎn)子質(zhì)量192 g，軸向長(zhǎng)度10 mm，永磁體厚度3 mm，徑向剛度23 N/mm。

圖10對(duì)比了沒有徑向外加負(fù)載力的情況下，轉(zhuǎn)子從偏心1 mm位置從靜止?fàn)顟B(tài)起浮波形。由圖10可知，初始時(shí)由于轉(zhuǎn)子位移s偏心較大、能量較低，此時(shí)等效為Bang-Bang控制，相比PID控制，其動(dòng)態(tài)響應(yīng)更快；當(dāng)轉(zhuǎn)子位移靠近平衡位置時(shí)，電機(jī)轉(zhuǎn)子位移剛度勢(shì)能接近零，此時(shí)控制量輸出變小，因此犧牲了一定的動(dòng)態(tài)性能，以獲得較優(yōu)的穩(wěn)態(tài)性能，整個(gè)過程中位移無(wú)超調(diào)?？傮w而言，剛度勢(shì)能控制算法在動(dòng)態(tài)性能上仍優(yōu)于PID控制。

圖10 無(wú)徑向負(fù)載力靜止起浮位移仿真波形Fig.10 Simulation waveforms of start-up displacement without radial load force

圖11對(duì)比了在徑向階躍負(fù)載工況下的位移剛度勢(shì)能控制和傳統(tǒng)PID控制。

圖11 有徑向負(fù)載力靜止起浮位移仿真波形Fig.11 Start-up displacement simulation waveforms with radial load force

由圖11b可知，負(fù)載觀測(cè)器在3.5 ms跟蹤上了實(shí)際徑向力，經(jīng)過補(bǔ)償后，位移剛度勢(shì)能控制對(duì)負(fù)載力有了較好的響應(yīng)，由圖11a可知其位移僅波動(dòng)20 μm。相比之下，PID控制器需要經(jīng)過25 ms的調(diào)節(jié)時(shí)間才能穩(wěn)定并且在徑向負(fù)載力作用下位移波動(dòng)達(dá)到了42 μm。

在仿真驗(yàn)證的基礎(chǔ)上，本文搭建了無(wú)軸承薄片永磁電機(jī)的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)進(jìn)一步對(duì)算法有效性進(jìn)行驗(yàn)證。圖12為實(shí)驗(yàn)中所用無(wú)軸承薄片永磁電機(jī)原理樣機(jī)。

圖12 無(wú)軸承薄片永磁電機(jī)原理樣機(jī)Fig.12 Prototype of BPMSM

為了驗(yàn)證微分環(huán)節(jié)中濾波系數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，圖13對(duì)比了在相同PID參數(shù)下，不同的濾波時(shí)間常數(shù)下的起浮波形。

圖13 轉(zhuǎn)子起浮的位移波形Fig.13 Rotor displacement waveforms when start-up

由圖13a可知，當(dāng)無(wú)濾波環(huán)節(jié)時(shí)，起浮的動(dòng)態(tài)過程中，轉(zhuǎn)子位移表現(xiàn)出了良好的阻尼特性。然而由于位移反饋信號(hào)在處理環(huán)節(jié)中不可避免會(huì)引入噪音，穩(wěn)態(tài)時(shí)，轉(zhuǎn)子仍然存在抖動(dòng)。由圖13b可知，加入了1 ms的濾波環(huán)節(jié)后，起浮的動(dòng)態(tài)過程中，雖然出現(xiàn)了小幅的超調(diào)，但穩(wěn)態(tài)波形較無(wú)濾波環(huán)節(jié)時(shí)有了顯著改善。由圖13c可知，當(dāng)濾波時(shí)間增加到5 ms后，由于濾波環(huán)節(jié)產(chǎn)生的信號(hào)延遲，轉(zhuǎn)子震蕩時(shí)間明顯增加，系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度減小。因此綜合考慮，PID控制的微分濾波時(shí)間取1 ms較為合適。

為了對(duì)比PID控制和位移剛度勢(shì)能控制在動(dòng)態(tài)性能上的差異，圖14對(duì)比了在相同的徑向沖擊擾動(dòng)下的轉(zhuǎn)子位移波形，徑向擾動(dòng)力主要施加在y的正方向。

圖14 轉(zhuǎn)子沖擊擾動(dòng)下的位移波形Fig.14 Rotor displacement waveforms under impact loads

由圖14a可知，PID控制下，兩個(gè)自由度的位移的波動(dòng)達(dá)到了0.20 mm和0.55 mm，調(diào)節(jié)時(shí)間大約為68 ms。由圖14b可知，采用了位移剛度勢(shì)能控制時(shí)，由于引入了較強(qiáng)帶寬的負(fù)載觀測(cè)器，并且在大位移時(shí)，懸浮力等效為Bang-Bang控制，位移波動(dòng)僅為0.15 mm和0.35 mm，大大改善了徑向位移環(huán)路的魯棒性。除此之外，由于控制器實(shí)時(shí)計(jì)算了轉(zhuǎn)子的剛度勢(shì)能，本質(zhì)上對(duì)轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有了一定的預(yù)測(cè)作用，因此調(diào)節(jié)之間大大縮短，僅有32 ms。同時(shí)圖14c給出外部沖擊擾動(dòng)作用時(shí)徑向負(fù)載觀測(cè)器的輸出信號(hào)。

圖15為電機(jī)在3 000 r/min情況下PID控制和位移剛度勢(shì)能控制的穩(wěn)態(tài)位移波形。由圖15a可知，PID控制下x軸的位移波動(dòng)約為±45 μm，y軸的位移波動(dòng)約為±50 μm；由圖15b可知，剛度位移勢(shì)能控制下x軸的位移波動(dòng)約為±25 μm，y軸的位移波動(dòng)約為±30 μm。

圖15 3 000 r/min時(shí)轉(zhuǎn)子的位移波形Fig.15 Rotor displacement waveform when 3 000 r/min

6 結(jié)論

本文針對(duì)無(wú)軸承薄片永磁電機(jī)懸浮系統(tǒng)位移環(huán)PID控制參數(shù)問題進(jìn)行理論推導(dǎo)和分析并指出其PID控制的固有問題。結(jié)果表明，PID三個(gè)參數(shù)需要滿足特定的約束關(guān)系懸浮系統(tǒng)才能穩(wěn)定，其中微分系數(shù)是系統(tǒng)穩(wěn)定的重要環(huán)節(jié)。但微分環(huán)節(jié)中的濾波對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性是不利的因素，需要根據(jù)信號(hào)的噪聲情況，適當(dāng)犧牲帶寬來(lái)?yè)Q取較高的穩(wěn)定裕度。為克服PID控制的不足，文章提出了轉(zhuǎn)子位移剛度勢(shì)能的非線性懸浮控制算法，該算法兼顧轉(zhuǎn)子勢(shì)能較低處的動(dòng)態(tài)性能和勢(shì)能較高處的穩(wěn)態(tài)性能，并通過負(fù)載觀測(cè)器補(bǔ)償了其他徑向力對(duì)轉(zhuǎn)子勢(shì)能的干擾，可快速將轉(zhuǎn)子控制在平衡位置。最后，通過仿真和實(shí)驗(yàn)分別驗(yàn)證了該算法的可行性和有效性。