周志明，劉 振，*，易建強(qiáng)，姚曉先

（1.中國科學(xué)院自動(dòng)化研究所，北京 100081；2.北京理工大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100081）

0 引 言

導(dǎo)彈一般氣動(dòng)阻尼不足，欠阻尼特性導(dǎo)致彈軸長時(shí)間擺動(dòng)，對導(dǎo)引回路的工作將產(chǎn)生不利影響。因此，采用阻尼補(bǔ)償回路增強(qiáng)彈體阻尼性能的方法普遍應(yīng)用于各類導(dǎo)彈的控制系統(tǒng)中［1-3］。但是，控制與制導(dǎo)回路的作用也引起了一系列導(dǎo)彈穩(wěn)定性問題。

目前，國內(nèi)外對各類導(dǎo)彈的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性研究已有很多成果，尤其在旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈領(lǐng)域［4-10］。特別地，針對控制回路，Yan等首先研究了阻尼回路對旋轉(zhuǎn)彈角運(yùn)動(dòng)的影響，指出旋轉(zhuǎn)彈阻尼回路增益上限比非旋轉(zhuǎn)彈低很多［11］，隨后推導(dǎo)了使用姿態(tài)駕駛儀滿足錐形運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定條件時(shí)，阻尼反饋增益和姿態(tài)反饋增益需滿足的動(dòng)態(tài)關(guān)系［12］。Li等人更進(jìn)一步推導(dǎo)了采用兩回路和三回路過載駕駛儀的旋轉(zhuǎn)彈角運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性條件［13-15］。Zhou等人從飛行試驗(yàn)中的異常現(xiàn)象出發(fā)，研究發(fā)現(xiàn)鉸鏈力矩作用下的舵機(jī)響應(yīng)有可能會(huì)誘導(dǎo)不穩(wěn)定的錐形運(yùn)動(dòng)［16-17］，并且進(jìn)一步研究分析了舵機(jī)傳動(dòng)間隙對旋轉(zhuǎn)彈錐形運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的影響［18］。針對制導(dǎo)回路穩(wěn)定性的分析同樣有許多可借鑒的工作［19-23］，Hu等人重點(diǎn)分析了采用尋的三維比例導(dǎo)引的旋轉(zhuǎn)彈穩(wěn)定性準(zhǔn)則，并且分析指出轉(zhuǎn)速越大，脫靶量越大［24］。Zheng等人和Tian等人在此基礎(chǔ)上，研究了采用比例導(dǎo)引，并考慮導(dǎo)引頭隔離度寄生回路下旋轉(zhuǎn)彈的錐形運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性［25-26］。Hu等人特別地考慮了捷聯(lián)式導(dǎo)引頭響應(yīng)滯后引起的旋轉(zhuǎn)彈穩(wěn)定性條件變化情況［27］。然而上述文獻(xiàn)在制導(dǎo)控制回路建模中，均僅考慮了舵機(jī)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，沒有考慮舵機(jī)動(dòng)態(tài)響應(yīng)過程，這樣所得到的導(dǎo)彈的穩(wěn)定性條件可能與真實(shí)情況存在一定的偏差。在研究無控段舵機(jī)鉸鏈力矩對旋轉(zhuǎn)彈動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性的影響時(shí)，Yousof等人首次指出舵機(jī)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)使得控制參數(shù)穩(wěn)定域會(huì)發(fā)生偏移［28］，修正了Zhou等人的結(jié)果，具有一定的啟示意義［16］。近期，F(xiàn)an等人考慮舵機(jī)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，給出了各參數(shù)對兩回路過載駕駛儀參數(shù)穩(wěn)定域的影響［29］，具有很大參考意義。綜上，雖然對于導(dǎo)彈制導(dǎo)控制回路穩(wěn)定性分析的文獻(xiàn)很多，但是考慮舵機(jī)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)對制導(dǎo)與控制回路的作用，并對導(dǎo)彈的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性的研究依然較少。

本文建立了阻尼駕駛儀控制的導(dǎo)彈動(dòng)力學(xué)方程以及舵機(jī)的動(dòng)力學(xué)方程，采用勞斯判據(jù)，對比研究了非旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈在舵機(jī)穩(wěn)態(tài)與動(dòng)態(tài)響應(yīng)下阻尼反饋增益的穩(wěn)定區(qū)域，進(jìn)一步采用復(fù)姿態(tài)角方法和Lyapunov穩(wěn)定性判據(jù)，研究了旋轉(zhuǎn)彈阻尼回路動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性條件，對工程實(shí)踐具有一定的指導(dǎo)意義。

1 導(dǎo)彈動(dòng)力學(xué)與舵機(jī)模型

旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈的動(dòng)力學(xué)方程參照相關(guān)文獻(xiàn)［15，29］可以描述如下，其中非旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈認(rèn)為轉(zhuǎn)速＝0。

舵機(jī)模型參照周偉［18］建模方式建立，考慮舵機(jī)系統(tǒng)常用的比例微分（proportional derivative，PD）控制器，其中比例系數(shù)為KP，微分系數(shù)為KD，記舵機(jī)的指令為δc，舵機(jī)的響應(yīng)為δ，即U＝（K P＋K Ds）（δc-δ），可以得到舵機(jī)的響應(yīng)與指令之間的傳遞函數(shù)為

一般的舵機(jī)系統(tǒng)為避免系統(tǒng)因反饋噪聲信號(hào)引起震蕩，K D取值通常較小，在K D＝0時(shí)，系統(tǒng)為簡單的比例控制器，則舵機(jī)的響應(yīng)與指令間的傳遞函數(shù)化簡為

式中：Jm為電機(jī)轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；J l為舵片轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；N為減速器的減速比；R為電阻；K e為反電動(dòng)勢系數(shù)；K m為電磁力矩系數(shù)?？梢钥吹?，舵機(jī)響應(yīng)為被建模成一個(gè)二階環(huán)節(jié)。

表1 參數(shù)定義表Table 1 Nomenclature

2 非旋轉(zhuǎn)彈阻尼駕駛儀穩(wěn)定性

當(dāng)＝0，彈體不旋轉(zhuǎn)，馬格努斯力和力矩以及慣性力矩參數(shù)項(xiàng)均為零，非旋轉(zhuǎn)彈俯仰和偏航?jīng)]有耦合，以俯仰方向?yàn)槔?，非旋轉(zhuǎn)彈的動(dòng)力學(xué)方程為

非旋轉(zhuǎn)彈俯仰方向阻尼回路如圖1所示。

圖1 非旋轉(zhuǎn)彈阻尼回路結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure of non-spinning missile damping circuit

據(jù)圖1可得，非旋轉(zhuǎn)彈姿態(tài)角在阻尼回路作用下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)為

若忽略舵機(jī)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)過程，只考慮穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的情況下有

則舵機(jī)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)下的攻角響應(yīng)為

式（7）為一個(gè)二階方程，其特征根為

當(dāng)特征根的解的實(shí)部為負(fù)數(shù)時(shí)，姿態(tài)角成收斂狀態(tài)。上述方程根具有負(fù)實(shí)部的充要條件是

因?yàn)殪o穩(wěn)定彈體本身具有弱阻尼作用，即使在沒有阻尼回路情況下依然可以保證姿態(tài)角穩(wěn)定性，甚至在一定的正反饋情況下依然可以保持穩(wěn)定性。實(shí)際導(dǎo)彈的控制系統(tǒng)中，由于彈體弱阻尼的特性，一般設(shè)置kω＞0提高彈體阻尼，獲得更良好的控制性能。當(dāng)彈體為靜不穩(wěn)定時(shí)，即b11＞0，此時(shí)阻尼回路能穩(wěn)定滿足-a1b22＋b3a1kω＞b11條件的靜不穩(wěn)定彈體?？梢钥吹?，靜不穩(wěn)定度越大，即b11越大，對應(yīng)的kω下限值越大，意味著只要反饋增益設(shè)計(jì)得足夠大，阻尼回路也能穩(wěn)定靜不穩(wěn)定彈體姿態(tài)，但是實(shí)際上kω的取值是有限制的，作為姿態(tài)駕駛儀或者過載駕駛儀的內(nèi)回路，kω的上限值受限于舵機(jī)等硬件資源。因此，僅依靠阻尼回路對靜不穩(wěn)定彈體的穩(wěn)定范圍極其有限，甚至可能完全無法穩(wěn)定。

根據(jù)勞斯判據(jù)可得系統(tǒng)收斂的條件為

觀察可知，α1＞0和α4＞0兩式一般情況下恒成立，所以決定系統(tǒng)穩(wěn)定性的是中間兩式。其中，Ts和μs是關(guān)于舵機(jī)控制參數(shù)K P的函數(shù)，所以舵機(jī)控制參數(shù)與阻尼駕駛儀控制參數(shù)kω具有一定的關(guān)系，具體動(dòng)態(tài)變化關(guān)系參見仿真算例。

由于僅依靠阻尼回路控制靜不穩(wěn)定彈體局限性較大，其所能控制的彈體最大靜不穩(wěn)定度與等效舵機(jī)的帶寬成正比［30］，工程上多采用過載回路來改善彈體特性，這里以兩回路過載駕駛儀為例分析，其組成框圖如圖2所示。

圖2 非旋轉(zhuǎn)彈兩回路過載駕駛儀結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Structure of non-spinning missile two-loop autopilot

在近似條件b22≈0下，可以計(jì)算得到兩回路過載駕駛儀作用下彈體自振頻率和阻尼為

3 旋轉(zhuǎn)彈阻尼駕駛儀穩(wěn)定性

旋轉(zhuǎn)彈阻尼駕駛儀框圖如圖3所示。

圖3 旋轉(zhuǎn)彈阻尼回路結(jié)構(gòu)圖Fig.3 Structure of spinning missile damping circuit

當(dāng)僅考慮舵機(jī)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時(shí)，指令到舵偏角的響應(yīng)是一個(gè)簡單的初等矩陣，與舵機(jī)的控制參數(shù)以及轉(zhuǎn)速相關(guān)。定義復(fù)舵偏角δ＝δy＋iδz，復(fù)攻角ξ＝β＋iα，復(fù)姿態(tài)角速度，根據(jù)旋轉(zhuǎn)彈阻尼駕駛儀框圖3可得

將式（17）代入旋轉(zhuǎn)彈動(dòng)力學(xué)方程中，并將其寫成復(fù)姿態(tài)角形式可得

參照相關(guān)文獻(xiàn)［32］可得二階復(fù)系數(shù)微分方程的穩(wěn)定性條件為

當(dāng)考慮舵機(jī)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)時(shí)，指令到舵偏角的響應(yīng)不再是一個(gè)簡單的初等矩陣，而是存在一個(gè)二階響應(yīng)環(huán)節(jié)，系統(tǒng)階次將變?yōu)?階，采用復(fù)姿態(tài)角方法可以降階為4階，根據(jù)卡爾丹定理，存在穩(wěn)定性判據(jù)的解析表達(dá)式［29］，但是從解析表達(dá)式中難以看出各項(xiàng)參數(shù)對穩(wěn)定區(qū)域的影響，為使用成熟的線性矩陣不等式求解工具包，本節(jié)采用Lyapunov穩(wěn)定性判據(jù)。將式（16）代入式（1）中，并選取狀態(tài)變量為則系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為

根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，上述系統(tǒng)穩(wěn)定當(dāng)且僅當(dāng)A的所有特征值的實(shí)部為負(fù)數(shù)。為了考察上述系統(tǒng)的穩(wěn)定性，考慮李雅普諾夫方程

系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是存在一個(gè)正定矩陣M使得

當(dāng)存在正定矩陣M使得式（22）成立時(shí)，計(jì)算可以得到，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。針對每一組舵機(jī)控制參數(shù)以及阻尼反饋增益，可以通過求解線性矩陣不等式（22）的可行性從而判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。舵機(jī)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)對阻尼反饋增益的影響參見仿真案例。

4 仿真驗(yàn)證

本節(jié)將進(jìn)行上述穩(wěn)定性條件的驗(yàn)證，給出仿真所需數(shù)據(jù)，如表2和表3所示，其中對于非旋轉(zhuǎn)彈，˙γ為零，并且馬格努斯力和力矩以及慣性力矩參數(shù)項(xiàng)均為零。

表2 舵機(jī)仿真參數(shù)表Table 2 Actuator parameters used in the simulation

表3 仿真中某旋轉(zhuǎn)彈飛行參數(shù)表Table 3 Spinning missile flight parameters used in the simulation

首先對非旋轉(zhuǎn)彈進(jìn)行仿真，給出舵機(jī)動(dòng)態(tài)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)下控制參數(shù)穩(wěn)定域的對比，如圖4所示。

圖4 靜穩(wěn)定非旋轉(zhuǎn)彈阻尼參數(shù)穩(wěn)定域Fig.4 Parameter stability region of damping parameters for statically stable non-spinning missile

通過計(jì)算分析可知，當(dāng)忽略彈體舵偏升力的影響時(shí)可得穩(wěn)定邊界條件為kω＞-0.009-569-89，而考慮彈體舵偏升力的影響時(shí)可得穩(wěn)定邊界條件為kω＞-0.009-569-83，對比可知舵面升力項(xiàng)對穩(wěn)定性邊界影響極小，可以忽略。馬格努斯力項(xiàng)與舵偏升力量級差異不大，因此下面仿真分析中均忽略慮馬格努斯力和舵面升力的影響?？紤]舵機(jī)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)時(shí)，參數(shù)K P與kω的穩(wěn)定域如圖4所示。隨著舵機(jī)控制參數(shù)的增大，考慮舵機(jī)動(dòng)態(tài)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)下的阻尼駕駛儀參數(shù)穩(wěn)定域趨于相同，即舵機(jī)的比例控制參數(shù)越大，其響應(yīng)時(shí)間T s越小，舵機(jī)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)對彈體運(yùn)動(dòng)影響越小。

上例是一個(gè)靜穩(wěn)定的非旋轉(zhuǎn)彈，現(xiàn)考慮一個(gè)靜不穩(wěn)定的彈體，保持其余參數(shù)不變，僅改變b11＝40，可得舵機(jī)控制參數(shù)與阻尼回路參數(shù)穩(wěn)定域關(guān)系如圖5所示。

圖5 靜不穩(wěn)定非旋轉(zhuǎn)彈阻尼參數(shù)穩(wěn)定域Fig.5 Parameters stability region of damping parameters for statically unstable non-spinning missile

考慮舵機(jī)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時(shí)，阻尼回路的下限分別是-（-b11-a1b22／b3a1）與-（-b22＋a1／b3）項(xiàng)，考慮舵機(jī)動(dòng)態(tài)響應(yīng)情況下，隨著舵機(jī)控制參數(shù)的增大，阻尼回路參數(shù)取值有嚴(yán)格的上下界限制。對比可知，僅考慮舵機(jī)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)求得的阻尼回路控制參數(shù)很可能會(huì)使系統(tǒng)不穩(wěn)定。因此，靜不穩(wěn)定的導(dǎo)彈僅依靠阻尼駕駛儀穩(wěn)定彈體時(shí)，應(yīng)重點(diǎn)考慮舵機(jī)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)對其影響。此外，觀察可知考慮舵機(jī)動(dòng)態(tài)響應(yīng)下，靜不穩(wěn)定的導(dǎo)彈僅依靠阻尼駕駛儀穩(wěn)定彈體參數(shù)穩(wěn)定區(qū)域取值范圍較為有限，這也是工程上較少單獨(dú)采用阻尼駕駛儀控制靜不穩(wěn)定彈體的原因。

旋轉(zhuǎn)彈阻尼回路反饋參數(shù)與舵機(jī)參數(shù)之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系如圖6所示。

圖6 不同舵機(jī)時(shí)間常數(shù)旋轉(zhuǎn)彈阻尼參數(shù)穩(wěn)定域Fig.6 Parameters stability region of damping parameters of spinning missile under different actuator time constant

圖6顯示，在彈體靜穩(wěn)定情況下，僅考慮舵機(jī)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時(shí)，kω存在下限值，沒有上限值；當(dāng)考慮舵機(jī)動(dòng)態(tài)響應(yīng)時(shí)，使得系統(tǒng)穩(wěn)定的kω取值范圍與僅考慮舵機(jī)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時(shí)接近，并且舵機(jī)時(shí)間常數(shù)越小，取值范圍越接近，同時(shí)kω的取值上限隨著舵機(jī)時(shí)間常數(shù)的增大快速減小。隨著舵機(jī)時(shí)間常數(shù)的減小，舵機(jī)響應(yīng)速度越來越快，舵機(jī)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)對彈體的影響也越來越小，表現(xiàn)在圖6中，即舵機(jī)時(shí)間常數(shù)趨于零時(shí)，舵機(jī)動(dòng)態(tài)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)下的kω的穩(wěn)定域趨于相同。

現(xiàn)分析不同靜穩(wěn)定度旋轉(zhuǎn)彈的阻尼系數(shù)取值范圍。保持其余旋轉(zhuǎn)彈飛行參數(shù)不變，僅改變b11，分析旋轉(zhuǎn)彈阻尼反饋參數(shù)的變化，結(jié)果如圖7所示。

圖7 不同靜穩(wěn)定度旋轉(zhuǎn)彈阻尼參數(shù)穩(wěn)定域Fig.7 Parameter stability region of damping parameters for spinning missile with different static stabilities

圖7顯示，僅考慮舵機(jī)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時(shí)，當(dāng)b11＜0，即彈體靜穩(wěn)定，kω的下限值為負(fù)數(shù)，且隨著靜穩(wěn)定度減小，kω下限值緩慢增大，當(dāng)b11＞0，kω的下限值為正數(shù)，且隨著靜不穩(wěn)定度增大，kω下限值迅速增大，這與非旋轉(zhuǎn)彈阻尼回路保持一致，同時(shí)也與Yan等人［11］的結(jié)果相符。當(dāng)考慮舵機(jī)動(dòng)態(tài)響應(yīng)時(shí)，kω的下限值與舵機(jī)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時(shí)接近，并且略有增大，但是僅考慮舵機(jī)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時(shí)，kω沒有上限值，考慮舵機(jī)動(dòng)態(tài)響應(yīng)時(shí)，kω的上限值被嚴(yán)格限制，并且隨著靜穩(wěn)定度減小略微增大，當(dāng)彈體靜不穩(wěn)定度到達(dá)一定程度時(shí)，不存在使得彈體穩(wěn)定的kω參數(shù)。

5 結(jié) 論

本文應(yīng)用勞斯判據(jù)推導(dǎo)了非旋轉(zhuǎn)彈阻尼回路反饋增益的穩(wěn)定邊界，得出舵機(jī)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)使非旋轉(zhuǎn)彈阻尼反饋增益發(fā)生變化，尤其對于靜不穩(wěn)定彈體，僅考慮舵機(jī)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)求得的阻尼回路控制參數(shù)很可能會(huì)使系統(tǒng)不穩(wěn)定。

應(yīng)用復(fù)姿態(tài)角方法和Lyapunov穩(wěn)定性判據(jù)推導(dǎo)了旋轉(zhuǎn)彈反饋增益的穩(wěn)定邊界，得出舵機(jī)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)使旋轉(zhuǎn)彈阻尼反饋增益穩(wěn)定區(qū)域變小，并且相較于僅考慮舵機(jī)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，舵機(jī)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)下，阻尼反饋參數(shù)上限隨著舵機(jī)時(shí)間常數(shù)增大快速減小。