江蘇蘇州市吳縣中學(xué)（215000）江佳慧

一、研究的目的和意義

第一，學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)能夠豐富學(xué)生解決問題的方法，鍛煉學(xué)生思考問題的能力。

在解答導(dǎo)數(shù)相關(guān)問題時(shí)，學(xué)生需要靈活運(yùn)用各種解題方法，全面掌握導(dǎo)數(shù)的所有知識點(diǎn)。在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)時(shí)，學(xué)生要轉(zhuǎn)變原有的數(shù)學(xué)觀，從不變到變化、從有限到無限、從靜態(tài)到動態(tài)、從常量到變量。

第二，微積分中包含極限思想、函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想等。在高中階段教授微積分可以鍛煉學(xué)生的探索意識和思維能力，提高學(xué)生解決問題的能力。

研究我國教育史可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容有限，發(fā)展十分緩慢。起初只教授算術(shù)，之后才在中學(xué)教材中逐步添加幾何、代數(shù)、數(shù)列和不等式等內(nèi)容，微積分這一部分知識在很長一段時(shí)間里都沒有被添加到高中教材中，高考也未涉及，只有一些學(xué)有余力的、有興趣、有天賦的學(xué)生把微積分作為數(shù)學(xué)學(xué)科競賽的參考資料去學(xué)習(xí)。這主要是因?yàn)椴糠盅芯繉W(xué)者認(rèn)為，微積分中的思想方法對于高中生來說是難以接受的，提早讓他們接觸這一部分內(nèi)容會讓他們心有余而力不足，逐漸失去探究解決數(shù)學(xué)問題的興趣。但是，隨著我國義務(wù)教育的全面普及，學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提高，學(xué)習(xí)資源與學(xué)習(xí)環(huán)境的逐步優(yōu)化，導(dǎo)數(shù)作為微積分的一部分基礎(chǔ)知識被納入教學(xué)大綱，成為高中數(shù)學(xué)選修教材內(nèi)容中的一部分，目的是做好高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)與高等數(shù)學(xué)微積分的銜接，鍛煉學(xué)生探索的意識，提高學(xué)生探究問題和解決問題的積極性，優(yōu)化學(xué)生解決問題的方法。

第三，從數(shù)學(xué)文化價(jià)值看，可讓學(xué)生通過自主探索數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展過程，體會數(shù)學(xué)的文化內(nèi)涵，激發(fā)學(xué)生的民族自豪感。

培養(yǎng)什么人，是教育的首要問題［1］。把立德樹人作為學(xué)校的立身之本，是時(shí)代的要求。

微積分的基礎(chǔ)內(nèi)容導(dǎo)數(shù)被寫進(jìn)了高中數(shù)學(xué)教材，高中生首次接觸到新的領(lǐng)域，面對新的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，肯定會對它的來歷和作用產(chǎn)生疑惑，它是怎么來的？有什么用處？在我國古代，劉徽提出割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣?！保?］其中涉及的分割思想、極限思想等都是微積分的雛形。雖然微積分的雛形在我國古代早已出現(xiàn)，但由于我國自古以來都是農(nóng)業(yè)生產(chǎn)國，數(shù)學(xué)發(fā)展進(jìn)程相比西方較慢。

了解數(shù)學(xué)史，一方面可以提升學(xué)生的民族自豪感、自信心，另一方面可以鼓勵學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)，增強(qiáng)學(xué)生的愛國主義精神。數(shù)學(xué)教師不能單純地教授課本知識，要在課本知識的基礎(chǔ)上，延伸數(shù)學(xué)思想，拓展傳播數(shù)學(xué)文化。

筆者基于HPM 設(shè)計(jì)高中微積分教學(xué)，將數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)問題貫穿整個教學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生自主探索、主動學(xué)習(xí)。

二、導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)設(shè)計(jì)

環(huán)節(jié)一：數(shù)學(xué)史情境引入

導(dǎo)入：17 世紀(jì)，牛頓熱衷于研究物體的運(yùn)動規(guī)律，他遇到這樣一個運(yùn)動：一輛馬車向前跑，路程s和時(shí)間t滿足s=t2。

分析：馬車1 s走完1 m，2 s走完4 m，3 s走完9 m，速度越來越快，顯然是做變速運(yùn)動，在牛頓之前研究物體的運(yùn)動規(guī)律的數(shù)學(xué)家能夠算出一段時(shí)間內(nèi)的平均速度，例如從第5 秒到第6 秒，小車從25 m處走到36 m處，這段路程的平均速度但牛頓并不滿足于算平均速度，他更想知道既然是變速運(yùn)動，那么速度是如何變化的，也就是每一個時(shí)刻的瞬時(shí)速度。

問題1：小車在第5秒的瞬時(shí)速度是多少？

分析：第5秒經(jīng)過的時(shí)間為0，經(jīng)過的路程還是0。牛頓將問題看成動態(tài)的，從平均速度的原理出發(fā)，逐步縮短時(shí)間間隔，計(jì)算第5 秒到第5.5 秒的平均 速 度：

問題2：10.5仍是平均速度，這么做有什么意義？

分析：雖然10.5 也不是瞬時(shí)速度，但是因?yàn)闀r(shí)間間隔縮短了，10.5比11更接近第5秒時(shí)的瞬時(shí)速度，所以只要不斷縮短時(shí)間間隔，求出平均速度，就會無限接近第5 秒時(shí)的瞬時(shí)速度，這就是微積分思想的雛形——無限接近思想。利用這個想法，牛頓最終求出瞬時(shí)速度。

活動：計(jì)算并觀察。

隨著時(shí)間間隔的縮短，平均速度越來越接近10 m/s。

理論依據(jù)：從第5 秒開始，取一個特別小的時(shí)間間隔Δt，第5 秒到第(5+Δt)秒這段時(shí)間的平均速度因?yàn)棣是一個特別小的數(shù)，所以可以將其舍去。

設(shè)計(jì)意圖：引用數(shù)學(xué)史，激發(fā)學(xué)生探索的興趣。引導(dǎo)學(xué)生感受牛頓用計(jì)算平均速度的方式推導(dǎo)出計(jì)算瞬時(shí)速度的過程，理解無限接近思想。

環(huán)節(jié)二：以數(shù)學(xué)史引出極限概念

情境引入：牛頓的想法公布后，數(shù)學(xué)家貝克萊指出了其中的問題：將Δt當(dāng)成一個非常小的量，但不是0，將其放在分母位置，約分后算到(10+Δt)時(shí)將其看作0 舍去，但如果Δt不是0，那么就不能舍去；如果是0，則怎么能放在分母位置？這一問題的提出，引發(fā)了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。這個問題目前還沒有得到完美解決，但不斷縮小時(shí)間間隔，用平均速度逼近瞬時(shí)速度，即為微積分思想的雛形。數(shù)學(xué)家是如何填補(bǔ)牛頓邏輯上的漏洞的呢？

問題3：牛頓最后算出(10+Δt)，直接舍去Δt，得到瞬時(shí)速度為10。

活動：列出下列表格。

分析：事實(shí)上，并不是舍去Δt，也不是令Δt等于0，而是讓(10+Δt)中的Δt不斷接近0，然后考慮(10+Δt)會如何變化。(10+Δt)不斷靠近10，離10越來越近，隨著Δt不斷趨近于0 而無限接近于10時(shí)的就是瞬時(shí)速度。由此引出了一個重要概念——極限。什么是極限？簡單來講就是，觀察一組數(shù)的變化過程，看它會不斷趨近于哪個數(shù)，最終趨近的那個數(shù)就叫作這個變化過程的極限。在上述例子中，我們就可以說，當(dāng)Δt趨近于0 時(shí)，(10+Δt)的極限等于10。

問題4：什么是趨近？多近才叫趨近？當(dāng)Δt趨近于0 時(shí)，(10+Δt)確實(shí)會不斷接近10，但它也會不斷接近9.9，為什么說極限是10，而不是9.9呢？

設(shè)計(jì)意圖：通過引入貝克萊指出牛頓想法中的問題這一情境，啟發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生用矛盾與發(fā)展的眼光看問題，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)創(chuàng)造的曲折性和嚴(yán)謹(jǐn)性，以及數(shù)學(xué)是不能模棱兩可地解釋的。

環(huán)節(jié)三：認(rèn)識極限

情境引入：法國數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾認(rèn)為，一個變量趨近于一個固定量，趨近的程度小于給定的任何正數(shù)，那么這個固定量就叫作這個變量的極限。這個想法道出了極限的精髓，首先極限主要研究變量的變化趨勢；其次極限的判斷標(biāo)準(zhǔn)為變量和極限的差小于任何給定的正數(shù)。

問題5：這個數(shù)列有沒有極限？

實(shí)際上，無論這個正數(shù)ε 怎么給，我們都可以在數(shù)列里找到某一項(xiàng)，從它開始，后面的數(shù)與0的差都小于這個定值。

為什么當(dāng)Δt趨近于0 時(shí)，(10+Δt)的極限是10，而不是其他的數(shù)，比如9.9呢？

變量(10+Δt)與定值10 之間趨近的程度，即|Δt|，Δt可以小于任意給定的正數(shù)，因?yàn)棣→0，因此我們可以說(10+Δt)的極限是10。為什么不是9.9 呢？因?yàn)?10+Δt) 與9.9的趨近程度為|Δt+0.1|，Δt→0，|Δt+0.1 |始終大于等于0.1，不小于任何給定的正數(shù)，所以(10+Δt)的極限不是9.9。

環(huán)節(jié)四：換個角度看瞬時(shí)速度

問題6：為什么瞬時(shí)速度就是平均速度的極限呢？

分析：路程s和時(shí)間t滿足s=t2，求t=5秒時(shí)的瞬時(shí)速度。

我們從第5 秒開始，取一個時(shí)間間隔Δt，算出第5 秒到第(5+Δt)秒這一段時(shí)間的平均速度==10+Δt，Δt趨近于0 時(shí)，平均速度(10+Δt)的極限10就是瞬時(shí)速度。

我們換一個角度，看看還能如何通過平均速度得到瞬時(shí)速度。在滿足s=t2的運(yùn)動中，小車的速度會越來越快，做加速運(yùn)動，t=5 秒時(shí)的瞬時(shí)速度v要小于其他時(shí)刻的瞬時(shí)速度，v一定小于這段時(shí)間內(nèi)的平均速度(10+Δt)，v＜(10+Δt)。因此，無論時(shí)間間隔多么小，瞬時(shí)速度v都小于平均速度(10 +Δt)，即這個式子對任意Δt ＞0恒成立。

活動：列表觀察。

得出結(jié)論：v≤10。為什么可以等于10 呢？因?yàn)棣＞0，所以(10+Δt)取不到10。因此，v可以取10，而這個10就是我們前面所說的極限。

問題7：這也只能說明v ＜10，怎么能說明v=10呢？

分析：剛才是取第5 秒后的時(shí)間段，下面我們來取第5 秒前的時(shí)間段(5 -Δt)s～5 s，再重復(fù)一遍剛才的過程。

環(huán)節(jié)五：引出導(dǎo)數(shù)概念

引出問題8：假設(shè)位移隨時(shí)間變化，位移和時(shí)間是兩個變量，滿足s=t2，兩個變量滿足一定的對應(yīng)關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的概念，用函數(shù)表示為f(x)=x2，前面我們了解到瞬時(shí)速度是平均速度的極限，那么平均速度和瞬時(shí)速度的抽象含義是什么呢？

問題8分析：平均速度的抽象含義。（如下表）

平均速度的抽象含義就是函數(shù)的平均變化率，它表現(xiàn)了函數(shù)在[5,5+Δx]上平均變化的趨勢。

活動：計(jì)算任意一點(diǎn)x=x0處的瞬時(shí)變化率。

瞬時(shí)速度的抽象含義即讓Δx→0，函數(shù)在[5,5+Δx]的變化會無限趨近于定值10。f(x)=x2在x=5 處的變化趨勢，也叫作x=5 處的瞬時(shí)變化率，換句話說，對于函數(shù)f(x)=x2，我們可以用牛頓的方法計(jì)算出x=5處的瞬時(shí)變化率：

總結(jié)：計(jì)算函數(shù)瞬時(shí)變化率的方法。

函數(shù)：y=f(x)；

固定自變量：x=x0，增量Δx；

函數(shù)值：f(x0)，f(x0+Δx)；

函數(shù)值的變化量：Δy=f(x0+Δx) -f(x0)。

當(dāng)Δx趨近于0 時(shí)趨近于定值l，l叫作函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=x0處的瞬時(shí)變化率。為了方便使用，數(shù)學(xué)家給函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=x0處的瞬時(shí)變化率起了新名字，叫作函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=x0處的導(dǎo)數(shù)，用符號f′(x0)表示。