廣東省信宜市華僑中學(xué)(525300) 張東成

廣東省華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 張 曦

立體幾何是高中數(shù)學(xué)課程的重要模塊,立體幾何解答題作為歷年高考的必考題,是考生“志在必得”的大題.在2022年新高考I卷中,該題難度中等,側(cè)重考查邏輯思維及空間想象等關(guān)鍵能力.從本次考試評卷反饋結(jié)果來看,依舊存在考生空間想象能力不足等問題.因此,本文從試題背景、試題分析、試題解析、解法評注、錯(cuò)因分析及備考建議五個(gè)方面給予解讀,希望有助于今后的高中教學(xué)及高考備考.

一、試題展示

題目(2022年新高考I卷第19題)如圖,直三棱柱ABC - A1B1C1的體積為4,ΔA1BC的面積為

(1)求A到平面A1BC的距離; (2)設(shè)D為A1C的中點(diǎn), AA1= AB,平面A1BC⊥平面ABB1A1,求二面角A - BD - C的正弦值.

圖1

圖2

二、背景剖析

命題背景《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2021修訂)》指出:“數(shù)學(xué)教材為‘教’與‘學(xué)’活動(dòng)提供學(xué)習(xí)主題、基本線索和具體內(nèi)容,是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)重要的教學(xué)資源”.回歸教材,筆者發(fā)現(xiàn)此題與新人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)(必修)》第二冊第164頁習(xí)題的拓展探索第19題如出一轍,題目如下:

教材母題如圖,在直三棱柱ABC - A1B1C1中,∠ABC = 90°, AA1= AB.求證: A1C⊥AB1.

命制思路該習(xí)題由已知AA1= AB得A1B⊥AB1,結(jié)合AB⊥BC通過線面垂直判定定理證明AB1⊥平面A1BC.此題利用該線面垂直關(guān)系,即AB1⊥平面A1BC,通過直三棱柱為載體設(shè)置了2個(gè)任務(wù):

任務(wù)1:利用直三棱柱與直三棱錐的體積公式求解點(diǎn)到面的距離,將任務(wù)2中求解未知邊的難度分散,考查學(xué)生的直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng);

任務(wù)2:借助任務(wù)1中點(diǎn)A1到面A1BC的距離,利用線面垂直AB1⊥平面A1BC求得未知邊的長度,從而求解二面角的正弦值,考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng).

知識背景此題以直三棱柱為載體,考查直線與直線垂直、直線與平面垂直等位置關(guān)系以及二面角,體積等基礎(chǔ)知識.下面將解法中涉及到的解題思路梳理如下.

表1 第(1)問解法匯總表

表2 第(2)問解法匯總表

三、解法評析

(1)試題分析由于題目直接給出直三棱柱ABC -A1B1C1的體積,及斜截面ΔA1BC的面積,故考慮從斜截面ΔA1BC為底面的直三棱錐A - A1BC入手.

試題解析

評注解法1逆用體積公式的解題思路更為清晰自然,絕大部分考生能夠利用該解法進(jìn)行求解,但若記錯(cuò)公式則會(huì)造成失分遺憾.解法2則避免了錐體與柱體的體積關(guān)系的誤用,部分考生還利用了二面角A - BC - A1的余弦值等于投影面積與原面積的比值作為中間量進(jìn)行求解,但相較解法1對直觀想象能力要求更強(qiáng).

(2)試題分析為求二面角A - BD - C的正弦值,則考慮先求解與該二面角相關(guān)的線段長度.本題涉及到的長度條件為第(1)問所求得的A到平面A1BC的距離,將問題轉(zhuǎn)化為尋找過點(diǎn)A且與A1B垂直的線段.結(jié)合已知條件知ABB1A1為正方形,有AB1⊥A1B,從而連結(jié)AB1交A1B于點(diǎn)E,即得出AE等線段長度.

解連結(jié)AB1交A1B于點(diǎn)E,因?yàn)锳A1= AB,所以AE⊥A1B,又平面A1BC⊥平面ABB1A1,所以AE⊥平面A1BC,則AE⊥BC.由(1)知A到平面A1BC的距離為AA1= AB = 2.

試題分析1由題目條件中已給出面面垂直等位置關(guān)系,可考慮借助“空間向量”這一有力的工具進(jìn)行求解.需先論證BC⊥A1B從而求解BC長度,可通過線面垂直的性質(zhì)定理直接論證(詳見解法1-1)或利用面面垂直判定線面垂直,結(jié)合線面垂直性質(zhì)定理論證(詳見解法1-2).求得線段長度后再論證面面垂直等位置關(guān)系,建立空間直角坐標(biāo)系,表示所需點(diǎn)、向量的坐標(biāo),求解兩個(gè)半平面的法向量,并求兩個(gè)法向量夾角的余弦值,完成解答(詳見解法1).

解法1-1(線面垂直性質(zhì)定理)在直三棱柱A1B1C1-ABC中,AA1⊥平面ABC,所以AA1⊥BC,從而BC⊥平面ABB1A1,故BC⊥AB,BC⊥A1B.由已知得BC×A1B =

解法1-2(面面垂直性質(zhì)定理)平面ABC⊥平面ABB1A1,平面A1BC⊥平面ABB1A1,平面ABC∩平面A1BC = BC.所以BC⊥平面ABB1A1, BC⊥AB,BC⊥AB1.由已知得BC×A1B =

解法1(空間向量法)連結(jié)AB1交A1B于點(diǎn)E,因?yàn)锳A1= AB,所以AE⊥A1B,又平面A1BC⊥平面ABB1A1,所以AE⊥平面A1BC,則AE⊥BC.

由(1)知A到平面A1BC的距離為,故AE =A1B =AA1= AB =2.以B為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸正方向,建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系B - xyz.則A(0,2,0), C (2,0,0), B1(0,0,2), D (1,1,1),= (1,1,1),= (0,-2,0),= (0,-2,2).設(shè)n = (x,y,z)是平面DAB的法向量,則

圖3

評注1解法1采用空間向量法,考生需論證面面垂直后進(jìn)行建系,正確寫出相關(guān)量的坐標(biāo),運(yùn)用空間向量求解二面角的正弦值.在論證BC⊥A1B,解法1-1更為簡潔明了,解法1-2中使用面面垂直的判定定理更易出錯(cuò).

試題分析2嘗試?yán)脦缀畏ㄇ蠼?根據(jù)二面角的平面角的定義,需要找出過公共棱BD上的某一點(diǎn)且分別在兩個(gè)半平面內(nèi)垂直于BD的兩條垂線.由于AE⊥平面A1BC即有AE⊥BD,則考慮過點(diǎn)A作AF⊥BD于點(diǎn)F,此時(shí), BD⊥平面AEF則有EF⊥BD,找到所求二面角的平面角的補(bǔ)角∠AFE(詳見解法2),將求解空間角的余弦值轉(zhuǎn)化為求解平面角∠AFE的余弦值,求解∠AFE余弦值有兩種思路:

解法2(幾何法—二面角的平面角的補(bǔ)角)過點(diǎn)A作AF⊥BD于點(diǎn)F,連結(jié)EF,由于AE⊥平面A1BC,則EF⊥BD,從而∠AFE是二面角A - BD - C的平面角的補(bǔ)角.在直角三角形A1BC中,由于點(diǎn)D為A1C的中點(diǎn),則BD =

圖4

圖5

解法評注2與解法2-2中使用三角形面積比例關(guān)系進(jìn)行求解,解法2-1采用“等面積法”求解AF較為簡潔明了,但也對空間想象能力要求更高.

圖6

圖7

試題分析3嘗試?yán)脦缀畏?同解法2考慮過點(diǎn)A作AF⊥BD于點(diǎn)F,此時(shí)可以利用全等三角形證明CF⊥BD,從而找到二面角的平面角為∠AFC,進(jìn)而利用余弦定理求解的正弦值(詳見解法3).

解法3(幾何法——二面角的平面角)過點(diǎn)A作AF⊥BD于點(diǎn)F,連結(jié)CF,由于AB = BC, AD = CD,則ΔABD∽=ΔCBD.從而CF⊥BD,∠AFC是二面角A - BD - C的平面角.又CF = AF =(求解AF同解法2).由于cos∠AFC =故二面角A - BD - C的正弦值為sin∠AFC =.

解法評注3解法2、3采用幾何法,按照“一作、二證、三指、四求、五答”的步驟進(jìn)行[1].解法2、3對考生的空間想象能力和邏輯思維能力的要求較高,而運(yùn)算求解能力要求相對較低.相較解法3,解法2中空間角轉(zhuǎn)化為平面角更加抽象但求解時(shí)更為直觀.

綜述該題難度中等,解法多樣,對于區(qū)分不同層次的考生起到了良好的效果,體現(xiàn)出高考“以能力立意為主,突出選拔功能”的思想.筆者認(rèn)為其中蘊(yùn)含的“降維升維”思想實(shí)在是妙.一是要利用“降維”,將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題,如將空間角轉(zhuǎn)化為平面角;二是要學(xué)會(huì)“升維”,將平面幾何問題推廣至空間幾何問題,如“等面積法”推廣至“等體積法”.除此之外,從知識立意到能力立意,再到素養(yǎng)立意,該題的精妙之處值得細(xì)細(xì)品味.

四、錯(cuò)因分析

基于桑代克的學(xué)習(xí)試誤說、建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論,筆者將該題的主要錯(cuò)誤按照五種錯(cuò)誤類型匯總?cè)缦?

表3 主要錯(cuò)誤分類匯總表

五、真題評述

表4 基于直觀想象素養(yǎng)視角2022年6套高考數(shù)學(xué)試卷立體幾何解答題分析表

2020年10月,中共中央、國務(wù)院印發(fā)的《深化新時(shí)代教育評價(jià)改革總體方案》提出,構(gòu)建引導(dǎo)學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展的考試內(nèi)容體系,改變相對固化的試題形式,增強(qiáng)試題開放性,減少死記硬背和“機(jī)械刷題”現(xiàn)象.

而近年來,立體幾何解答題基本上是給出傳統(tǒng)的幾何體,進(jìn)行線面關(guān)系的論證和空間角的求解,這一模式化命題慢慢成為固定套路的題目,在學(xué)生備考時(shí)往往充當(dāng)了機(jī)械化訓(xùn)練的推手[2].

筆者嘗試將2022年教育部教育考試院命制6套高考數(shù)學(xué)試卷,包括全國甲卷2套(文、理科)、全國乙卷2套(文、理科)、新高考I卷1套(不分文理科)、新高考Ⅱ卷(不分文理科)的立體幾何解答題根據(jù)直觀想象素養(yǎng)水平的描述從情境與問題、知識與技能、思維與表達(dá)這三方面進(jìn)行試題分析.

不難發(fā)現(xiàn),今年高考仍舊以常見幾何體為載體考查線面位置關(guān)系、點(diǎn)到直線距離、體積等基礎(chǔ)知識點(diǎn),但在傳統(tǒng)的命題模式上有所創(chuàng)新,筆者認(rèn)為有以下三大亮點(diǎn):

亮點(diǎn)之一,在知識交匯處命題,如全國乙卷(理科)涉及全等三角形、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、最值等知識的綜合應(yīng)用.

亮點(diǎn)之二,改變不同特征量的邏輯聯(lián)結(jié)順序.如全國乙卷(理科)從以往的“求最值”改編為“已知最值,求線面角”,部分試題考查定理的逆用.

亮點(diǎn)之三,敢于打破模式化命題.如新高考I卷中第(1)問由傳統(tǒng)線面關(guān)系的定性論證,變化為從能力立意的角度考查點(diǎn)到平面距離的定量求解.

綜合以上命題亮點(diǎn),筆者認(rèn)為這正是發(fā)揮著高考指揮棒的“引導(dǎo)”作用,向廣大考生的傳送信息:不可一味的追求固定套路的訓(xùn)練,應(yīng)當(dāng)更注重理解知識、發(fā)展思維能力.

六、備考建議

基于今年高考評卷過程中出現(xiàn)的典型錯(cuò)誤及歷年真題考查的特點(diǎn),希望如下的建議對新一年度備考有所啟示.

(一)注重知識基礎(chǔ),更注重思維發(fā)展

數(shù)學(xué)學(xué)科在高中階段教育中的特殊地位是由它在訓(xùn)練和發(fā)展學(xué)生抽象思維、邏輯思維以及改變學(xué)生的思維方式方面的獨(dú)特功用所決定的.正確的高考數(shù)學(xué)導(dǎo)向無疑應(yīng)是肯定數(shù)學(xué)對每一位學(xué)生發(fā)展和完善自身思維方式的價(jià)值,激勵(lì)和促使學(xué)生在高中學(xué)習(xí)階段追求提高其抽象思維能力和邏輯分析能力,使其會(huì)更加邏輯地分析問題和看待世界[3].

根據(jù)范希爾幾何思維層次理論,立體幾何解答題以線面關(guān)系為邏輯主線,綜合考查推理計(jì)算,其實(shí)質(zhì)是考查考生的幾何思維是否由視覺辨認(rèn)的基本層次發(fā)展至高層次的嚴(yán)密邏輯推理層次.深入理解基礎(chǔ)知識必然是幾何思維發(fā)展的要素之一.

但教師在教學(xué)時(shí)往往在概念形成上用時(shí)較短,把教學(xué)重心放在了定理的應(yīng)用上,而從考生實(shí)際作答情況來看,在答題時(shí)對基本概念認(rèn)知不清晰和運(yùn)算所需公式記憶出錯(cuò)是得分不理想的一個(gè)重要原因[4].

因此,在備考復(fù)習(xí)中一定要重視對基本概念、公式、定理的再理解,在概念教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)對概念的解剖分析、利用變式突出概念的本質(zhì)屬性、注意概念的對比和直觀化、注意概念體系的建構(gòu);在原理定理教學(xué)中應(yīng)當(dāng)提供豐富的例子、聯(lián)系已學(xué)過的知識、讓學(xué)生學(xué)會(huì)應(yīng)用;在公式教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)對公式的理解[5].正所謂“磨刀不誤砍柴工”,只有理解了基礎(chǔ)知識,才能進(jìn)一步發(fā)展并最終形成真正的幾何思維,從而提高解題能力.

(二)落實(shí)通性通法,更落實(shí)關(guān)鍵能力

通性通法是指解決具有相同性質(zhì)數(shù)學(xué)問題的思想方法[6].以基礎(chǔ)知識為依托,以基本方法為技能,通法的思維方式本質(zhì)上是定勢思維,適度的進(jìn)行有利于正遷移的訓(xùn)練其操作過程易于為多數(shù)學(xué)生所掌握.因此,在立體幾何的教學(xué)中強(qiáng)調(diào)向量法等通法的掌握是十分必要的.

但是,未經(jīng)合理設(shè)計(jì)的刷題練習(xí)可能因過度關(guān)注技巧而弱化了模塊內(nèi)部或模塊之間的整合,致使學(xué)生頭腦中都是分散的知識碎片.因此,教學(xué)備考中教師應(yīng)當(dāng)把握命題精神,精選題,將學(xué)生從題海中解放出來.

2019年,高考數(shù)學(xué)科就提出了5項(xiàng)關(guān)鍵能力:邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)建模能力和創(chuàng)新能力.而在命題中,關(guān)鍵能力是具體的考查目標(biāo),是實(shí)現(xiàn)學(xué)科素養(yǎng)考查目標(biāo)的手段和媒介[7].從考生的作答情況來看多數(shù)考生的關(guān)鍵能力還有提升空間.因此,對于重要的通性通法,不僅要懂得如何操作,還要理解如此操作的合理性,從而提升關(guān)鍵能力.