曹 慧， 段 富 海

(大連理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院, 遼寧 大連 116024)

0 引 言

復(fù)雜退化系統(tǒng)的特點(diǎn)是系統(tǒng)組成部件數(shù)目較多，各部件間存在著明顯的結(jié)構(gòu)特征，如串/并聯(lián)、冗余、k-n、橋等.受環(huán)境、負(fù)載、老化等問(wèn)題影響，系統(tǒng)部件的性能特征逐漸退化直至失效.系統(tǒng)常配備連續(xù)監(jiān)測(cè)部件，如傳感器、計(jì)量?jī)x表等，能夠?qū)崟r(shí)獲取系統(tǒng)部件退化狀態(tài)數(shù)據(jù)信息.當(dāng)復(fù)雜系統(tǒng)執(zhí)行到某退化狀態(tài)需進(jìn)行維修操作，但由于維修資源有限，如維修時(shí)間和成本有限，不能同時(shí)對(duì)所有系統(tǒng)部件進(jìn)行適當(dāng)維修操作時(shí)，可采用選擇性維修策略[1].

復(fù)雜退化系統(tǒng)的選擇性維修方式主要有更換性維修和預(yù)防性維修兩種.更換性維修使系統(tǒng)“修復(fù)如新”，是完美的維修方式.而預(yù)防性維修可將系統(tǒng)恢復(fù)到介于“修復(fù)如新”和“如舊”的中間狀態(tài)，是一種非完美的維修方式.在實(shí)際工程應(yīng)用中，這兩種維修方式可以描述大部分的維修活動(dòng).Nakagawa[2]率先在風(fēng)險(xiǎn)率或役齡模型中引入改善因子來(lái)描述預(yù)防性維修的非完美屬性，提出了一種結(jié)合風(fēng)險(xiǎn)率模型和役齡退回模型優(yōu)點(diǎn)的混合模型.Pandey等[3]和Liu等[4]基于混合模型，討論了考慮預(yù)防性維修的復(fù)雜系統(tǒng)選擇維修問(wèn)題.在上述研究中，預(yù)防性維修的改善因子通常假定為常數(shù).實(shí)際上，由于維修人員的專業(yè)水平、工具和維修環(huán)境等因素的限制，系統(tǒng)維修質(zhì)量往往是隨機(jī)的.針對(duì)這一問(wèn)題，Duan等[5]提出一種基于隨機(jī)維修質(zhì)量的系統(tǒng)選擇性維修模型.然而，該模型忽略了系統(tǒng)部件以往維修情況對(duì)維修質(zhì)量的影響.在退化系統(tǒng)的維修決策中，系統(tǒng)部件的維修情況會(huì)影響其退化狀態(tài)，而系統(tǒng)部件的退化狀態(tài)直接影響了系統(tǒng)維修質(zhì)量.因此，在建立適用于退化系統(tǒng)的隨機(jī)維修質(zhì)量模型時(shí)，還應(yīng)充分考慮系統(tǒng)部件以往的維修情況.

綜上所述，本文以退化狀態(tài)可監(jiān)測(cè)的復(fù)雜系統(tǒng)為研究對(duì)象，提出基于部件隨機(jī)維修質(zhì)量的選擇性維修策略.該策略以系統(tǒng)執(zhí)行下一任務(wù)的預(yù)測(cè)可靠度為目標(biāo)建立維修優(yōu)化模型并利用遺傳算法(GA)搜索得到系統(tǒng)最優(yōu)維修決策，從而為決策者制訂合理的系統(tǒng)維修計(jì)劃提供理論支撐.

1 退化系統(tǒng)可靠度模型

1.1 系統(tǒng)部件可靠度模型

本文選擇Wiener過(guò)程作為刻畫部件性能退化過(guò)程的基礎(chǔ)模型.令隨機(jī)過(guò)程X(t)(t≥0)表示部件i的性能退化量.部件i的退化過(guò)程可用如下線性Wiener過(guò)程刻畫：

(1)

假設(shè)部件退化量Xi(t)累積到設(shè)定失效閾值li時(shí)發(fā)生退化失效，可定義部件失效時(shí)間Ti為退化量Xi(t)首次到達(dá)或超過(guò)失效閾值li的時(shí)間，即

Ti=inf{t|Xi(t)≥li，t≥0}

(2)

易知Ti應(yīng)服從逆高斯分布.

假設(shè)部件i運(yùn)行到時(shí)刻τ仍未失效，且當(dāng)前性能退化量為dτ，i(dτ，i

Tτ，i=inf{t|Xi(t+τ)≥li，Xi(τ)=dτ，i，t≥0}=

inf{t|Xi(t+τ)-Xi(τ)≥li-dτ，i，t≥0}=

inf{t|Xi(t)≥li-dτ，i，t≥0}

(3)

失效時(shí)間Tτ，i仍服從逆高斯分布，其密度函數(shù)只需將Ti密度函數(shù)中的失效閾值li替換為li-dτ，i即可.

由可靠度的定義可知，可靠度是在規(guī)定時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)及部件能夠正常運(yùn)轉(zhuǎn)或服務(wù)正常的概率.因此，部件i的可靠度可表示為Ri(t)=1-Fi(t).即可得到部件i運(yùn)行到任意時(shí)刻τ時(shí)，關(guān)于時(shí)間t的預(yù)測(cè)可靠度，可表示為

(4)

1.2 系統(tǒng)可靠度分析模型

鑒于復(fù)雜退化系統(tǒng)的特點(diǎn)是系統(tǒng)部件數(shù)目較多，且各部件間存在著明顯的性能退化特征，本文采用GO法[6](goal oriented methodology)建立系統(tǒng)退化可靠性評(píng)估模型.GO法系統(tǒng)可靠性分析的過(guò)程是以操作符描述系統(tǒng)各部件，再以信號(hào)流連接操作符建立的系統(tǒng)GO圖模型.對(duì)系統(tǒng)GO圖進(jìn)行GO運(yùn)算，得到系統(tǒng)輸出狀態(tài)值和狀態(tài)概率，再評(píng)估系統(tǒng)可靠性[7-8].

2 退化系統(tǒng)選擇性維修策略

2.1 系統(tǒng)維修過(guò)程基本假設(shè)

根據(jù)退化系統(tǒng)的特點(diǎn)，需對(duì)系統(tǒng)選擇性維修過(guò)程做如下基本假設(shè)：

(1)系統(tǒng)由n(i=1，…，n)個(gè)部件組成，在系統(tǒng)運(yùn)行過(guò)程的任意時(shí)刻，描述部件性能退化狀態(tài)的累積退化量可通過(guò)傳感器監(jiān)測(cè)得到.

(2)系統(tǒng)進(jìn)入維修間隔期后，系統(tǒng)部件的退化進(jìn)程進(jìn)入停滯狀態(tài).維修人員可根據(jù)系統(tǒng)部件當(dāng)前的退化水平和故障狀態(tài)，對(duì)各部件執(zhí)行預(yù)防性更換或維修操作.各維修操作均可有效改善部件當(dāng)前的退化水平，改善程度與部件當(dāng)前退化水平有關(guān).

(3)經(jīng)更換性維修后，系統(tǒng)部件狀態(tài)恢復(fù)到完好狀態(tài).經(jīng)預(yù)防性維修后，系統(tǒng)部件恢復(fù)到介于完好狀態(tài)和當(dāng)前退化狀態(tài)的中間狀態(tài).

(4)系統(tǒng)采取的任何維修操作都在維修間隔期內(nèi)完成，執(zhí)行維修操作所需維修人員、備件充足，且維修過(guò)程不受維修地點(diǎn)和維修工具等的限制.

2.2 系統(tǒng)部件維修質(zhì)量模型

一般地，維修后系統(tǒng)部件的狀態(tài)取決于采取何種維修操作方式，且各種維修方式的維修質(zhì)量應(yīng)與分配給該部件的維修費(fèi)用和部件當(dāng)前的退化狀態(tài)有關(guān)[5].

(5)

(6)

式中：a、b是維修費(fèi)用的調(diào)整參數(shù)；ci表示部件i的維修費(fèi)用，cr，i表示部件i的更換性維修費(fèi)用，0

若系統(tǒng)部件已經(jīng)經(jīng)歷了多次預(yù)防性維修操作，部件i的預(yù)防性維修質(zhì)量隨預(yù)防性維修次數(shù)的增多而下降.此時(shí)，系統(tǒng)部件的維修質(zhì)量還應(yīng)與該部件已執(zhí)行維修操作的次數(shù)有關(guān).

(7)

式中：g是模型的調(diào)整參數(shù).γi表示部件i的維修次數(shù)，γi=1時(shí)，表示進(jìn)入當(dāng)前維修間隔期前，部件i未進(jìn)行預(yù)防性維修操作，且在當(dāng)前維修間隔期內(nèi)部件首次采取預(yù)防性維修操作時(shí)，式(7)與式(6)形式相同.

(8)

(9)

式中：g1、g2是模型的調(diào)整參數(shù).

(10)

累積分布函數(shù)可表示為

(11)

綜上所述，在預(yù)防性維修質(zhì)量隨機(jī)的條件下，若已知系統(tǒng)執(zhí)行第k+1次任務(wù)的時(shí)間為θk+1，則對(duì)于執(zhí)行第k次任務(wù)后退化量已知的任意系統(tǒng)部件i，根據(jù)式(4)可得該部件維修后，執(zhí)行第k+1次任務(wù)的預(yù)測(cè)可靠度：

(12)

2.3 維修費(fèi)用和時(shí)間模型

假設(shè)在系統(tǒng)第k次任務(wù)完成后的維修間隔期內(nèi)，若系統(tǒng)部件i被選擇執(zhí)行維修操作，則其要么更換，要么進(jìn)行預(yù)防性維修.且考慮到系統(tǒng)多個(gè)部件同時(shí)進(jìn)行維修時(shí)，存在正的經(jīng)濟(jì)相關(guān)性[9-10]，維修總費(fèi)用應(yīng)減去由共同維修多個(gè)部件節(jié)省的基本維修費(fèi)用.此時(shí)，系統(tǒng)總維修費(fèi)用表示為

(13)

式中：cs表示系統(tǒng)執(zhí)行維修操作的基本費(fèi)用；C(k)表示系統(tǒng)第k次任務(wù)完成后的維修間隔期內(nèi)，系統(tǒng)維修操作消耗的總費(fèi)用；cp，i表示部件i的預(yù)防性維修費(fèi)用，cr，i表示部件i的更換性維修費(fèi)用，0

同理，系統(tǒng)總的維修時(shí)間應(yīng)為所有選擇維修操作部件消耗的維修時(shí)間之和，表達(dá)式為

(14)

式中：T(k)表示系統(tǒng)第k次任務(wù)完成后的維修間隔期內(nèi)，執(zhí)行維修操作消耗的總時(shí)間；tp，i表示部件i的預(yù)防性維修時(shí)間，tr，i表示部件的更換性維修時(shí)間，0

2.4 維修優(yōu)化模型

在完成第k次任務(wù)進(jìn)入維修間隔期后，系統(tǒng)選擇性維修策略優(yōu)化過(guò)程為以系統(tǒng)執(zhí)行第k+1次任務(wù)的總維修費(fèi)用和總維修時(shí)間為約束，以最大化系統(tǒng)執(zhí)行第k+1次任務(wù)的預(yù)測(cè)可靠度為目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化，從全部系統(tǒng)部件中選擇亟待維修部件并確定其維修操作方式.選擇性維修優(yōu)化目標(biāo)模型可表示為

(15)

式(15)限制了系統(tǒng)總的維修費(fèi)用不能超過(guò)設(shè)定維修成本c0及系統(tǒng)總的維修時(shí)間不能超過(guò)設(shè)定維修時(shí)間t0.

本節(jié)采用遺傳算法(GA)解決退化系統(tǒng)選擇性維修目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題[11].基于GA的維修優(yōu)化過(guò)程：首先，隨機(jī)生成包含所有系統(tǒng)部件維修決策信息的二進(jìn)制編碼向量作為初始種群.該維修決策向量的編碼方式如圖1所示.根據(jù)系統(tǒng)部件的維修選擇情況和維修方式，每個(gè)部件可分配2 bit空間，1 bit表示維修選擇變量Vi(k)，1 bit表示部件的維修方式變量εi(k).以圖1所示的n部件編碼結(jié)構(gòu)為例，部件1編碼為01，說(shuō)明其未被選擇進(jìn)行維修；部件2編碼為11，說(shuō)明其被選擇且進(jìn)行了預(yù)防性維修操作.根據(jù)系統(tǒng)部件的數(shù)量，種群中維修決策向量個(gè)體長(zhǎng)度應(yīng)為2n，算法的搜索空間應(yīng)為22n.

其次，計(jì)算種群中各向量的適應(yīng)度，從種群中選擇滿足最優(yōu)適應(yīng)度的向量作為親本進(jìn)行交叉和變異操作.當(dāng)?shù)螖?shù)達(dá)到設(shè)定值時(shí)，確定在相應(yīng)維修約束條件下，優(yōu)化目標(biāo)模型達(dá)到最優(yōu)值的維修決策向量.

3 算例分析

表1 系統(tǒng)部件退化狀態(tài)與維修資源參數(shù)

GA的優(yōu)化過(guò)程參數(shù)設(shè)置如下：種群大小設(shè)置為200，最大迭代次數(shù)g=300，交叉、變異概率設(shè)置為0.2.GA的迭代過(guò)程收斂性如圖3所示.算法優(yōu)化得到的系統(tǒng)最優(yōu)維修決策如表2所示.

由表2可知，考慮預(yù)防性維修時(shí)，系統(tǒng)維修的最優(yōu)決策為操作符5-1、5-2、1-12和1-17采取更換性維修操作，操作符5-3、1-14和1-15采取預(yù)防性維修操作，其余部件則未被選擇采取維修操作.此時(shí)，根據(jù)隨機(jī)維修質(zhì)量模型得到的系統(tǒng)執(zhí)行第k+1次任務(wù)的預(yù)測(cè)可靠度為0.839 5，系統(tǒng)維修所需的費(fèi)用為1 693美元，維修時(shí)間為175 h.

表2中還給出了在確定維修質(zhì)量模型(考慮、不考慮維修次數(shù)兩種情況)，以及不考慮維修次數(shù)時(shí)的隨機(jī)維修質(zhì)量模型等各種維修質(zhì)量模型下，系統(tǒng)的預(yù)測(cè)可靠度評(píng)估結(jié)果.通過(guò)比較可知，(1)考慮隨機(jī)維修質(zhì)量下，系統(tǒng)預(yù)測(cè)可靠度為0.846 2、0.839 5，分別高于同類確定質(zhì)量模型得到的系統(tǒng)預(yù)測(cè)可靠度0.01%、4.48%；(2)考慮維修次數(shù)的維修質(zhì)量模型得到的系統(tǒng)預(yù)測(cè)可靠度為0.794 7、0.839 5，相較同類模型不考慮維修次數(shù)時(shí)分別降低了5.14%、0.67%.

進(jìn)一步分析給定的維修資源總量大小對(duì)系統(tǒng)維修優(yōu)化結(jié)果的影響，以執(zhí)行第k+1次任務(wù)的系統(tǒng)最大化預(yù)測(cè)可靠度為優(yōu)化目標(biāo)時(shí)，最大預(yù)測(cè)可靠度相對(duì)維修費(fèi)用和維修時(shí)間敏感性如圖4所示.其中，將系統(tǒng)維修時(shí)間設(shè)定為175 h，令系統(tǒng)維修費(fèi)用在[1 300，1 900]美元內(nèi)以步長(zhǎng)100美元逐漸增加，得到的系統(tǒng)最大預(yù)測(cè)可靠度在圖4(a)中給出.將系統(tǒng)維修費(fèi)用設(shè)定為1 700美元，令系統(tǒng)的維修時(shí)間在[135，195]h內(nèi)以步長(zhǎng)10 h逐漸增加，得到的系統(tǒng)最大預(yù)測(cè)可靠度變化情況在圖4(b)中給出.

根據(jù)圖4可知，系統(tǒng)執(zhí)行第k+1次任務(wù)的最大預(yù)測(cè)可靠度隨給定的維修費(fèi)用和維修時(shí)間的增加而增大.圖4(a)中，系統(tǒng)預(yù)測(cè)可靠度的增大趨勢(shì)停止在1 600美元，隨后因受限于維修時(shí)間，隨著維修費(fèi)用的增加，系統(tǒng)的預(yù)測(cè)可靠度不再增大.類似地，在圖4(b)中，受限于維修費(fèi)用，系統(tǒng)預(yù)測(cè)可靠度隨維修時(shí)間的增長(zhǎng)趨勢(shì)停止在185 h.

4 結(jié) 語(yǔ)

本文建立了以可靠度為中心的選擇性維修策略模型，并在所建立的維修決策模型中，充分考慮了系統(tǒng)非完美維修部件的隨機(jī)維修質(zhì)量對(duì)系統(tǒng)可靠性評(píng)估和維修決策的影響.根據(jù)航空發(fā)動(dòng)機(jī)控制系統(tǒng)算例的仿真結(jié)果可知：(1)受維修次數(shù)的影響，部件隨機(jī)維修質(zhì)量水平降低，系統(tǒng)可靠度評(píng)估結(jié)果為0.839 5，相較于確定維修質(zhì)量的評(píng)估結(jié)果降低0.66%.(2)系統(tǒng)執(zhí)行下一任務(wù)的預(yù)測(cè)可靠度隨著維修資源水平的增加而增長(zhǎng).在某一維修資源為定值時(shí)，系統(tǒng)預(yù)測(cè)可靠度的增長(zhǎng)幅度最終將因受限于該資源而趨于穩(wěn)定.可見，利用本文所提系統(tǒng)部件隨機(jī)維修質(zhì)量模型進(jìn)行系統(tǒng)可靠性評(píng)估，所得結(jié)果準(zhǔn)確有效，可用于指導(dǎo)后續(xù)系統(tǒng)維修決策.同時(shí)，基于隨機(jī)維修質(zhì)量的選擇性維修策略還可幫助維修決策者在制訂合理維修計(jì)劃的同時(shí)避免維修資源的浪費(fèi).