劉可馨，劉高生，趙靜文

(1.天津商業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，天津 300134； 2.天津城建大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，天津 300384)

1 分位數(shù)回歸模型

分位數(shù)回歸模型[1]將數(shù)據(jù)按因變量拆分成多個分位數(shù)點(diǎn)，研究不同分位點(diǎn)情況下的回歸影響關(guān)系情況。分位數(shù)回歸主要有兩個作用：一是分析不同分位數(shù)條件下自變量對于因變量的影響關(guān)系；二是分位數(shù)回歸模型具有穩(wěn)健性。由于模型中可能存在異常值、異方差等問題，會導(dǎo)致回歸結(jié)果出現(xiàn)偏差，通過線性回歸模型無法了解自變量對于因變量的影響關(guān)系，因此建立分位數(shù)回歸模型，可以很好地解決異常值及異方差等問題[2-3]。

2 R軟件中的模型實(shí)施過程

R軟件是開源、免費(fèi)統(tǒng)計軟件，R軟件及其軟件包都很容易得到。由于研究者可提交軟件包，許多前沿統(tǒng)計方法均可在R軟件中實(shí)現(xiàn)。本研究給出了數(shù)字金融發(fā)展對企業(yè)金融資產(chǎn)投資的影響程度分析的R軟件實(shí)施過程。利用glmnet()函數(shù)進(jìn)行l(wèi)asso變量選擇，利用step()函數(shù)進(jìn)行再次變量選擇，利用lm()函數(shù)建立多元線性回歸模型，由于殘差為非正態(tài)分布，利用rq()函數(shù)建立分位數(shù)回歸模型。

2.1 主要函數(shù)說明

lasso函數(shù)：glmnet()函數(shù)，通過懲罰的最大似然擬合廣義線性模型。函數(shù)用法：glmnet(x,y,…)。主要參數(shù)：x每行都是一個觀測向量，可以采用稀疏矩陣格式；y是響應(yīng)變量。cv.glmnet()，對 glmnet 進(jìn)行 k 折疊交叉驗(yàn)證，生成一個繪圖并返回一個值，函數(shù)用法：cv.glmnet(x,y,…)。

逐步回歸函數(shù)：step()函數(shù)，通過AIC選擇基于公式的模型。函數(shù)用法：step(object, scope, scale=0,direction=c(″both″, ″backward″, ″forward″), trace=1, keep=NULL, steps=1000, k=2,…) 。主要參數(shù)：object用作逐步搜索中的初始模型，如“l(fā)m”。Scope是在逐步搜索中檢查模型范圍。Scale是定義AIC統(tǒng)計量時用于選擇模型。

多元線性回歸函數(shù)：lm()函數(shù)。函數(shù)用法：lm(formula,data,subset,weights, na.action,method =″qr″,model=TRUE,x=FALSE,y=FALSE,qr=TRUE,singular.ok=TRUE,contrasts=NULL,offset,…)。 主要參數(shù): formula是要擬合的模型符號描述，data是包含模型中變量的可選數(shù)據(jù)框、列表或環(huán)境。

分位數(shù)回歸：rq()函。函數(shù)用法：rq(formula, tau=.5,…)。主要參數(shù)：formula是一個公式對象，tau是要估計的分位數(shù)，通常是介于0和1之間。

2.2 應(yīng)用實(shí)例及解釋

2.2.1 建模步驟

為研究數(shù)字金融發(fā)展對企業(yè)金融資產(chǎn)投資的影響，以企業(yè)金融資產(chǎn)投資為因變量，選擇的控制變量[4-5]依次為：x1：企業(yè)規(guī)模，以總資產(chǎn)的自然對數(shù)表示；x2：企業(yè)資產(chǎn)負(fù)債率，以總負(fù)債占總資產(chǎn)的比重表示；x3：資產(chǎn)收益率，即公司凈利潤與總資產(chǎn)之比；x4：經(jīng)營性現(xiàn)金流，以經(jīng)營性現(xiàn)金流量凈額與總資產(chǎn)之比表示。核心自變量指標(biāo)，x5：時間變量，x6:數(shù)字金融發(fā)展水平[6]。采用北京大學(xué)普惠數(shù)字金融指數(shù)省級層面指數(shù)來表示。所用數(shù)據(jù)為2011-2018年A股上市公司的經(jīng)營活動相關(guān)的年度數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來源于國泰安數(shù)據(jù)庫。

第一步：讀入數(shù)據(jù)，設(shè)置所需要的自變量，并對自變量進(jìn)行預(yù)處理。read()讀入數(shù)據(jù)，將數(shù)據(jù)中的自變量設(shè)為x1，x2，x3，x4，x5，x6；scale()函數(shù)對數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。第二步：進(jìn)行l(wèi)asso回歸。cv.glmnet()對自變量及其交叉項(xiàng)進(jìn)行l(wèi)asso回歸；plot()畫出回歸圖。第三步：對lasso回歸中的自變量進(jìn)行逐步回歸，選擇最優(yōu)變量。step()進(jìn)行逐步回歸，利用AIC最小準(zhǔn)則，選出顯著性最好的變量。第四步：對上一步得出的最優(yōu)變量進(jìn)行多元線性回歸。lm()進(jìn)行擬合。第五步：對線性回歸的方程進(jìn)行殘差分析。第六步：進(jìn)行分位數(shù)回歸。rq()函數(shù)進(jìn)行分位數(shù)回歸。

2.2.2 實(shí)證分析及結(jié)果展示

加載需要的包。需要的函數(shù)包主要為glmnet包、corrplot包及quantreg包。代碼如下：library(corrplot); library(SparseM); library(quantreg);library(Matrix);library(glmnet)。

讀取數(shù)據(jù)，對數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理再進(jìn)行分析。lasso回歸進(jìn)行變量選擇，采用cv.glmnet()函數(shù)對自變量及其交叉項(xiàng)進(jìn)行l(wèi)asso回歸，代碼如下：

xx=cbind(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x1*x6,x2*x6,x3*x6,x4*x6,x5*x6,x6*x6)

fit=cv.glmnet(xx, fin_asset)

lambda.optimal=fit$lambda.min

coef(fit, s=lambda.optimal)

輸出結(jié)果為：

13x1 sparse Matrix of class ″dgCMatrix″

s1(Intercept) -0.013778022V1 -0.407741047V2 0.237473071V3 0.046858447V4 -0.005865020V5 0.080697212V6 0.027976089V7 -0.049587383V8 0.027701505V9 0.004126360V10 -0.003231403V11 . V12 0.016716786

根據(jù)lasso回歸結(jié)果顯示，去掉了變量x5*x6，保留了其余的11個變量。通過corrplot函數(shù)發(fā)現(xiàn)自變量之間仍存在相關(guān)性，因此利用step函數(shù)再次選擇自變量，代碼如下：

fit_step=step(lm(fin_asset～x1+x2+x3+x4+x5+x6+x1*x6+x2*x6+x3*x6+x4*x6+x6*x6),direction=″both″)

輸出結(jié)果(僅保留部分結(jié)果)：

Step: AIC=-2468.59

fin_asset～x1+x2+x3+x5+x6+x1:x6+x2:x6

Df Sum of Sq RSS AIC 14712 -2468.6+x4 1 1.005 14711 -2467.8+x3:x6 1 0.430 14712 -2467.1-x2:x6 1 10.748 14723 -2458.2-x1:x6 1 35.957 14748 -2429.0-x3 1 39.370 14752 -2425.1-x5 1 113.939 14826 -2339.2

利用AIC最小準(zhǔn)則，選出顯著性最好的變量為x1、x2、x3、x5、x6、x1*x6、x2*x6。定義所選的自變量為X，corrplot函數(shù)發(fā)現(xiàn)自變量之間相關(guān)性較若，主要代碼如下:

X=cbind(x1,x2,x3,x5,x6,x1*x6,x2*x6)

corrplot(cor(X),method=″color″)

對上一步得出的最優(yōu)變量進(jìn)行多元線性回歸。利用lm()函數(shù)建立多元線性回歸模型，代碼如下：

lmmode=summary(lm(fin_asset～X))

輸出結(jié)果為：

Call:

lm(formula=fin_asset～X)

Residuals:

Min 1Q Median 3Q Max -3.5008 -0.3484 -0.1619 0.0898 21.3845

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 0.002516 0.007144 0.352 0.724667 X1 -0.410904 0.008266 -49.709 < 2e-16***X2 0.242049 0.008618 28.088 < 2e-16***X3 0.052568 0.007790 6.748 1.55e-11***X4 0.088899 0.007744 11.480 < 2e-16***X5 0.046040 0.007736 5.952 2.71e-09***X6 -0.049360 0.007654 -6.449 1.16e-10***X7 0.028334 0.008036 3.526 0.000423***

Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 0.9298 on 17016 degrees of freedom

Multiple R-squared: 0.1357, Adjusted R-squared: 0.1354

F-statistic: 381.8 on 7 and 17016 DF, p-value: < 2.2e-16

由結(jié)果得出P值<0.05，通過F檢驗(yàn)，即回歸方程顯著，各自變量通過t檢驗(yàn)，即所有回歸系數(shù)顯著?；貧w方程為：

fin_asset=-0.4109x1+0.2420x2+0.0526x3+0.0889x5+0.0460x6-0.0494x1*x6+0.0283x2*x6+0.0025

之后對多元回歸模型得到的殘差進(jìn)行分析，主要代碼如下：

par(mfrow=c(2,2))

plot(lmmode$residual,main=″residual″)

plot(density(lmmode$residual))

hist(lmmode$residual)

boxplot(lmmode$residual,xlab=″box plot″, main=″residual″)

由多元線性回歸模型得到殘差的散點(diǎn)圖和箱線圖可看出數(shù)據(jù)存在一些異常點(diǎn)，由密度圖和直方圖可看出殘差是有偏的，因此采用ks函數(shù)對殘差進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)，代碼如下：

ks.test(lmmode$residual,″pnorm″,mean(lmmode$residual),sqrt(var(lmmode$residual)))

輸出結(jié)果為：

e-sample Kolmogorov-Smirnov test

data: lmmode$residual

D=0.22526, p-value < 2.2e-16

alternative hypothesis: two-sided

由檢驗(yàn)統(tǒng)計量的P值<0.05，可得拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為殘差不服從正態(tài)分布，因此考慮建立分位數(shù)回歸模型。利用rq()函數(shù)進(jìn)行分位數(shù)回歸，主要代碼如下：

rqy25=summary(rq(fin_asset～X,tau=0.25),covariance=TRUE,se=″ker″)

rqy50=summary(rq(fin_asset～X,tau=0.5),covariance=TRUE,se=″ker″)

rqy75=summary(rq(fin_asset～X,tau=0.75),covariance=TRUE,se=″ker″)

輸出結(jié)果以0.5分位數(shù)結(jié)果為例：

Call: rq(formula=fin_asset ～ X, tau=0.5)

tau:[1] 0.5

Coefficients:

Value Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) -0.25069 0.00135 -185.81202 0.00000X1 -0.00476 0.00208 -2.28271 0.02246X2 0.01887 0.00149 12.66249 0.00000X3 -0.00293 0.00207 -1.41373 0.15746X4 0.01946 0.00104 18.71356 0.00000X5 0.01122 0.00166 6.76650 0.00000X6 -0.00419 0.00254 -1.65004 0.09895X7 0.00160 0.00187 0.85770 0.39107

由結(jié)果知x1、x2、x5、x6的P值<0.05，通過t檢驗(yàn)，其系數(shù)顯著，x3、x1*x6、x2*x6的P值>0.05，未通過t檢驗(yàn)，其系數(shù)不顯著，可以通過實(shí)際分析其具有的經(jīng)濟(jì)學(xué)意義。通過分位數(shù)回歸模型可得，在不同的分位數(shù)水平下，數(shù)字金融發(fā)展對企業(yè)金融資產(chǎn)投資的影響不同[7-9]。

3 結(jié)語

利用A股上市公司的經(jīng)營活動數(shù)據(jù)，通過分析數(shù)字金融發(fā)展對企業(yè)金融資產(chǎn)投資的影響，給出了從變量選擇到建立分位數(shù)回歸模型的整個過程。這個過程對于利用R軟件建立分位數(shù)模型具有一定的參考意義，同時根據(jù)相關(guān)結(jié)論，可以給出促進(jìn)數(shù)字金融發(fā)展服務(wù)企業(yè)金融資產(chǎn)投資的建議。