田佩佩

(泰州市胡莊初級中學，江蘇泰州，225300)

圖形旋轉(zhuǎn)問題一直是初中數(shù)學課程教學的重要內(nèi)容，也一直是困擾多數(shù)學生的難題，特別是圖形旋轉(zhuǎn)后位置的確定問題，使得不少學生陷入困境.在圖形旋轉(zhuǎn)問題的教學中，不少教師樂于繪圖軟件直接旋轉(zhuǎn)獲得最終圖形，無形中降低學生的作圖要求；不少學生總是采取“猜測”的方法來繪制旋轉(zhuǎn)后的草圖，但是對“猜測”結(jié)果圖形中各個表征量之間的關(guān)系總是難以把握，一度使得難題無法解決，這是初中數(shù)學“圖形旋轉(zhuǎn)問題”中的一種常態(tài)現(xiàn)象，本文基于這種現(xiàn)狀，從圖形旋轉(zhuǎn)的實質(zhì)視角出發(fā)，借助于典型案例，探討解決圖形旋轉(zhuǎn)問題的具體方法，希望能給教育同仁帶來一些幫助和參照.

1 圖形旋轉(zhuǎn)問題的本質(zhì)呈現(xiàn)

在某一平面內(nèi)△ABC繞著其外部一點O逆時針旋轉(zhuǎn)θ角度后記為△A′B′C′，此旋轉(zhuǎn)過程的本質(zhì)可以看成：A、B、C均以O點為圓心同時逆時針旋轉(zhuǎn)θ角度后連接三點構(gòu)成三角形△A′B′C′，如圖1所示，則該圖形旋轉(zhuǎn)問題中存在的規(guī)律如下：

圖1

規(guī)律1：旋轉(zhuǎn)前后相關(guān)點與中心之間的距離相等.(OA=OA′、OB=OB′、OC=OC′)

規(guī)律2：旋轉(zhuǎn)過程中各個對應點與中心連線的角度均等于旋轉(zhuǎn)角度θ(∠AOA′=∠BOB′=∠COC′=θ)

規(guī)律3：旋轉(zhuǎn)前后三角形的三條對應邊長和角度相等.(AB=A′B′、BC=B′C′、AC=A′C′、∠A=∠A′、∠B=∠B′、∠C=∠C′)

規(guī)律4：旋轉(zhuǎn)過程遵循可逆性特征，△ABC以O點為中心逆時針旋轉(zhuǎn)θ變?yōu)椤鰽′B′C′，同樣△A′B′C′以O點為中心順時針旋轉(zhuǎn)θ變?yōu)椤鰽BC.

規(guī)律5：旋轉(zhuǎn)前后中心點O至對應線段之間的距離相等為d，三角形對應邊與以O點為圓心，d為半徑的圓相切.

證明：根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的規(guī)律可知，OA=OA′，OB=OB′，AB=A′B′則△AOB≌△A′OB′即∠OBA=∠OB′A′，在直角△BOH和△B′OH′中，OB=OB′、∠OBH=∠OB′H′、∠OHB=∠OH′B′則△BOH≌△B′OH′即OH=OH′.

數(shù)學教師引導學生分析圖形旋轉(zhuǎn)問題中的規(guī)律時，學生在與教師互動的過程中進一步認識到旋轉(zhuǎn)圖形的本質(zhì)規(guī)律，有助于學生主動分析問題、探究解決問題的思路與方法，進而不斷積累解題經(jīng)驗與技巧，真正理解圖形旋轉(zhuǎn)問題的規(guī)律和本質(zhì).

2 多元視角破解圖形旋轉(zhuǎn)難題

例題1如圖2所示的等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=8，現(xiàn)將△ABC以C點為中心旋轉(zhuǎn)一定角度，△ABC中A、B兩點旋轉(zhuǎn)后分別記為A′和B′，其中，點B′在線段AA′的延長線上，試求線段AA′的長度.

圖2

剖析：本題中△ABC以C點為中心旋轉(zhuǎn)一定角度后，學生無法直接確定A′和B′的位置，根據(jù)題意可知，B′點與A和A′三點共線，圖形旋轉(zhuǎn)中無法直接確定旋轉(zhuǎn)后的圖形位置，數(shù)學教師可以引導學生借助于草圖的繪制探尋各個量之間的關(guān)系，最終找到解決問題的方法.

圖3

點評：圖形旋轉(zhuǎn)問題一直是初中學生數(shù)學學習的難點，主要是學生難以理解旋轉(zhuǎn)前后各個量之間的確定關(guān)系.從教學實踐來看，引導學生正確地畫出運動草圖，可以幫助學生洞悉旋轉(zhuǎn)過程中的規(guī)律與特征，有助于圖形旋轉(zhuǎn)難題的解決.

解法2根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)規(guī)律可知，旋轉(zhuǎn)圖形△ABC在繞C點旋轉(zhuǎn)的過程中，直線AB與C點之間的垂直距離為定值，如圖4所示，過旋轉(zhuǎn)中心點C作CD⊥BA交BA延長線于D點，△ABC在旋轉(zhuǎn)過程中BD始終與以C點為圓心、CD長度為半徑的圓相切；顯然，題設中“B′點與A和A′三點共線”可以理解為“圓C的切線恰好過點A”，過點A作出圓C的切線AD′(其中點D′為切點)，根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)規(guī)律可知旋轉(zhuǎn)過程中對應線段長度保持不變，在AD′的延長線上確定A′和B′，使得A′D′=AD、A′B′=AB，連接B′C、A′C，則△A′B′C為△ABC繞C旋轉(zhuǎn)后的精確圖形.

圖4

點評：利用圖形旋轉(zhuǎn)規(guī)律和本質(zhì)，打破采取“作草圖”的方式獲得更加精確的圖形，在實際教學過程中，此種解法容易讓學生理解旋轉(zhuǎn)過程中的本質(zhì)規(guī)律的應用，進而提升解題效率.

解法3根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)規(guī)律可知，圖形旋轉(zhuǎn)前后的位置都是固定的，由圖形旋轉(zhuǎn)之前位置繪制出旋轉(zhuǎn)之后的位置，顯然也可以利用“旋轉(zhuǎn)可逆”的性質(zhì)特點，由圖形旋轉(zhuǎn)之后的位置來繪制出旋轉(zhuǎn)之前的位置，本題中可以將旋轉(zhuǎn)前后端位置狀態(tài)進行對調(diào)，題設中△ABC可以看成旋轉(zhuǎn)之后的位置狀態(tài)而修改為△A′B′C，根據(jù)題設信息可知，A、A′、B′三點共線，CA=CA′，現(xiàn)以C點為圓心，CA′長度為半徑作圓交B′A′的延長線于A點，現(xiàn)以點C為圓心CB′長度為半徑作圓、以A為圓心A′B′長度為半徑作圓，兩個圓弧相交于B點，如圖5所示，則旋轉(zhuǎn)之前的圖形為△ABC.

圖5

點評：本題中圖形旋轉(zhuǎn)問題的難點在于找到一條過定點的未知直線，可以借助于“旋轉(zhuǎn)可逆”的規(guī)律，將此難點問題轉(zhuǎn)化為“在已知直線上尋找未知點”，再次轉(zhuǎn)化為“直線至旋轉(zhuǎn)中心距離不變”，問題迎刃而解.可見，圖形旋轉(zhuǎn)問題中“旋轉(zhuǎn)可逆”的規(guī)律，能夠有效降低問題的難度.

圖6

圖7

圖8

圖9

點評：本題是圖形旋轉(zhuǎn)的典型題型之一，從旋轉(zhuǎn)規(guī)律可知對應點與旋轉(zhuǎn)中心連線所成角度與旋轉(zhuǎn)角度相等，連接三點構(gòu)成的等腰三角形均為相似三角形，利用相似三角形對應邊的比例關(guān)系有效實現(xiàn)問題的等價轉(zhuǎn)化，讓學生理解旋轉(zhuǎn)問題本質(zhì)，厘清解題思路，實現(xiàn)高效解題.

變式2如圖10所示的直角△ACB中，AC⊥BC，BC=3，AC=4，∠ABC的角平分線BD交AC于D，現(xiàn)以A點為旋轉(zhuǎn)中心將△ABC旋轉(zhuǎn)一定的角度后記為△AB′C′，若B′點處于BD射線之上，試求：線段CC′的長度.

圖10

圖11

3 結(jié)束語

在圖形旋轉(zhuǎn)問題中，問題的難點在于旋轉(zhuǎn)前后圖形位置的確定，本文案例中呈現(xiàn)旋轉(zhuǎn)規(guī)律解題、作草圖解題都是解決圖形旋轉(zhuǎn)問題的重要方法，掌握這類解決問題的方法要求學生具備一定的邏輯思維能力和理性思維水平，對于初中數(shù)學教師而言，在平時的課堂教學中，應該以“形”為研究對象，引導學生挖掘“幾何圖形”旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)規(guī)律，不斷提升學生的邏輯思維能力，進而提升學生數(shù)學學科核心素養(yǎng).