裴 姣

(江蘇省宜興外國語學(xué)校，江蘇無錫，214200)

單元復(fù)習(xí)課中知識以何種形式呈現(xiàn)，能讓概念復(fù)習(xí)不再是枯燥的無效重復(fù)，能讓學(xué)生思維在鞏固中落實提升？課前教師有必要把單元內(nèi)容進(jìn)行整體規(guī)劃，優(yōu)化整合，在情境中把問題聯(lián)系結(jié)合起來，通過情景式問題串帶領(lǐng)學(xué)生回憶相關(guān)知識，讓學(xué)生在一個個問題的關(guān)聯(lián)中感受數(shù)學(xué)的整體性，感悟知識點之間的相互聯(lián)系，讓知識生長起來.通過學(xué)生自我整理、歸納知識，構(gòu)建知識體系，達(dá)成學(xué)生對于知識的理解更透徹，達(dá)成學(xué)生思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)有效提升.下面，筆者以蘇科版九年級下冊第五章“二次函數(shù)”的單元復(fù)習(xí)教學(xué)為例，談?wù)劵谡w教學(xué)視角下，單元復(fù)習(xí)教學(xué)的實踐與思考.

1 教材內(nèi)容分析

1.1 內(nèi)容分析

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”部分的內(nèi)容，教科書把“代數(shù)式—方程—不等式—函數(shù)”作為這部分課程內(nèi)容的主干[1]，它們自成體系，都沿用了“由實際問題到數(shù)學(xué)模型—研究數(shù)學(xué)問題(圖象、性質(zhì))—解決實際問題”的學(xué)習(xí)思路，“數(shù)與代數(shù)”學(xué)法是相通的.從函數(shù)板塊分析，二次函數(shù)是學(xué)生在學(xué)習(xí)一次函數(shù)、反比例函數(shù)后又一次接觸到的重要模型，放最后出現(xiàn)，從知識和思維層面，都表明它對學(xué)生能力要求更高，綜合性更強，在各地中考試卷中，二次函數(shù)常以壓軸題的形式出現(xiàn).二次函數(shù)的相關(guān)知識結(jié)構(gòu)如圖1所示.

圖1

1.2 復(fù)習(xí)目標(biāo)

(1) 通過對二次函數(shù)知識的回憶和梳理，鞏固二次函數(shù)的概念、函數(shù)表達(dá)式、待定系數(shù)法、圖象和性質(zhì)，由拋物線和拋物線上的點，感悟確定的數(shù)量與圖形直觀間的緊密聯(lián)系.

(2) 通過從函數(shù)的視角看一元二次方程(不等式)，明確二次函數(shù)與一元二次方程(不等式)、一次函數(shù)的關(guān)系，能用二次函數(shù)模型解決簡單的實際生活問題，提高數(shù)學(xué)抽象思維能力.

(3) 引導(dǎo)學(xué)生在歸納整理知識和探究問題的過程中，體會函數(shù)學(xué)習(xí)的方法，感悟模型思想、數(shù)形結(jié)合思想.

1.3 復(fù)習(xí)重點、難點

重點：二次函數(shù)的表達(dá)式、圖象和性質(zhì).

難點：結(jié)合圖象解題，應(yīng)用二次函數(shù)性質(zhì)解決問題.

1.4 教學(xué)準(zhǔn)備

復(fù)習(xí)二次函數(shù)相關(guān)知識點，重難點，列出存在的問題，把知識點整理成文字、表格、結(jié)構(gòu)圖或思維導(dǎo)圖，小組成員開展互評，在課前展示優(yōu)秀作業(yè).

2 由點入手，“對稱”指路

例1見表1，已知二次函數(shù)圖象上部分點的橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y對應(yīng)的值，

問題1：觀察表1，你能獲得哪些信息?

表1

鼓勵學(xué)生仔細(xì)觀察數(shù)值特征，大膽發(fā)表看法.經(jīng)過充分觀察和思考后，結(jié)合學(xué)生的回答和教師引導(dǎo)，完成表2的問題.

思路啟發(fā):因為x=-2和x=0時函數(shù)值相等都是-3，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，確定對稱軸是直線x=-1，表格數(shù)據(jù)知(-1，-4)即為頂點坐標(biāo).再由對稱性知點(1，0)關(guān)于直線x=-1的對稱點(-3，0)為圖象與x軸的另一交點.隨著x的值從左到右逐漸增大，對應(yīng)的函數(shù)值y先減小后增大，確定開口向上，當(dāng)x=-1時，函數(shù)值最小是-4.

問題2：已知點(-2.5，y1)，(-0.5，y2)，(2，y3)是表1中對應(yīng)拋物線圖象上的三個點，則y1、y2、y3之間的大小關(guān)系是.

思路啟發(fā):如圖2，把(-2.5，y1)轉(zhuǎn)化為它關(guān)于對稱軸的對稱點(0.5，y1)，這樣三個點都在對稱軸的右側(cè)，根據(jù)增減性知y隨x的增大而增大，因為-0.5<0.5<2，所以y2

圖2

設(shè)計意圖：拋物線是軸對稱圖形，它不僅充盈和諧之美，還顯露數(shù)學(xué)的靈活與精巧.運用對稱的思想來觀察點、轉(zhuǎn)化點，靈活捕捉、落實對稱，不僅簡化大量復(fù)雜的運算，還能開辟出新的解題路徑.

問題3：請你求出表1對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.你有幾種方法？

讓學(xué)生動筆寫下過程，再一起交流方法.

思路啟發(fā):二次函數(shù)表達(dá)式有三種形式，若已知頂點，可設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y=a(x+1)2-4(a≠0)；已知三個點，可設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y=ax2+bx+c(a≠0)；已知圖象與x軸的交點，可設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y=a(x+3)(x-1)(a≠0)，表達(dá)式中有幾個待定系數(shù)，就代入幾個已知點求出這個待定系數(shù).三個表達(dá)式形式雖不同，但實質(zhì)是同一個式子.

設(shè)計意圖：確定一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的表達(dá)式，都是待定系數(shù)法，足見待定系數(shù)法在求函數(shù)表達(dá)式中的重要作用.通過觀察列出的方程(組)，讓學(xué)生體會變量和常量的區(qū)別，感受方程(組)與函數(shù)的內(nèi)在關(guān)聯(lián).

問題4：三個點一定能確定二次函數(shù)表達(dá)式嗎？

(1) 已知三點(-2，-3)，(-2，-2)，(0，0)；(2) 已知三點(-2，-2)，(0，0)，(1，1).

思路啟發(fā):留出充分觀察思考的時間，鼓勵學(xué)生說出看法.問題4中第一問不能，因為兩個點(-2，-3)，(-2，-2)橫坐標(biāo)相同，這與函數(shù)概念“兩個變量x與y，對于x的每一個值，都有唯一的y的值與它對應(yīng)”不符；第(2)問也不能，因為三點在一直線上.

設(shè)計意圖：聚點成線，線的形狀如何，要由點的位置和點的變化趨勢來決定，在不明確函數(shù)類型的情況下，生搬硬套是對函數(shù)概念的混淆，碰到這類問題可以按照：描點——觀察猜想——連線——寫出表達(dá)式的步驟處理.

2 觀察圖象，數(shù)形結(jié)合

2.1 圖形變換

問題5：如圖3，是表1中對應(yīng)的拋物線圖象，(1) 如何平移這個拋物線，使其頂點過原點？(2) 如何左右平移這個拋物線，使其圖象過原點？(3) 如何平移這個拋物線，使其頂點正好落在坐標(biāo)軸上？寫出函數(shù)表達(dá)式.

圖3

思路啟發(fā):確定拋物線平移的方向和距離，抓住平移前后對應(yīng)點的關(guān)系展開，(1)(2)兩問終點為坐標(biāo)原點，只要找出特殊點平移前的位置即可，第(1)問自然是頂點，第(2)問看拋物線與x軸的兩個交點，第(3)問要注意x軸和y軸都是坐標(biāo)軸，分兩種情況討論向右平移1個單位或向上平移4個單位，由于坐標(biāo)軸上的點有無數(shù)個，因此拋物線平移后頂點的位置不能確定，故有無數(shù)種平移方式，函數(shù)表達(dá)式可根據(jù)二次項系數(shù)a和頂點具體位置來寫.

問題6：把如圖3的拋物線沿x軸或y軸翻折，分別寫出翻折后的拋物線表達(dá)式.

問題7：把如圖3的拋物線繞原點旋轉(zhuǎn)180°，寫出旋轉(zhuǎn)后的拋物線表達(dá)式.

思路啟發(fā):如圖4，圖形變換的本質(zhì)，圖形的形狀和大小不變，只有位置改變.形狀取決于|a|，位置看特殊點與開口方向，通常知道a和頂點就能寫出函數(shù)表達(dá)式.

圖4

設(shè)計意圖：研究拋物線先研究點，由關(guān)鍵的點來確定整體情況，從具體到抽象符合認(rèn)知規(guī)律，抓住圖形變換前后變與不變的關(guān)系，變化的量變成了什么，讓學(xué)生先定點再畫線，后寫出表達(dá)式，感悟“以形助數(shù)”的數(shù)形結(jié)合思想.

2.2 二次函數(shù)與一元二次方程(不等式)

問題8：如圖3，結(jié)合圖象，(1) 直接寫出方程x2+2x-3=0的解；

思路啟發(fā):從函數(shù)的角度出發(fā)，聯(lián)系一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情況就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交點的情況，二次函數(shù)與x軸交點的橫坐標(biāo)就是一元二次方程的兩個實數(shù)根，觀察函數(shù)圖象知，方程的解為：x1=-3，x2=1.

(2) 寫出方程x2+2x-3=-4的解；

思路啟發(fā):如圖5，從函數(shù)角度看這個方程，方程的解的情況是函數(shù)y=x2+2x-3與直線y=-4的交點情況，因為拋物線與直線只有唯一交點，所以方程有兩個相等實數(shù)根.觀察函數(shù)圖象知，方程的解為：x1=x2=-1.

圖5

(3) 探究方程x2+2x-3=k(k為常數(shù))的根的情況；

思路啟發(fā):如圖6，與第(2)問中不同的是等式右邊從-4變?yōu)閗，鑒于k的不確定，直線y=k是一組垂直于y軸的動直線，結(jié)合上一題的經(jīng)驗，二次方程的解的情況取決于二次函數(shù)和動直線交點的情況，分k<-4，k=-4，k>-4三種情況展開討論.

圖6

(4) 探究方程x2+2x-3=x-1的根的情況；

思路啟發(fā):如圖7，一元二次方程的根的情況是函數(shù)y=x2+2x-3與直線y=x-1的交點情況，方程的根是兩個交點的橫坐標(biāo)，畫出函數(shù)圖象，由圖象知，方程的解為：x1=-2，x2=1.

圖7

(5) 已知不等式x2+2x-3>x-1，求x的取值范圍.

思路啟發(fā):從函數(shù)角度審視不等式，令y1=x2+2x-3，y2=x-1，即求y1>y2時x的取值范圍，要找在x相同情況下，y1的函數(shù)值大于y2的函數(shù)值，反映在圖象上即找出當(dāng)x為同一數(shù)值時，二次函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象的上方的部分，結(jié)合圖象知，x的取值范圍為：x<-2或x>1.

設(shè)計意圖：把一元二次方程(不等式)處理成兩個函數(shù)間相關(guān)問題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識相輔相成，相互關(guān)聯(lián)，具有整體結(jié)構(gòu)，也體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的靈活性，從不同的角度去思考，能收獲新的方法.把一元二次方程(不等式)轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，觀察函數(shù)圖象，從函數(shù)的交點，函數(shù)值的比較，自變量(函數(shù)值)范圍等處去研究，直觀明了，實現(xiàn)“化數(shù)為形，以形助數(shù)”，讓學(xué)生很好地感悟到數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等重要思想方法.

3 知識整合，思維提升

例2如圖8，已知拋物線過A(-4，0)，B(1，0)，C(0，-3)，作直線AC，點P是線段AC上一動點(不與點A，C重合)，過點P作x軸的垂線m，與拋物線交于點Q，

圖8

問題9：求線段PQ的最大值.

思路啟發(fā):點P、Q都是動點，PQ是垂直于x軸的一組動線段，任何位置P、Q的橫坐標(biāo)滿足相等，PQ的長度就是兩點縱坐標(biāo)之差的絕對值，結(jié)合圖象，即PQ=yp-yQ，用代數(shù)式表示出PQ的長度，轉(zhuǎn)化為求二次三項式的最值，用配方法或頂點公式求出最值.

設(shè)計意圖：線段的長度就是兩端點之間的距離，我們知道，在平面直角坐標(biāo)系中，有兩點坐標(biāo)就能算出兩點間的距離，結(jié)合二次函數(shù)和一次函數(shù)圖象上動點的坐標(biāo)規(guī)律，表示出線段長度的代數(shù)式模型，運用函數(shù)知識求出最值.引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷運用解析法求最值問題的過程，感受數(shù)與形的緊密聯(lián)系及模型思想.

問題10：如圖9，連接AQ，CQ，求△ACQ面積的最大值.

圖9

設(shè)計意圖：割補法是處理面積問題的一般方法，在二次函數(shù)中同樣適用，可從“割”或“補”的角度去處理圖形，把問題中的三角形面積轉(zhuǎn)化為新圖形面積的和或差，以此暢通思路，找到可行的解題方法.在平面直角坐標(biāo)系中，鉛垂線段和水平線段是更為特殊的線段，要充分把握住這些線段，表示出三角形的底和高，復(fù)雜圖形的組成還是基本的點和線，要善于捕捉，用這些特殊作用的點和線去表示題中的未知量.通過分析探究過程，引導(dǎo)學(xué)生體會數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化的作用，培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力.

問題11：如圖10，作QH⊥AC于點H，垂足為點H，求線段QH的最大值.

圖10

設(shè)計意圖：“斜化直”是平面直角坐標(biāo)系中轉(zhuǎn)換線段的有效方法，通過相似三角形或銳角三角函數(shù)找出線段間的數(shù)量關(guān)系，把線段轉(zhuǎn)換為鉛垂線段和水平線段更易于處理和表示，培養(yǎng)學(xué)生大膽構(gòu)造，縝密思考，靈活運用的思維習(xí)慣和能力.

一題多解(一)：由三角形入手，把QH看成△ACQ中AC邊上的高，底邊AC是定值5，當(dāng)高最大時，面積最大，把求QH的最大值轉(zhuǎn)化為問題10中求△ACQ面積的最大值.

圖11

知識的復(fù)習(xí)，也要關(guān)注“知識鏈”的產(chǎn)生、生長過程.本復(fù)習(xí)課例，從創(chuàng)設(shè)問題情境入手，把二次函數(shù)紛繁零碎的知識點整合到問題串中，通過對問題的探究，幫助學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識，對知識歸類整合，把點狀知識聚集為塊狀知識，進(jìn)而內(nèi)化建構(gòu)成知識體系.在知識鞏固的過程中，注意對學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，通過問題串把相近思維點或相同方法的問題放一起，更易于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法，感悟變式題的通性通法，提升思維能力和核心素養(yǎng).