王 磊

(江蘇省東臺市安豐中學，江蘇東臺，224221)

基于新課程改革標準下，高中數(shù)學教學目標應分為過程性目標和最終目標，讓學生在過程中可以收獲更多知識、技能、意識、方法等，逐漸匯總完成最終目標.著名數(shù)學家哈爾莫斯曾說：“問題是數(shù)學的心臟，在問題和求解中學習數(shù)學”，而問題解決就是建立在這一觀點上，構(gòu)建以學生為主體的問題情景，這不僅能夠改善傳統(tǒng)課堂中單調(diào)、功利性強的教學模式，學生更有興趣，教師教學效果自然大有提升.

1 以問題解決為主導的數(shù)學教學實質(zhì)

數(shù)學教學中的問題是非常重要的媒介，合乎邏輯的教學也應建立在問題的基礎上，以“問題解決”為主導與傳統(tǒng)數(shù)學課堂上先講解理論知識再解決問題恰恰相反，前者是將問題在前，理論在后，學生在分析和解決問題的過程中逐漸摸索到數(shù)學知識點的原理和概念，這種探究性的教學方式不僅能夠充分調(diào)動學生思維，而且也能使學生對新知識的理解更為透徹.除此之外，高中數(shù)學內(nèi)容越來越抽象，相應的，學生需要掌握的技能也趨于系統(tǒng)化，在此背景下數(shù)學本身所含有的原始問題和情景被大大弱化，高中數(shù)學課堂上幾乎很難看到生成數(shù)學知識的背景和發(fā)展歷程.這一教學模式，甚至可以說是教學慣性，并不利于學生掌握數(shù)學知識的本質(zhì)，故此，探究以問題解決為主導的數(shù)學課堂也是為有效解決傳統(tǒng)數(shù)學教學存在的弊端，也能使學生從問題中感受數(shù)學知識點形成的過程，掌握學習思路和方法，培養(yǎng)其建模、邏輯分析、解決問題以及學以致用等能力.[1]

2 問題解決為主導的高中數(shù)學教學應遵循的原則

構(gòu)建問題解決為主導的數(shù)學課堂，并不是教師簡單的提出問題，讓學生思考、探究即可，而是要遵循以下四點基本原則：

2.1 主動性原則

思想學家托爾斯泰曾說：“不通過強制學生被動學習就能有效激發(fā)其學習欲望，這也在很大程度上決定了教師教學的有效性”，主動性原則亦是如此，遵循這一原則主要目的在于激發(fā)學生潛在的探索欲，使其成為知識的探索者、發(fā)現(xiàn)者，而不是被動學習者，教師和學生之間的關系也會更加和諧.因此，教師要懂得先轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)思想，思考所設計的問題情景是否符合學生學習所需以及能否提升其學習積極性，教師站在幫助學生構(gòu)建知識框架的角度，而不是統(tǒng)領所有的角度.

2.2 適度性原則

教師在設計數(shù)學問題時要把握好“度”，問題不宜過難或過于簡單，太難容易使學生產(chǎn)生畏懼、抵觸等不良情緒，不容易后續(xù)教學進度，太簡單雖然能夠達到活躍課堂氛圍的效果，但學生思考時多是依靠自身儲備的知識進行思考，難以達到發(fā)散思維，突破認知的效果.基于此，教師應根據(jù)學生認知能力來設計“問題鏈”，從簡單到復雜，層層遞進，促使問題與問題之間有聯(lián)系，同時也降低數(shù)學問題的復雜性和抽象性，開發(fā)學生潛能，使其在無形中突破重難點知識.[2]

2.3 層次性原則

層次性原則是基于學生差異性，學生由于學習能力、學習習慣等方面不同，在學習新知識，接受新東西時的情況也大有不同.作為數(shù)學教師應了解并重視學生之間的差異性，嚴格遵守層次性原則，或是以層次劃分，或是以分組的方式展開教學活動，以此來使學生在數(shù)學課堂上找到歸屬感，并獲得成就感，真正參與其中，才能有效增強數(shù)學教學實效性.

2.4 延伸性原則

學生學習任何知識都是由易再到難，教師在設計問題時應遵循這一規(guī)律，借用問題不斷延伸，讓學生整個學習過程逐漸完整，最終形成系統(tǒng)性的知識鏈，這樣才能徹底吃透和掌握新知識.除了教學過程中的延伸，還包括課外延伸，教師在教學后應留下一些讓學生思考和回味的問題，形成“完而未完，意味無窮”的情況，激發(fā)學生順著教師所給出的線索繼續(xù)探索的興趣，使其從畏懼，過渡到會學，最后到樂學.

3 問題解決為主導的高中數(shù)學教學應具備的特點

教師應注重問題趣味性、激勵性、完整性等特點.趣味性是指教師設計的問題應當是能夠激發(fā)起學生學習興趣的，在實際教學中往往會以結(jié)合實際生活或是游戲、競賽等方式達到這一效果；激勵性是指教師應基于學生好勝心，分析能夠調(diào)動起積極性的問題，使其在解決問題的同時，自尊心、自信心也能得到滿足；完整性是指教師所設計的問題應當是一個閉環(huán)，學生整個思考過程是完整的，形成系統(tǒng)性的知識鏈.

可見，構(gòu)建以“問題解決”為主導的數(shù)學課堂并不簡單，作為教師應從數(shù)學教學內(nèi)容入手，結(jié)合學生學習特點，思考設計問題情景的原則和特點，在此基礎上再去設計問題，能夠更好地幫助學生突破學習障礙.

4 以問題解決為主導的高中數(shù)學教學案例分析

4.1 圓錐曲線中的定比弦問題

筆者以圓錐曲線中的定比弦問題為例，首先分析定比弦基礎概念：一條直線與橢圓C相交于A、B兩點，在弦AB上存在點M，將弦AB分為固定的兩段，MA和MB的比值為λ，那么AB便叫做C的定比弦，λ為1時，定比弦即是中心弦(如圖1所示).

圖1

4.2 教學思路

關于圓錐曲線中的定比弦問題，首先教師要做的是讓學生明確定比弦的概念和原理.首先，分析圓錐曲線這一章所研究的圖形，包括三種不同的曲線，分別為橢圓、雙曲線和拋物線.課程內(nèi)容相對抽象，教師梳理教學思路后，可以結(jié)合學生實際學習情況，設計大問題，以大問題統(tǒng)領整個單元教學，再分設不同的子問題，以子問題來逐步引導學生學習新知識，同時留出學生自主學習、討論、探究、匯報的時間，在問題情景下融入小組學習、自主學習、項目式學習等，激發(fā)學生學習主動性，強化數(shù)學課堂教學效果.

4.3 教學目標

本節(jié)課程教學重點在于求解曲線標準方程以及不同點在標準位置上的性質(zhì)，掌握不同中點弦問題的解法，以此為基礎，分析“焦點為分點”這一情況的解法，并感受不同解法的通性通法和價值.

4.4 教學方法

4.4.1 創(chuàng)設問題情景，引入數(shù)學新課

俗話說“思維從問題驚訝開始”，為激發(fā)學生學習興趣，教師可以創(chuàng)設問題情景，將學生思維帶入到形象且豐富的問題情景中，引起學生的好奇心，為之后學習打好基礎.[3]

教師向?qū)W生分析圓錐曲線定比弦問題之前，可以以生活中有關圓錐曲線的案例為引，如，地球環(huán)繞太陽的“橢圓軌跡”運行，太陽則位于“橢圓軌跡”的一個焦點上，人造衛(wèi)星運轉(zhuǎn)所依據(jù)的也是這個原理；實際生活中所用到的探照燈，是依據(jù)“圓錐曲線”原理，利用“旋轉(zhuǎn)物面的曲面”制作而成……由此教師提出兩個問題：如果用一個平面去截錐面，那么會得到哪些不同的曲線？實際生活中關于圓錐曲線還有哪些應用？提出問題后，教師組織學生進行實踐，用紙張折疊成圓錐曲線，通過畫圖，思考不同情況下所得到的曲線.待學生整理匯報后，教師可以通過三維模型幫助學生更加直觀地看到不同角度所截得的曲線，使其初步了解圓錐曲線中的定比弦問題.課后留出大概5分鐘左右的時間讓學生思考第二個問題，一方面能夠緩解學生緊張的學習過程，另一方面也能發(fā)展學生想象能力，提升起學習興趣.通過導入問題情景，在新課伊始，就使學生留下深刻的印象，后期學習也會更為順利.

4.4.2 深入探究問題，實現(xiàn)再分析再解決

待學生已經(jīng)在腦海中構(gòu)建關于圓錐曲線基本雛形后，教師則可引導學生進一步分析關于圓錐曲線中的定比弦問題，進入到設計子問題部分.教師通過多媒體展示“分點為中點——中心弦”的圖形(如圖2所示)，并展示不同解法的基礎概念.

圖2

① 韋達定理法：將直線方程與圓錐曲線的聯(lián)立，一般消去y，得到x的一元二次方程，韋達定理中有兩根之和，中點坐標公式中為二分之兩根之和.

② 點差法：設直線與圓錐曲線兩個交點為(x1，x2)，(y1，y2)，將其代入到圓錐曲線方程中，因兩式形式相同，相減后無常數(shù)項，再因式分解，得到直線斜率與中點坐標的一個式子.

教師帶領學生分析不同解法的原理后，使其在腦海中對定比弦問題構(gòu)建知識鏈雛形，教師再分設問題，讓學生根據(jù)自己實際情況來選擇回答.一是基礎層：給予實際例題，讓學生用不同的方法進行求解；二是拓展層：推導韋達定理中x1x2、y1y2分別等于多少；三是拔高層：嘗試用其他的方式來求解.基礎層是所有學生都需要完成的，拓展層、拔高層的問題學生可以嘗試解答.教師將學生學習時間分為兩個階段，一是自學時間，二是小組討論時間，待討論時間結(jié)束后，再以小組為單位進行匯報，師生共同分析學生練習中存在的誤區(qū)、問題以及出現(xiàn)的錯誤等，師生溝通構(gòu)建良好的課堂氛圍，同時也能達到拓展的目的.

4.4.3 不同情況再討論，深入探究新知識

學生學習基本情況，掌握基本算法后，教師開始引導學生深入分析不同的情況，這一部分的教學任務并不輕松，一方面是因為學生在這部分學習的知識點要更難，另一方面在于學生積極性相對減弱.[4]因此，教師在設計問題情景時，需要考慮到學生學習情況，設計能夠激發(fā)其學習熱情的問題.例如，課前導入環(huán)節(jié)教師展示圖2，提出如果以O為原點，向弦AB上畫線，可以畫多少條？其中那些點比較特殊？問題比較簡單，而且沿用學生熟悉的圖形，能夠在一定程度上減輕學生抵觸心理.學生很快便可以分析出除A、B、M點之外，弦AB與x軸存在的焦點也比較特殊，借此教師運用多媒體展示模型，引導學生分析如果焦點為分點時，依然能用韋達定理和點差法來求解直線斜率嗎？(圖3).

圖3

教師所提出的問題也能有效拓展學生解題思路，學生經(jīng)過分析、畫圖后，會發(fā)現(xiàn)以幾何的角度分析會更加直觀且簡便，達到豁然開朗的效果.通過問題的引入，促使學生仔細感受解題的過程，體會方法的使用條件，發(fā)散其思維，最終提升其學習效果.

4.4.4 思維歷練，應用強化

學生學習成效最終體現(xiàn)在自主練習、解題方面，從得出結(jié)論，到實際應用這一過程教師需要精心引導，從簡單的題目開始，學生思考不同結(jié)論適用的題型，掌握實際應用技巧，實現(xiàn)活學活用的目的.

例如，學生學習圓錐曲線中的定比弦問題所得到的結(jié)論是關于數(shù)式之間的關系，在實際求解時需要靈活變式，教師則需引導學生具體問題具體分析，根據(jù)實際問題、已知條件等變換關系式，就像針對焦點為分點求解直線斜率時，需構(gòu)建傾斜角與余弦值的關系，求離心率則需轉(zhuǎn)化為關于離心的關系等.[5]此外，教師也可以此教學模式為基礎，拓展圓錐其他曲線(如，雙曲線、拋物線等)關于定比弦問題的求解，達到一打三的學習效果.

5 結(jié)束語

圓錐曲線中的定比弦問題綜合性較強，涉及到位置關系、向量條件以及幾何圖形等，對學生分析能力、推理能力等有一定要求.教師應以問題為基礎，有意識的引導學生從問題中總結(jié)知識點，結(jié)合探究過程，使學生在猜想、驗證中發(fā)散思維，突顯問題情景的價值，也強化學生學習積極性和有效性.