薛艷梅 韓金珂

0 引言

隨著計算機、通信等技術的飛速發(fā)展,復雜大系統(tǒng)(Large Scale System)已廣泛應用在工程技術[1-4]、社會經(jīng)濟[5]、生態(tài)環(huán)境[6-8]等各個領域．大系統(tǒng)的特點是模型維數(shù)較高、結構復雜、對系統(tǒng)魯棒性要求較強等．大系統(tǒng)穩(wěn)定性研究常用局部反饋方法,通過減少子系統(tǒng)間的互聯(lián)增加大系統(tǒng)穩(wěn)定性[9]．但文獻[10-11]的研究表明互聯(lián)和協(xié)同在大系統(tǒng)穩(wěn)定性中也有重要作用．文獻[10]在自反饋和互聯(lián)反饋情況下,給出兩個系統(tǒng)協(xié)同穩(wěn)定的充要條件,提出兩系統(tǒng)諧波控制的概念;文獻[11]針對含有不穩(wěn)定子系統(tǒng)的大系統(tǒng),設計一種特殊的分散控制器,使其通過有效的協(xié)同成為穩(wěn)定的互聯(lián)系統(tǒng);文獻[12]針對多無人機系統(tǒng),在分析最優(yōu)布站方式基礎上,提出一種閉環(huán)最優(yōu)控制方法,有效提升了多機協(xié)同跟蹤時差無源定位的精度;文獻[13]則針對航空火力系統(tǒng),研究了分布式協(xié)同架構下的控制問題．

離散時間系統(tǒng)可由連續(xù)時間系統(tǒng)采樣得到,適用于計算機實現(xiàn),但當采樣快時在有限字長的計算機中并不穩(wěn)定．離散時間模型常用移位算子的形式表示,但在短采樣周期間隔下存在截斷和舍入誤差困難的問題．在采樣周期趨近于0時,離散Delta算子模型趨近于原連續(xù)模型,能有效克服移位算子方法高速采樣時的缺點,有效避免傳統(tǒng)Z變換引起的數(shù)值不穩(wěn)定問題,使得連續(xù)域的各類設計方法可直接應用于離散域．因此Delta算子已成為連續(xù)時間模型和離散時間模型的統(tǒng)一描述方法,在計算機高速信號處理、寬帶通信與數(shù)字采樣控制領域具有廣闊的應用前景[14]．目前關于Delta算子的研究多集中在數(shù)據(jù)丟包、時變時延、H∞濾波等方面[15-19]．文獻[15]針對二維Delta算子系統(tǒng)在飽和狀態(tài)下的穩(wěn)定性問題,給出了系統(tǒng)極限軌跡的一般性質和全局漸近穩(wěn)定的充分必要條件;文獻[16]針對Delta算子系統(tǒng)設計一個多頻率區(qū)間降價H∞濾波器,降低了現(xiàn)有方法的計算復雜度并提高了H∞性能;文獻[17]針對具有雙通道丟包、時變時延且范數(shù)有界的不確定Delta算子網(wǎng)絡控制系統(tǒng),提出一種基于交換系統(tǒng)的故障檢測方法,并給出了期望濾波器參數(shù)的顯式表達式;文獻[18]將交換拓撲網(wǎng)絡中具有協(xié)作競爭交互和通信時延的多智能體系統(tǒng)的群一致性問題,轉化為具有通信時延系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定問題;文獻[19]針對具有內(nèi)部參數(shù)攝動和外部干擾的高速信號采樣系統(tǒng),提出一種基于Sigmoid函數(shù)的Delta算子飽和變速趨近律,實現(xiàn)了不確定Delta算子系統(tǒng)的軟滑?？刂破髟O計．

值得注意的是,關于Delta算子的大系統(tǒng)協(xié)同控制方面的研究較少．文獻[9]將一些連續(xù)系統(tǒng)或離散系統(tǒng)的結果整合到Delta算子框架下,通過李雅普諾夫穩(wěn)定性理論以線性矩陣不等式形式給出了大系統(tǒng)協(xié)同穩(wěn)定的充分條件．

受上述研究啟發(fā),本文將Delta算子描述的大系統(tǒng)看作相互獨立的子系統(tǒng),研究Delta算子框架下線性大系統(tǒng)的協(xié)同狀態(tài)反饋控制問題．以線性矩陣不等式形式給出了互聯(lián)系統(tǒng)協(xié)同狀態(tài)反饋漸近穩(wěn)定的充分條件,并給出了優(yōu)化性能指標．本文方法放寬了文獻[9]中協(xié)同狀態(tài)反饋控制器設計中對正定矩陣的約束條件,使結果更具一般性．最后仿真實例進一步驗證了本文算法的有效性及優(yōu)越性．

1 預備知識及問題描述

1.1 預備知識

文中Rp×q表示p行q列的實矩陣，AT表示矩陣A的轉置,M-1表示矩陣M的逆．A>0表示A為對稱正定矩陣,A≥0表示A為對稱半正定矩陣．

定義1[14]Delta算子定義如下:

其中,T表示一個采樣周期．

引理1[14](Delta算子的性質) 對任意關于時間t的函數(shù)x(t)和y(t),有

δ(x(t)y(t))=δ(x(t))y(t)+x(t)δ(y(t))+

Tδ(x(t))δ(y(t)).

1)S<0;

1.2 問題描述

本研究考慮Delta域下獨立子系統(tǒng)通過協(xié)同控制成為一個互聯(lián)閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制問題．

Delta算子描述的兩個獨立子系統(tǒng)如式(1)、(2)所示:

δ(x1(tk))=Aδ1x1(tk)+Bδ12u12(tk),

(1)

δ(x2(tk))=Aδ2x2(tk)+Bδ21u21(tk),

(2)

其中,x1(tk)∈Rn1和x2(tk)∈Rn2分別表示子系統(tǒng)1與子系統(tǒng)2的狀態(tài),u12(tk)∈Rm1和u21(tk)∈Rm2分別表示子系統(tǒng)1和子系統(tǒng)2的控制輸入,子系統(tǒng)1和子系統(tǒng)2的系統(tǒng)矩陣分別為Aδ1∈Rn1×n1和Aδ2∈Rn2×n2,控制輸入矩陣分別為Bδ12∈Rn1×m1和Bδ21∈Rn2×m2均為已知常值矩陣．

為使大系統(tǒng)協(xié)同穩(wěn)定,首先根據(jù)子系統(tǒng)(1)、(2)構造狀態(tài)反饋協(xié)同控制器[9,11]:

u12(tk)=Kδ12x2(tk),

(3)

u21(tk)=Kδ21x1(tk),

(4)

其中Kδ12∈Rm1×n2,Kδ21∈Rm2×n1是將要設計的狀態(tài)反饋增益矩陣．

聯(lián)立(1)—(4),可以得到閉環(huán)系統(tǒng):

(5)

定義2[11]如果存在協(xié)同狀態(tài)反饋控制器(3)—(4),使得閉環(huán)系統(tǒng)(5)漸近穩(wěn)定,那么系統(tǒng)(1)—(2)就是協(xié)同狀態(tài)反饋穩(wěn)定的．

本文進一步考慮如下協(xié)同控制器性能指標[9]:

(6)

定義3如果存在協(xié)同狀態(tài)反饋控制器(3)—(4),使得閉環(huán)系統(tǒng)(5)漸近穩(wěn)定,并滿足性能指標(6),那么子系統(tǒng)(1)—(2)就是協(xié)同狀態(tài)反饋穩(wěn)定,并具有性能J．

針對系統(tǒng)(1)—(2),求取Kδ12,Kδ21,使得協(xié)同控制器(3)—(4)作用下的閉環(huán)系統(tǒng)(5)漸近穩(wěn)定的控制問題是協(xié)同狀態(tài)反饋控制器設計的可行性問題．設計方法如文中定理1所示．

針對系統(tǒng)(1)—(2),求取Kδ12,Kδ21,使得協(xié)同控制器(3)—(4)作用下的閉環(huán)系統(tǒng)(5)漸近穩(wěn)定,并滿足性能指標J的控制問題是協(xié)同狀態(tài)反饋控制器設計的優(yōu)化問題．設計方法如文中定理2所示．

2 主要結論

2.1 協(xié)同控制器設計的可行性問題

定理1如果存在正定矩陣X11∈Rn1×n1,X22∈Rn2×n2,W11∈Rn1×n1,W22∈Rn2×n2和矩陣X12∈Rn1×n2,W12∈Rn1×n2,Y11∈Rm2×n1,Y12∈Rm2×n2,Y21∈Rm1×n1,Y22∈Rm1×n2,使得:

(7)

成立,其中

證明建立δ域的李雅普諾夫函數(shù):

V(x(tk))=xT(tk)Px(tk).

(8)

結合引理1、李雅普諾夫函數(shù)(8)及表達式(5),可以得到:

δV(x(tk))=δT(x(tk))Px(tk)+

xT(tk)Pδ(x(tk))+TδT(x(tk))Pδ(x(tk))=

TδT(x(tk))Pδ(x(tk)).

(9)

(10)

將式(10)代入式(9)中可以得到:

(11)

由式(11)可知,δV(x(tk))<0 成立的充分必要條件是

(12)

(13)

根據(jù)引理2,上述矩陣不等式(13)成立等價于

(14)

將式(5)中的矩陣Aδ代入式(14),并令Kδ21X11=Y11,Kδ12X22=Y22得到

進一步可知,當上述線性矩陣不等式Σ<0時,式(12)也成立．進而

可知在x(tk)≠0時,下述不等式成立:

xT(tk+T)Px(tk+T)-xT(tk)Px(tk)<0．

(15)

這就是說李雅普諾夫函數(shù)xT(tk)Px(tk)在δ域中是嚴格減函數(shù)．因此可以得到

xT(tk)Px(tk)→0,k→0.

又因為矩陣P>0是一個常數(shù)矩陣,有

x(tk)→0,k→0．

由此可知,在線性矩陣不等式Σ<0成立的情況下,系統(tǒng)(1)—(2)是協(xié)同狀態(tài)反饋穩(wěn)定的．定理1得證．

2.2 協(xié)同控制器設計的性能優(yōu)化問題

定理2如果存在正定矩陣X11∈Rn1×n1,X22∈Rn2×n2,W11∈Rn1×n1,W22∈Rn2×n2,Z11∈Rn1×n1,Z22∈Rn2×n2和矩陣X12∈Rn1×n2,W12∈Rn1×n2,Z12∈Rn1×n2,Y11∈Rm2×n1,Y12∈Rm2×n2,Y21∈Rm1×n1,Y22∈Rm1×n2,使得線性矩陣不等式:

(16)

成立,其中

J≤xT(t0)Px(t0)．

(17)

證明如定理1所示,取δ域上的李雅普諾夫函數(shù)為

V(x(tk))=xT(tk)Px(tk)．

結合式(9)與式(10),令

(18)

即

ξT(tk)Π1ξ(tk)<0,

(19)

(20)

(21)

根據(jù)引理2,上述矩陣不等式(21)等價于

(22)

(23)

由此可知,Π<0當且僅當Π1<0．

進一步,對于任意整數(shù)k>0,對式(18)兩邊同時乘采樣時間T,并從0到kT進行求和,可以得到

即

J≤xT(t0)Px(t0),

此時定理2得證．

綜上所述,定理1和定理2以線性矩陣不等式形式,分別給出了狀態(tài)反饋協(xié)同控制器的可行性設計方法和狀態(tài)反饋協(xié)同控制器的優(yōu)化設計方法．

注2相比于文獻[9]的方法,本文放寬了等式(10)中正定矩陣必須與線性矩陣不等式中正定矩陣相同的要求,即,原文中引入

0=δT(x(tk))P(Aδ(x(tk))-δ(x(tk)))

而不是

進一步,下述定理3給出了最優(yōu)性能J的控制設計方法．

定理3對于給定的系統(tǒng)(1)—(2)和性能指標(6),如果以下的優(yōu)化問題

minγ

證明與定理2相比,條件(ⅰ)—(ⅳ)是相同的．由定理2,令J≤xT(t0)Px(t0)<γ,應用引理2,并注意到P-1=X,易得條件(ⅴ)．定理3得證．

3 數(shù)值仿真

本節(jié)將通過Matlab軟件平臺的Simulink進行仿真,驗證所提定理的有效性．

考慮Delta算子描述的獨立子系統(tǒng)參數(shù)取值如下:

通過表1比較可以看出,本文的設計方法比文獻[9]中的方法在求解方法上保守性更低．

根據(jù)本文定理1可得到可行解Kδ12,Kδ21分別為

表1 四種控制方法比較

根據(jù)本文定理3可求得優(yōu)化的性能指標J=5.000 7．此時可以得到最優(yōu)解Kδ12,Kδ21為

經(jīng)Matlab-Simulink仿真,兩個子系統(tǒng)協(xié)同控制下的狀態(tài)仿真結果分別如圖1與圖2所示．由仿真結果可以看出本文提出的可行性方法以及優(yōu)化方法均能使得系統(tǒng)狀態(tài)在很短時間內(nèi)收斂到0,有效實現(xiàn)協(xié)同穩(wěn)定的控制效果．

圖1 子系統(tǒng)1在協(xié)同控制下的狀態(tài)仿真結果Fig.1 State simulation results for the first subsystem under cooperative control

圖2 子系統(tǒng)2在協(xié)同控制下的狀態(tài)仿真結果Fig.2 States simulation results for the second subsystem under cooperative control

進一步,比較兩個子系統(tǒng)的狀態(tài)響應結果圖1—2與控制輸入響應結果圖3—4,可以看出,優(yōu)化算法下的狀態(tài)會收斂更快且需要耗費的控制輸入成本更少．

圖3 子系統(tǒng)1在協(xié)同控制下的控制輸入仿真結果Fig.3 Control input simulation results for the first subsystem under cooperative control

圖4 子系統(tǒng)2在協(xié)同控制下的控制輸入仿真結果Fig.4 Control input simulation results for the second subsystem under cooperative control

4 結束語

本文提出的基于Delta算子框架的線性大系統(tǒng)協(xié)同穩(wěn)定的充分條件,使得含有不穩(wěn)定子系統(tǒng)的大系統(tǒng)協(xié)同穩(wěn)定的同時放寬了已有研究控制器設計中對正定矩陣的約束條件．根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論證明了所提方法的有效性及優(yōu)越性．仿真結果表明,本文所設計的協(xié)同控制器可以確保系統(tǒng)穩(wěn)定運行．