趙明慧 李文鈺

（北華大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 吉林吉林 132013）

引言

新時(shí)代發(fā)展的背景下，科技已成為國家綜合國力的重要體現(xiàn)。創(chuàng)新型人才越來越被社會(huì)所需要，創(chuàng)新是一個(gè)國家發(fā)展的不竭動(dòng)力，是民族進(jìn)步的關(guān)鍵所在，因此重視創(chuàng)新能力的培養(yǎng)尤為重要。數(shù)學(xué)教育對(duì)于創(chuàng)新能力的培養(yǎng)發(fā)揮了不可替代的作用。在2017年，《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》[1]明確提出要注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、數(shù)學(xué)思想與教學(xué)方法，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力。數(shù)學(xué)猜想是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的重要途徑，因此在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，要重視學(xué)生猜想能力的培養(yǎng)。

任樟輝[2]認(rèn)為數(shù)學(xué)猜想是學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上，解決數(shù)學(xué)問題時(shí)先進(jìn)行嘗試和探索，然后再進(jìn)行驗(yàn)證的一種思維方法。陳天星[3]認(rèn)為數(shù)學(xué)猜想是根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)以及數(shù)學(xué)材料，在理性分析的基礎(chǔ)上，對(duì)未知的事實(shí)或者命題做出的猜測性判斷。數(shù)學(xué)猜想打破傳統(tǒng)的思維模式，在不知道正確結(jié)論的基礎(chǔ)上，對(duì)原數(shù)學(xué)題進(jìn)行猜想，猜想的結(jié)果有可能是正確的，也有可能是不正確的，這都需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明[4]。但正是這種探究的過程，恰恰能夠發(fā)展學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)新意識(shí)，進(jìn)而提高學(xué)生的創(chuàng)新能力。本文的研究意義就是為數(shù)學(xué)猜想應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)提供了理論基礎(chǔ)，強(qiáng)調(diào)教師要轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，注重學(xué)生的數(shù)學(xué)猜想過程，發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新思維。

本文在分析數(shù)學(xué)猜想應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)的理論基礎(chǔ)上運(yùn)用了文獻(xiàn)法，通過分析文獻(xiàn)，陳述了數(shù)學(xué)猜想與數(shù)學(xué)教學(xué)有關(guān)的一些理論基礎(chǔ)，加深對(duì)數(shù)學(xué)猜想的認(rèn)識(shí)。另外，在分析文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，對(duì)數(shù)學(xué)教材中的文本內(nèi)容進(jìn)行分析，得出猜想應(yīng)用于教學(xué)的一些教學(xué)原則，教學(xué)實(shí)踐要符合這些教學(xué)原則。最后，本文結(jié)合高中數(shù)學(xué)教材中的有關(guān)教學(xué)的經(jīng)典案例，給出了猜想應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)的途徑，將數(shù)學(xué)猜想與高中教學(xué)實(shí)踐相結(jié)合，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法重要性，注重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、數(shù)學(xué)猜想應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)的理論基礎(chǔ)

1.發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)理論

布魯納是當(dāng)代發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)理論主要提出者。布魯納認(rèn)為發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)是學(xué)生通過自己一系列的分析、探索、實(shí)驗(yàn)等發(fā)現(xiàn)行為，學(xué)習(xí)并發(fā)現(xiàn)知識(shí)的過程。在這個(gè)過程中，學(xué)生是在教師的引導(dǎo)下，利用教師提供的學(xué)習(xí)資料，通過思考并經(jīng)過一系列的探索活動(dòng)，不斷的嘗試，進(jìn)而學(xué)習(xí)、發(fā)現(xiàn)新知識(shí)，學(xué)生不僅能發(fā)展創(chuàng)造性思維，開闊自己的視野，而且通過經(jīng)歷知識(shí)的探索過程，提高了自己的動(dòng)手操作以及創(chuàng)新能力。

2.建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論

皮亞杰是建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論的最早提出者。他認(rèn)為建構(gòu)是指兒童的認(rèn)知結(jié)構(gòu)通過同化和順應(yīng)這兩個(gè)過程，逐漸建構(gòu)起來，并逐漸豐富和發(fā)展。建構(gòu)理論學(xué)者認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是在學(xué)生已有數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，進(jìn)而建構(gòu)出新經(jīng)驗(yàn)，最終獲得新的知識(shí)。這就意味著數(shù)學(xué)猜想是建立在學(xué)生已有數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上做出的猜測和假定，猜想一定是有理可依的，并非毫無邏輯可言。

3.波利亞的思想理論

波利亞在代表著作《數(shù)學(xué)與猜想》[5]中認(rèn)為在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教育的根本目的是教會(huì)學(xué)生如何思考，因此教師在講課的過程中，若要教會(huì)學(xué)生思考，必須鼓勵(lì)學(xué)生猜想，對(duì)所講授的數(shù)學(xué)知識(shí)要有所保留，剩下的知識(shí)要靠學(xué)生自己探索、嘗試、猜測、驗(yàn)證出來。這個(gè)過程是教學(xué)生思考的過程，恰恰也是教學(xué)生猜想的過程。波利亞曾說“讓我們猜想吧！”

二、數(shù)學(xué)猜想應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)的教學(xué)原則

1.數(shù)學(xué)猜想的應(yīng)用要符合接受性原則

數(shù)學(xué)猜想的應(yīng)用符合接受性原則是指在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師無論是在新課講授還是習(xí)題課上創(chuàng)設(shè)問題情境從而引發(fā)學(xué)生的猜想時(shí)，要建立在學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)之上，新知識(shí)的學(xué)習(xí)需以舊知識(shí)為著眼點(diǎn)。教師需要做到要充分了解學(xué)生的學(xué)情，對(duì)于學(xué)生學(xué)過哪些知識(shí)要牢記于心，切記不可用學(xué)生還沒有學(xué)過的知識(shí)講授新課或者講授習(xí)題。接受性原則與波利亞的教育理論是相符的，學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)定理、法則的猜想過程要符合最佳動(dòng)機(jī)原則，比如學(xué)習(xí)的材料要能夠激發(fā)學(xué)生的興趣，加強(qiáng)和生活的聯(lián)系；另外學(xué)生猜想的內(nèi)容要符合循序漸進(jìn)原則，比如說猜想的知識(shí)符合學(xué)生的認(rèn)知水平，不能設(shè)置太高的難度。

例如，在高中學(xué)習(xí)函數(shù)的基本性質(zhì)—奇偶性時(shí)，教師借助于學(xué)生初中學(xué)過的二次函數(shù)f(x) =x2以及正比例函數(shù)g(x) =2x的圖像引入本節(jié)課的學(xué)習(xí)，對(duì)于學(xué)生來說這樣的情境引入是可接受的，也是熟悉的，因此也便于引發(fā)學(xué)生的猜想：二次函數(shù)f(x) =x2的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，正比例函數(shù)g(x) =2x的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，在這個(gè)猜想的基礎(chǔ)上，教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生并給出奇、偶函數(shù)的概念，從而進(jìn)入本節(jié)課的學(xué)習(xí)。在這個(gè)過程中，分析兩個(gè)函數(shù)圖像時(shí)，學(xué)生需要?jiǎng)邮植僮鳎?jīng)歷列表—描點(diǎn)—連線的探索過程，這一點(diǎn)與布魯納的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)理論相符，更能夠加強(qiáng)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)概念的理解和記憶，這個(gè)發(fā)現(xiàn)的過程更是充滿了嘗試、探索、猜想、試驗(yàn)，利于學(xué)生思考，便于發(fā)散學(xué)生思維。

2.數(shù)學(xué)猜想的應(yīng)用要突出問題性原則

數(shù)學(xué)猜想的應(yīng)用要突出問題性原則是指教師在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行新課學(xué)習(xí)或者是習(xí)題講授時(shí)，要根據(jù)命題設(shè)置一系列有層次的問題，進(jìn)而引發(fā)學(xué)生的思考和猜想。這里要指出的是，由于猜想的內(nèi)容是未知的，而且還沒有做出嚴(yán)謹(jǐn)證明，針對(duì)教師提出的問題，學(xué)生所做出猜測的正確與否是未知的。這是由猜想的特性所決定的，因?yàn)椴孪胧且砸延薪?jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，加上一定的依據(jù)，對(duì)未知領(lǐng)域做出的一個(gè)假定，因此猜想的結(jié)論是未知的，這就導(dǎo)致了學(xué)生有可能做出錯(cuò)誤的猜想，需要教師及時(shí)地引導(dǎo)，進(jìn)而得出正確的結(jié)論。

比如，在高中學(xué)習(xí)直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，我們通過太陽與地平線的位置關(guān)系引入新課的學(xué)習(xí)，首先，提出第一個(gè)問題“如果我們把太陽看成一個(gè)圓，地平線看成一條直線，那么太陽落山時(shí)，太陽和地平線有哪幾種位置關(guān)系？”。教師通過幻燈片播放太陽落山的這個(gè)動(dòng)態(tài)過程，引導(dǎo)學(xué)生觀察，學(xué)生猜想直線與圓總共有相離、相切、相交三種位置關(guān)系。教師再提出第二個(gè)問題“我們?nèi)绾蝸砼袛嘀本€與圓相離、相切、相交呢？”“那么最終你能否用數(shù)學(xué)語言來證明呢”。這里的第二個(gè)問題引導(dǎo)學(xué)生對(duì)初中的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行回顧，判斷直線與圓的位置關(guān)系有兩種，一是通過比較圓心到直線的距離與圓半徑的關(guān)系，二是通過分析直線與圓交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。第三個(gè)問題呢，就是可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)前面學(xué)過的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，借助于平面直角坐標(biāo)系中具體的圓與直線的方程，將文字語言轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)語言，利用“幾何法”和“代數(shù)法”判斷直線與圓的位置關(guān)系，并用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)過程證實(shí)學(xué)生自己的猜想。

3.數(shù)學(xué)猜想的應(yīng)用要符合再創(chuàng)造原則

“再創(chuàng)造”一詞最早是由弗賴登塔爾提出的，他認(rèn)為數(shù)學(xué)中的“再創(chuàng)造”就是“做數(shù)學(xué)”的過程。因此數(shù)學(xué)猜想的應(yīng)用要符合再創(chuàng)造性原則是指在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要盡可能地讓學(xué)生動(dòng)手操作，合作探索，親身經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生與形成過程，教學(xué)不僅要重視學(xué)習(xí)結(jié)果，更為重要的是重視探索過程，在這個(gè)過程中，學(xué)生可以學(xué)到不一樣的知識(shí)，比如打開了學(xué)習(xí)思路，發(fā)展了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，提高了動(dòng)手操作能力。

數(shù)學(xué)猜想具有創(chuàng)新性的特點(diǎn)，教師通過創(chuàng)設(shè)的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行觀察、分析、研究、探索、歸納、猜想、驗(yàn)證，最終得出結(jié)論，在這一系列的過程里，學(xué)生必定會(huì)獲得新的感悟，這種感悟也許是知識(shí)上的，也許是思想上的，無論哪種新的領(lǐng)悟，總歸都是一種“再創(chuàng)造”，符合數(shù)學(xué)猜想創(chuàng)新性的特點(diǎn)。

三、數(shù)學(xué)猜想應(yīng)用于教學(xué)的途徑

1.通過歸納產(chǎn)生數(shù)學(xué)猜想

歸納是從事物的局部特性或者個(gè)別特性出發(fā)，根據(jù)一定的經(jīng)驗(yàn)，推測出一類或者同類事物中都具有一樣的特性。歸納也被稱為歸納推理，分為不完全歸納和完全歸納，其中前者可以產(chǎn)生數(shù)學(xué)猜想，這種猜想未被證明；而后者可以用來證明數(shù)學(xué)猜想。這里以高中等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)為例來說明以下如何用歸納產(chǎn)生數(shù)學(xué)猜想。

在等比數(shù)列通項(xiàng)公式的教學(xué)中，學(xué)生在分析等比數(shù)列的第2、3、4、5項(xiàng)時(shí)，通過觀察可以發(fā)現(xiàn)他們都可以用首項(xiàng)和公比之積表示，其中首項(xiàng)的系數(shù)為1，而每一項(xiàng)所不同的是公比的次數(shù)不一樣，但是公比的次數(shù)比對(duì)應(yīng)項(xiàng)數(shù)少1，學(xué)生進(jìn)一步歸納猜想等比數(shù)列的第n項(xiàng)也可以寫成首項(xiàng)與公比之積，公比的次數(shù)比項(xiàng)數(shù)n少1，故最終歸納得出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1qn-1，學(xué)生是通過觀察分析等比數(shù)列的前幾項(xiàng)發(fā)現(xiàn)得出了等比數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)和首項(xiàng)以及公比的關(guān)系，從而猜想出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，猜想的詳細(xì)步驟如下：

又因?yàn)閍1=a1q0=a1q1-1，這就是說，當(dāng)n-1時(shí)，上式也成立。因此猜想正確，所以首項(xiàng)是a1，公比是q的等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=a1qn-1。

2.通過直觀產(chǎn)生數(shù)學(xué)猜想

直觀主要是指借助于感官尤其是視覺感官對(duì)客觀事物做出的一些感性認(rèn)識(shí)，因此這種感性認(rèn)識(shí)與生活是密切聯(lián)系的，直觀是屬于形象化的，來自生活的一些實(shí)例，給人一種熟悉感以及親切感。由于數(shù)學(xué)具有抽象的特點(diǎn)，為了更直觀形象地講授數(shù)學(xué)命題、定理或者習(xí)題時(shí)，我們往往借助于數(shù)學(xué)直觀的方法。數(shù)學(xué)直觀主要是借助于數(shù)學(xué)圖形、圖表、圖像、符號(hào)或某種模式等來描述、分析、解決數(shù)學(xué)問題。通過對(duì)數(shù)學(xué)教材的分析，數(shù)學(xué)直觀產(chǎn)生猜想的類型主要分為幾何直觀產(chǎn)生猜想和模具直觀產(chǎn)生猜想兩種類型。

（1）幾何直觀產(chǎn)生猜想

幾何直觀主要是指通過圖形、圖表來進(jìn)行分析和描述問題，利于學(xué)生觀察，分析已知條件的關(guān)系，從而求證或求解未知條件?？梢哉f，幾何直觀是高中數(shù)學(xué)解題的主要方法之一，簡化了做題思路，使問題直觀化，可以將文字或者符號(hào)語言轉(zhuǎn)化為圖形語言。通過幾何直觀產(chǎn)生猜想，無疑可以幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題。

比如我們?cè)诟咭粩?shù)學(xué)講授集合這一章，講解集合的交集時(shí)，我們引入了韋恩圖的概念，那么在學(xué)習(xí)集合之間的補(bǔ)集時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生思考：能否用韋恩圖畫出兩個(gè)集合之間的補(bǔ)集？學(xué)生對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行猜想，于是動(dòng)手操作，畫出了集合的補(bǔ)集，韋恩圖的引入，為集合運(yùn)算的講解提供了很不錯(cuò)的思路。

（2）由模具直觀產(chǎn)生猜想

模具直觀主要是指通過生活中具體的實(shí)例，尤其是學(xué)生身邊熟悉的、能夠引起共鳴的生活例子來講授數(shù)學(xué)定理、證明數(shù)學(xué)命題、公式。模具直觀明顯體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)—生活化，數(shù)學(xué)并不是憑空捏造的一門學(xué)科，而是來自生活，為生活服務(wù)，“鹽水模具”是一個(gè)很好的實(shí)例。

在這個(gè)進(jìn)行模具直觀的猜想時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行鹽水模具的實(shí)驗(yàn)，親身經(jīng)歷這個(gè)猜想探索的過程，這一點(diǎn)與布魯納的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)理論是極其符合的，經(jīng)歷了不等式證明的探索過程，有利于學(xué)生理解這個(gè)不等式的意義，掌握地更加牢固。

3.通過類比產(chǎn)生數(shù)學(xué)猜想

類比是指已知兩類對(duì)象或問題之間在某些方面具有相同或相似的特征，因此推測他們?cè)谄渌矫嬉泊嬖谀承┫嗤蛳嗨频奶匦裕且环N思維方法。運(yùn)用類比進(jìn)行猜想，能夠發(fā)散學(xué)生的思維，鍛煉學(xué)生的觀察品質(zhì)，更好地去掌握數(shù)學(xué)知識(shí)。類比猜想與皮亞杰的建構(gòu)主義理論相對(duì)應(yīng)，猜想不是憑空捏造的，而是在已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，利于知識(shí)的遷移。

比如在高中數(shù)學(xué)人教版必修一學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)時(shí)，我們一般通過類比研究冪函數(shù)性質(zhì)的過程和方法，進(jìn)而對(duì)指數(shù)函數(shù)進(jìn)行猜想，并研究其圖像。這種由前者的學(xué)習(xí)類比后者的學(xué)習(xí)，滲透了類比思想，切實(shí)地實(shí)踐了核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，加強(qiáng)函數(shù)之間的聯(lián)系，利于知識(shí)的遷移。

結(jié)語

本文通過對(duì)猜想教育理論基礎(chǔ)進(jìn)行的研究，以及對(duì)高中數(shù)學(xué)教材進(jìn)行的分析，提出了猜想應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)的教學(xué)原則和途徑，三種數(shù)學(xué)教學(xué)原則分別是接受性原則、問題性原則、創(chuàng)造性原則，并且猜想主要通過歸納、直觀、類比三種途徑應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐。