林瓊桂

(中山大學(xué)物理學(xué)院，廣東 廣州 510275)

對(duì)于有限長(zhǎng)螺線管的磁場(chǎng)分布，本刊曾經(jīng)發(fā)表過(guò)一項(xiàng)計(jì)算[1]，它給出了級(jí)數(shù)形式的結(jié)果.但作者未分析所得級(jí)數(shù)的收斂性，因而未發(fā)現(xiàn)其存在發(fā)散問(wèn)題.本文的目的是對(duì)其結(jié)果加以分析并對(duì)其中錯(cuò)誤的部分加以修正.

螺線管磁場(chǎng)的計(jì)算是電磁學(xué)與電動(dòng)力學(xué)中的基本問(wèn)題.這個(gè)問(wèn)題初看起來(lái)顯得很簡(jiǎn)單，因?yàn)槲锢砩现皇怯玫紹iot-Savart 定律，數(shù)學(xué)上無(wú)非是一個(gè)含參數(shù)(場(chǎng)點(diǎn)坐標(biāo)視為參數(shù)) 的多重積分.然而這個(gè)多重積分不便于實(shí)際計(jì)算和分析，所以一般需要將其化為級(jí)數(shù)形式，或者用人們已經(jīng)熟悉的特殊函數(shù)——比如各種橢圓積分——表出.這些計(jì)算中用到了各種各樣的特殊函數(shù)，因而對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)并非輕而易舉.最近，我們提出了一種不同于以往的計(jì)算方法[2]，結(jié)果也是級(jí)數(shù)形式，但是級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)都是初等函數(shù)或簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式，而非每一項(xiàng)本身又是特殊函數(shù).雖然這些多項(xiàng)式也可以認(rèn)為是一種特殊函數(shù)，但是它們只是二項(xiàng)式展開(kāi)的一部分，所以非常容易處理.關(guān)于以往各種計(jì)算方法的引述，可以參看文獻(xiàn)[2].

就我們所知，文獻(xiàn)[1] 的計(jì)算方法和結(jié)果是獨(dú)立的，沒(méi)有在以往的文獻(xiàn)中出現(xiàn)過(guò).然而，作者對(duì)于級(jí)數(shù)結(jié)果的收斂性未作分析，錯(cuò)誤地將單個(gè)級(jí)數(shù)形式用于全空間.我們通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)，該文的級(jí)數(shù)結(jié)果在圓柱面(包括螺線管圓柱面及其延長(zhǎng)部分) 外處處收斂，而在圓柱面內(nèi)則不然，因而不適用.我們重新計(jì)算了圓柱面內(nèi)的結(jié)果，并驗(yàn)證了柱面兩側(cè)的邊界條件.

在以往的各種計(jì)算方法中，文獻(xiàn)[3] 采用了與文獻(xiàn)[1] 相同的出發(fā)點(diǎn)，但后續(xù)的計(jì)算路線不同，結(jié)果的形式也就有較大差異，我們對(duì)該文的結(jié)果也將略作評(píng)述.

1 原計(jì)算簡(jiǎn)介與評(píng)述

為了便于與文獻(xiàn)[1]比較，我們盡量采用與其相同的記號(hào).

考慮圓柱形螺線管，半徑為a，長(zhǎng)度為2l，單位長(zhǎng)度密繞n0匝導(dǎo)線，并通以電流I.記B0=n0μ0I，即l→+∞時(shí)螺線管內(nèi)部的磁感應(yīng)強(qiáng)度，其中μ0是真空磁導(dǎo)率.取柱坐標(biāo)系(ρ,φ,z)，基矢為(eρ,eφ,ez)，使得螺線管的圓柱面由ρ=a和|z|≤l描述.z軸正方向與電流方向滿足右手螺旋關(guān)系.容易求得A=eφAφ(ρ,z)，而

(1)

對(duì)上式中的1/R采用不同的展開(kāi)式，計(jì)算所得結(jié)果的形式就不一樣了.用貝塞耳函數(shù)展開(kāi)1/R，可以求得

(2)

其中Jn(x)是n階貝塞耳函數(shù)，而g(k,z)/k相當(dāng)于文獻(xiàn)[1]中的G(k,z)，文獻(xiàn)[1]按z的取值分三段給出G(k,z)，實(shí)際上它可以寫(xiě)成統(tǒng)一的形式，用g(k,z)寫(xiě)出即為

g(k,z)=ε(z+l)-ε(z-l)+

ε(z-l)e-k|z-l|-ε(z+l)e-k|z+l|

(3)

其中ε(x)是符號(hào)函數(shù)，當(dāng)x>0(x<0)時(shí)ε(x)=1(-1)，且定義ε(0)=0.計(jì)算旋度可得磁場(chǎng)的非零分量為

(4)

(5)

這些積分是文獻(xiàn)[1]和[3]計(jì)算級(jí)數(shù)形式的出發(fā)點(diǎn)(文獻(xiàn)[3]將圓柱下底置于z=0，故形式略有不同).以上與原文的主要不同是將g(k,z)寫(xiě)成了單一表達(dá)式.

為了計(jì)算Bρ的級(jí)數(shù)形式，文獻(xiàn)[1]將J1(ka)的級(jí)數(shù)表達(dá)式代入式(4) 并利用下述積分公式[4]完成對(duì)k的積分：

(6)

(7)

通過(guò)下面的分析可知：式(7)的級(jí)數(shù)在圓柱面外，以及圓柱面上螺線管邊緣(即上下底圓周)以外的地方處處絕對(duì)收斂，但是在圓柱面以內(nèi)則不然.所以，在圓柱面內(nèi)，需要重新計(jì)算.

式(7)包含了兩個(gè)級(jí)數(shù)，對(duì)應(yīng)于式(4)的兩項(xiàng)積分，只當(dāng)兩者均收斂時(shí)，該結(jié)果才有意義.當(dāng)兩者均發(fā)散但通項(xiàng)互相抵消時(shí)，嚴(yán)格來(lái)說(shuō)也是不可取的.

首先證明，當(dāng)r1>a，式(7) 中的第一個(gè)級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂的.利用遞推關(guān)系[5]：

(8)

以及|Pl(x)|≤1，容易得到

(9)

(10)

以上式右邊為通項(xiàng)的正項(xiàng)級(jí)數(shù)在所述條件下顯然收斂，故結(jié)論成立.其次，由類似的論證可知，當(dāng)r2>a，式(7)中的第二個(gè)級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂的.

在圓柱面內(nèi)，ρa，r2>a，則式(7)中的兩個(gè)級(jí)數(shù)就仍然是絕對(duì)收斂的.此時(shí)結(jié)果沒(méi)有問(wèn)題.但是，如果場(chǎng)點(diǎn)的位置使得r1≤a和r2≤a至少有一個(gè)成立，則級(jí)數(shù)的收斂性就沒(méi)有保證.以式(7)中的第一個(gè)級(jí)數(shù)為例，雖然我們難以一般論證r1≤a時(shí)該級(jí)數(shù)必定發(fā)散，但很容易舉出發(fā)散的情況.比如當(dāng)z=l，該級(jí)數(shù)的形式為(不包括求和號(hào)前的因子，下同)

(11)

按上式的系數(shù)，對(duì)應(yīng)的冪級(jí)數(shù)收斂半徑為1，而現(xiàn)在ρ

(12)

通過(guò)數(shù)值計(jì)算容易發(fā)現(xiàn)，和式的絕對(duì)值隨著求和上限的增大迅速增大，完全沒(méi)有收斂的跡象.

綜上分析，式(7)的級(jí)數(shù)形式不能一般地應(yīng)用于ρ

再看軸向磁場(chǎng)Bz.計(jì)算的出發(fā)點(diǎn)是式(5)和式(3).先看ρ>a的區(qū)域.利用積分公式[4]：

(13)

可知此時(shí)式(3)中前兩項(xiàng)對(duì)結(jié)果沒(méi)有貢獻(xiàn).對(duì)于后兩項(xiàng)，將J1(ka)的級(jí)數(shù)表達(dá)式代入式(5)并利用積分公式(6)完成對(duì)k的積分，可得

(14)

這是文獻(xiàn)[1]的計(jì)算結(jié)果.細(xì)節(jié)略有不同的是，文獻(xiàn)[1]根據(jù)z的取值分三段計(jì)算，而此處是一步完成.該文未分析上述級(jí)數(shù)的收斂性.

對(duì)于ρ

通過(guò)下面的分析可知：式(14)中的級(jí)數(shù)在ρ>a的區(qū)域是絕對(duì)收斂的，所以該式是正確的結(jié)果.對(duì)于ρ

首先指出，如果式(14)中的級(jí)數(shù)處處收斂且連續(xù)(和函數(shù)連續(xù)要求級(jí)數(shù)一致收斂)，那么按照文獻(xiàn)[1]的結(jié)果，軸向磁場(chǎng)在螺線管端面兩側(cè)將不連續(xù)，這顯然是不正確的.但是，該級(jí)數(shù)在ρ

由于|Pl(x)|≤1，而ρ>a時(shí)r1>a和r2>a同時(shí)成立，故式(14)中的兩個(gè)級(jí)數(shù)在ρ>a時(shí)都是絕對(duì)收斂的.所以式(14) 在ρ>a時(shí)是軸向磁場(chǎng)的正確表達(dá)式.

對(duì)于ρa，r2>a，則式(14)中的兩個(gè)級(jí)數(shù)就仍然是絕對(duì)收斂的.但是，如果場(chǎng)點(diǎn)的位置使得r1≤a和r2≤a至少有一個(gè)成立，則級(jí)數(shù)的收斂性就沒(méi)有保證.以式(14)中的第一個(gè)級(jí)數(shù)為例，雖然我們難以一般論證r1≤a時(shí)該級(jí)數(shù)必定發(fā)散，但很容易舉出發(fā)散的情況.比如當(dāng)ρ=0，利用P2n+1(±1)=±1，可知此時(shí)該級(jí)數(shù)的形式為

(15)

在遠(yuǎn)離上底的地方，上式?jīng)]有問(wèn)題.但是在上底附近，上式是嚴(yán)重發(fā)散的.順便指出，文獻(xiàn)[1]在后續(xù)討論中強(qiáng)行對(duì)上式求和而得出柱軸上的軸向磁場(chǎng)表達(dá)式，是不可取的.

根據(jù)上面的分析，文獻(xiàn)[1]中給出的ρ

2 圓柱面內(nèi)磁場(chǎng)修正與進(jìn)一步討論

先計(jì)算Bρ.當(dāng)ρ

(16)

可見(jiàn)在這一計(jì)算方法中，磁場(chǎng)的徑向分量需要根據(jù)ρ>a或ρ

再計(jì)算Bz.將式(3)代入式(5)，對(duì)于式(3)中前兩項(xiàng)的貢獻(xiàn)，可以由積分公式(13)得出；對(duì)于式(3)中后兩項(xiàng)的貢獻(xiàn)，則應(yīng)該將被積函數(shù)中的J0(kρ)而不是J1(ka)作級(jí)數(shù)展開(kāi)，與展開(kāi)式第一項(xiàng)相應(yīng)的積分需要用以下公式[4]單獨(dú)計(jì)算：

(17)

隨后各項(xiàng)則可以用積分公式(6)計(jì)算.整理可得

(18)

當(dāng)ρρ和R2>ρ同時(shí)成立，故上式中的兩個(gè)級(jí)數(shù)都是絕對(duì)收斂的，論證方法與前面類似.

當(dāng)ρ=0，式(18) 中的級(jí)數(shù)部分為零，所以柱軸上的軸向磁場(chǎng)由該式的第一項(xiàng)給出，這是熟知的結(jié)果.另外，如果l→+∞，則式(18)中級(jí)數(shù)部分的極限為零，而第一項(xiàng)的極限是B0，這也是正確的結(jié)果.

值得指出，雖然式(5)中的被積函數(shù)是z的分段函數(shù)，但最后的結(jié)果具有統(tǒng)一的形式，無(wú)論是ρ>a的結(jié)果(14)還是ρ

文獻(xiàn)[2]采用了完全不同的計(jì)算方法，軸向磁場(chǎng)也是分開(kāi)ρ>a和ρ

文獻(xiàn)[3]計(jì)算軸向磁場(chǎng)時(shí)采用了與式(5)相同的出發(fā)點(diǎn)，但在后續(xù)計(jì)算中引用了不同的積分公式，與文獻(xiàn)[2]的結(jié)果和上面所得結(jié)果比較，其結(jié)果有幾個(gè)缺點(diǎn)：第一，軸向磁場(chǎng)需要分開(kāi)6個(gè)區(qū)域用不同的級(jí)數(shù)表出(該文未給出下底以下部分的結(jié)果，所以實(shí)際上只給出了4個(gè)區(qū)域的結(jié)果)，而不僅僅是分開(kāi)兩個(gè)區(qū)域；第二，其級(jí)數(shù)表達(dá)式中，每一項(xiàng)都涉及超幾何函數(shù)，即又是一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)，而式(14)或式(18)的每一項(xiàng)都是多項(xiàng)式(雖然連帶Legendre函數(shù)不是通常意義上的多項(xiàng)式，但也是有限的)，文獻(xiàn)[2]亦然，且所涉及的多項(xiàng)式更簡(jiǎn)單.第三，其級(jí)數(shù)表達(dá)式的收斂性難以論證，而式(14)或式(18)的收斂性都是明確的，而文獻(xiàn)[2]中的級(jí)數(shù)收斂性尤其簡(jiǎn)單.

3 邊界條件的驗(yàn)證

當(dāng)ρ=a時(shí)，有r1=R1和r2=R2，比較式(7)和式(16)，易知Bρ在ρ=a處是連續(xù)的，如所期望.但是注意不要涉及z=±l，此時(shí)Bρ在ρ=a兩側(cè)都是發(fā)散的.

驗(yàn)證Bz的邊界條件則有一點(diǎn)難度.按文獻(xiàn)[1]的做法，則這一驗(yàn)證是輕而易舉的，但是由于其結(jié)果在ρ

今定義：

(19)

并利用遞推關(guān)系[5]：

(20)

可以將柱面內(nèi)側(cè)的軸向磁場(chǎng)寫(xiě)成

Bz(a-0,z)=

(21)

式中(x1→x2)表示將其前面諸項(xiàng)中的自變量x1換成x2所得結(jié)果.而柱面外側(cè)的軸向磁場(chǎng)則可以寫(xiě)成

Bz(a+0,z)=

(22)

于是就有

Bz(a-0,z)-Bz(a+0,z)=

(23)

如果我們能夠證明：

(24)

那么就可以得到

(25)

這正是我們要證明的邊界條件.

現(xiàn)在回頭看式(24)，它是驗(yàn)證軸向磁場(chǎng)邊界條件的關(guān)鍵.首先，容易看出左邊是x的奇函數(shù).其次，當(dāng)x=1，左邊顯然為1.再次，當(dāng)x=0，左邊顯然為0.這些都是該式成立的必要條件.最后，對(duì)于區(qū)間(0，1)上的若干x值，用數(shù)值計(jì)算可以驗(yàn)證該式是成立的.這些觀察和驗(yàn)算可以幫助我們建立起對(duì)于這個(gè)復(fù)雜公式的信心.嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明如下.

我們構(gòu)造一個(gè)積分，用兩種方法計(jì)算該積分，從而建立求和公式(24).

定義

(26)

以及

(27)

采用與上文中類似的計(jì)算，可以得到

(28)

ρ<1 (29)

按前文的方法計(jì)算整理可得

B(1-0,z)-B(1+0,z)=

(30)

其中定義了

(31)

下面用另一種方法計(jì)算相應(yīng)的結(jié)果.對(duì)式(26)的A(ρ,z)求導(dǎo)并化簡(jiǎn)可得

(32)

利用積分公式

b∈,b≠0 (33)

完成對(duì)z′的積分，可得

(34)

按(1+x)-1/2的Taylor展開(kāi)式，可有

(35)

只要ρ≠1，則上式對(duì)φ是一致收斂的，而式(34)中被積函數(shù)的第一個(gè)因子是有界的，故將上式代入式(34)后可以逐項(xiàng)積分而得

(36)

當(dāng)ρ<1，可有對(duì)φ一致收斂的展開(kāi)式：

(37)

代入式(36)，易知m>n的項(xiàng)對(duì)積分沒(méi)有貢獻(xiàn)，于是得到

(38)

當(dāng)ρ>1，則有對(duì)φ一致收斂的展開(kāi)式：

(39)

代入式(36)，與上面同理可得

(40)

從而有

(41)

易證

(42)

故式(41) 簡(jiǎn)化為

B(1-0,z)-B(1+0,z)=

(43)

上式中的求和等于[1-2/(2+z2)]-1/2，故化簡(jiǎn)可得

(44)

結(jié)合式(30)，就得到了式(24)的求和公式.

最后順便指出，文獻(xiàn)[1]的作者在本刊發(fā)表的另一項(xiàng)相關(guān)工作[6]存在與文獻(xiàn)[1]同樣的問(wèn)題.因篇幅所限，不展開(kāi)討論.