楊師杰

(北京師范大學 物理學系，北京 100875)

大學教授量子力學通常從引入薛定諤方程開始，以求解不同條件下的薛定諤方程本征值問題貫穿始終，但是對于為何存在本征值問題，本征函數(shù)的完備性則略而不談，相關(guān)的數(shù)學物理方法課程也只述結(jié)論，不表原因，這致使量子力學的數(shù)學基礎一直不甚了了.本文試圖從線性空間的內(nèi)積開始，對量子力學的數(shù)學基礎做一個系統(tǒng)的描述[1]，以期對教學產(chǎn)生有益的輔助作用.

1 線性空間基礎

1.1 度量空間

范數(shù)用來表征某個線性向量空間中向量的長度，記做‖x‖，滿足條件‖x‖≥0，定義了范數(shù)的向量空間稱為賦范空間.設是一個非空集合，對其中任意兩點x、y，引入一個相應的實數(shù)d(x，y)，滿足：1) 正定性：d(x，y)≥0，當且僅當x=y時，d(x，y)=0；2) 對稱性:d(x，y)=d(y，x)；3) 三角不等式:d(x，y)≤d(x，z)+d(z，y).則稱d(x，y)為中的一個度量，稱為定義度量d(x，y)的度量空間.

度量空間是將歐幾里得空間的距離概念做推廣的一個抽象數(shù)學結(jié)構(gòu)，它采用集合中兩個元素之間的度量取代歐幾里得空間中兩點之間的距離，可以包括向量距離、函數(shù)距離、曲面距離等.賦范空間和度量空間的區(qū)別，在于度量定義于任意非空集合，而范數(shù)僅定義于向量空間.

當空間定義了度量之后，就可以比較空間中兩點之間的距離，度量空間的柯西序列可表述為:設(，d)為度量空間中的點序列x1，x2，…，xk，…∈，如果對于任意正實數(shù)ε>0，存在正整數(shù)N(ε)，當n，m>N(ε)時，度量(距離)d(xn，xm)<ε，則該序列稱作柯西序列，用極限表示，即

任何緊致集合都是完備的，但反過來不成立.比如實數(shù)集雖然是完備的，但不是緊致的;只有加上∞后，才構(gòu)成緊致閉集合，它等價于一個圓周.有限維的歐幾里得空間在通常的距離定義下是完備的，而無限維空間的完備性，則是下面需要專門探討的課題.

1.2 內(nèi)積空間

一般的線性向量空間定義中并不包含向量與向量之間的乘法，為此引入內(nèi)積概念，用符號〈a|≡(|a〉)?表示向量|a〉的對偶向量，有

(α|a〉+β|b〉)?=α*〈a|+β*〈b|

其中星號表示取復共軛.狄拉克將向量|a〉稱為右矢，向量〈a|稱為左矢，分別表示括號的一半[3].

設有n維線性向量空間，向量|a〉，|b〉，|c〉∈，在復數(shù)域上定義內(nèi)積〈a|b〉∈，滿足如下條件：

1) 〈a|b〉=〈b|a〉*;

2) 〈αa+βb|c〉=α*〈a|c〉+β*〈b|c〉;

3) 〈a|a〉≥0，當且僅當|a〉=0時，〈a|a〉=0.

內(nèi)積將一對向量與一個實數(shù)或復數(shù)標量聯(lián)系起來，用符號表示為×.如果兩個非零的向量滿足〈a|b〉=0，則稱它們互相正交.定義了內(nèi)積的線性向量空間稱作內(nèi)積空間，當內(nèi)積為實數(shù)時稱作歐幾里得空間，內(nèi)積為復數(shù)時稱作酉空間.

內(nèi)積的定義區(qū)別了內(nèi)積空間與一般向量空間，它包含3個運算:向量與向量之間的加法，標量與向量之間的乘法，以及向量與向量之間的乘法.內(nèi)積實際上也定義了一個度量，因此內(nèi)積空間也是度量空間.

1.4 自伴算符

2 希爾伯特空間

有限維線性向量空間的基本思想，其中的概念如線性疊加、線性無關(guān)、內(nèi)積、子空間等，都可以直接推廣到無限維空間.然而有一件事至關(guān)重要，那就是向量無窮求和的收斂性，或者說無窮維向量空間的完備性，這個并非平庸的問題賦予無限維空間更加深刻的性質(zhì)[1].

2.1 貝塞爾不等式

所以有貝塞爾不等式：

則稱該空間是完備的.

2.2 完備性關(guān)系

內(nèi)積空間如果是完備的，則稱作希爾伯特空間，記做H，所有完備的有限或無限維內(nèi)積空間都是希爾伯特空間.完備性表明帕塞瓦恒等式成立，即

所以有

該式也被稱作基向量的完備性關(guān)系.

2.3 函數(shù)空間

定義在區(qū)間[a，b]的連續(xù)函數(shù)可視作一個向量，該區(qū)間內(nèi)所有連續(xù)函數(shù)構(gòu)成一個線性向量空間，但這個空間并不是完備的.如何構(gòu)造一個完備的內(nèi)積空間呢?首先，需要定義兩個函數(shù)向量的內(nèi)積，它很自然地與函數(shù)的積分相聯(lián)系.一般地，將函數(shù)空間的內(nèi)積定義為

其中ρ(x)是一個正定的實函數(shù)，稱作權(quán)重函數(shù)，以后會討論到.本文有時為了方便，簡單地取ρ(x)=1.令f(x)=g(x)，則其范數(shù)為

因此內(nèi)積空間要求所有函數(shù)必須是模方(加權(quán))可積的.

前面稱完備的無窮維內(nèi)積空間是希爾伯特空間.本定理表明，希爾伯特空間的數(shù)量是很有限的，它等同于我們熟悉的平方可積函數(shù)空間.一般來說，平方可積性并不要求函數(shù)是連續(xù)的.它只要求函數(shù)分段光滑即可.

2.4 連續(xù)基

無限不可數(shù)空間向量|f〉在基{|ex〉}x∈表示下的分量f(x)，則被視作連續(xù)實數(shù)集合的函數(shù)：

向量分量f(x)即為函數(shù)向量|f〉在連續(xù)基表示下的函數(shù).

該式意味著

物理學家習慣忽略掉e，而將基向量寫作|x〉，則連續(xù)指標的完備性關(guān)系為

將向量|f〉用|x〉表示為

其中x′∈(a，b)，可見ρ(x)〈x′|x〉=δ(x-x′)，即狄拉克δ函數(shù).如果取權(quán)重ρ(x)=1，得到連續(xù)基的正交完備關(guān)系：

在量子力學中，如果連續(xù)基是位置則稱作坐標表象;如果連續(xù)基是動量則稱作動量表象.希爾伯特空間的態(tài)向量在連續(xù)基下的表示稱作波函數(shù)，在不同連續(xù)基之間的轉(zhuǎn)換稱作表象變換[4].

3 施圖姆-劉維爾系統(tǒng)

3.1 伴隨算符

(p2vu′+p1vu)′-(p2v)′u′-(p1v)′u+p0uv=

[p2vu′-(p2v)′u+p1vu]′+

u[(p2v)″-(p1v)′+p0v]=

其中算符：

對區(qū)間[a，b]進行積分，可得

該式稱為拉格朗日恒等式，它可以視作另一種形式的格林公式.

則有

一個算符的伴隨算符與該算符的形式有關(guān)，伴隨算符的邊界條件也與原算符的邊界條件不同.

3.2 自伴算符

定義在區(qū)間x∈[a，b]的形如

的二階常微分方程，被稱作施圖姆-劉維爾本征方程.由于ρ(x)〉0，令

方程可化為標準的本征方程：

則

由拉格朗日恒等式得

注意到施圖姆-劉維爾算符成為自伴算符的前提是上式右邊為零，即

因此對于不同本征值λ1≠λ2，其對應的本征函數(shù)是(加權(quán))正交的：

可以有3種不同方式滿足上述邊界條件[4]:

1) 如果端點滿足第一類齊次邊界條件(狄里希利邊界條件)，或第二類齊次邊界條件(紐曼邊界條件)，這顯然是可以實現(xiàn)的.

2) 如果端點滿足第三類齊次邊界條件(混合邊界條件)，比如在x=a端滿足

3) 雖然不滿足齊次邊界條件，但是如果在端點p(x)為零，比如p(a)=0，同樣可以達到此目的，這就是所謂自然邊界條件.由于具有有限解的微分方程通常只能含有正規(guī)奇點，容易證明p(x)在端點必為一階零點，自然邊界條件也稱為奇異邊界條件.

傳統(tǒng)的量子力學理論要求力學量算符必須是自伴算符，這樣當它作用于態(tài)向量后，本征值都是實驗可觀測的實數(shù)，且本征向量是正交的.許多量子力學問題沒有齊次邊界條件，比如諧振子定態(tài)方程，氫原子電子運動方程，或者磁場中電子的運動方程等，而且有時候方程在無窮遠點出現(xiàn)非正規(guī)奇點，這時需要仔細鑒別出自然邊界條件，以確保量子系統(tǒng)構(gòu)成施圖姆-劉維爾本征值問題.本文最后一節(jié)給出幾個示例來展示這一過程.

3.3 基本性質(zhì)

由于施圖姆-劉維爾型方程的本征函數(shù)具有帶權(quán)重的正交性以及完備性，如果函數(shù)f(x)具有連續(xù)的一階導數(shù)和分段連續(xù)的二階導數(shù)，且滿足本征函數(shù)族所滿足的邊界條件，就可以用這些本征函數(shù)y1(x)，y2(x)，y3(x)，…的線性疊加表示，稱作廣義傅里葉級數(shù)展開：

本征函數(shù)族稱作級數(shù)展開的基，展開系數(shù)為

近年來凝聚態(tài)物理前沿領域中出現(xiàn)許多討論非自伴或非厄米哈密頓量的研究.在這種情況下，本征能量為復數(shù)，本征函數(shù)也不再是正交的，而周期結(jié)構(gòu)的能帶將呈現(xiàn)出特殊拓撲性，以及皮膚量子態(tài)等特征，這是一個量子理論發(fā)展的新動向.值得指出的是，非厄米系統(tǒng)希爾伯特空間的完備性問題仍然未被完全理解.

4 量子力學示例

我們?nèi)∽匀粏挝?=m=1，討論兩個薛定諤定態(tài)方程的具體應用作為示例.

1) 一維諧振子運動方程：

該式化為標準的施圖姆-劉維爾型為

得到p(ξ)=e-ξ2，由此可知u(ξ)在無窮遠點存在自然邊界條件，因此該方程的無窮級數(shù)解可以截斷為厄米多項式，由此確定本征值λ=n(n∈)以及相應的本征函數(shù).

2) 氫原子的電子運動方程

在球坐標系中分離變量ψ(r，θ，φ)=R(r)Ylm(θ，φ)，其中角向部分即為球諧函數(shù)Ylm(θ，φ)，對應的本征值為l(l+1)，徑向部分滿足方程：

可見r=0是方程的正規(guī)奇點，但r=∞是方程的非正規(guī)奇點，暫時不能確定在無窮遠點是否存在自然邊界條件.

ry″+[2(l+1)-2βr]y′-2[(l+1)β-1]y=0

再令

有

ξy″+(γ-ξ)y′-αy=0

其施圖姆-劉維爾本征方程為

其中p(ξ)=ξγe-ξ，這樣就證明函數(shù)y(ξ)在ξ=0，∞均存在自然邊界條件，方程的無窮級數(shù)解為庫默爾函數(shù)：

雖然該級數(shù)的收斂半徑為無窮大，但在ξ=∞級數(shù)仍然發(fā)散，為此將無窮級數(shù)截斷為多項式，即將α參數(shù)取為負整數(shù)：

α=-nr， (nr=0，1，2，…)

最后總結(jié)一下，如果r=∞是方程的非正規(guī)奇點，通常沒有自然邊界條件，方程的解不宜直接表示為弗羅貝尼烏斯級數(shù)形式.函數(shù)變換R(r)y(r)改變了r=∞的奇異性，使得函數(shù)y滿足自然邊界條件，發(fā)散級數(shù)可截斷為多項式.在量子力學中，我們習慣上認為r→∞時波函數(shù)ψ(r)→0是薛定諤方程之外附加的物理要求，其實這是方程本身存在自然邊界條件的結(jié)果，正所謂方程決定物理.

作為反例，貝塞爾方程在x=∞為非正規(guī)奇點，其級數(shù)解的收斂半徑為無窮大，完全不必做截斷處理.但由于在x=∞缺少自然邊界條件，方程不能構(gòu)成完備的本征值問題.必須在有限半徑的圓周上附加以齊次邊界條件，與x=0的自然邊界相結(jié)合，才能構(gòu)成完備的本征值問題.