趙敦博，胡國兵，楊 莉，趙嬪姣

(1.南京郵電大學(xué) 電子與光學(xué)工程學(xué)院、柔性電子(未來技術(shù))學(xué)院，南京 210023；2.金陵科技學(xué)院 電子信息工程學(xué)院，南京 211169)

0 引 言

認(rèn)知無線電(Cognitive Radio,CR)作為一種動態(tài)機會頻譜接入機制，為提高頻譜資源利用效率提供了更加有效的解決途徑[1-2]。對于CR系統(tǒng)而言，頻譜感知是其有效工作的前提與基礎(chǔ)，其任務(wù)就是檢驗主用戶信道是否被占用，本質(zhì)上講就是信號檢測[1]。

目前，常用的頻譜感知算法大致可分為基于非機器學(xué)習(xí)的頻譜感知算法[1](如能量檢測法、匹配濾波法、循環(huán)平穩(wěn)特征法等)和基于機器學(xué)習(xí)的頻譜感知算法(如反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法等)。前者通常從信號的時域、頻域、變換域等角度提取特征[1]，后者雖可獲取較好的檢測性能，但需要大量的訓(xùn)練樣本，導(dǎo)致其在非協(xié)作條件下應(yīng)用受限。通常，提高特征的可分性是提升其性能的關(guān)鍵因素，但這往往需要增加觀測樣本量，勢必增加算法的復(fù)雜度。因此，為了提高算法的效能，對新的信號表征及特征定義方法的研究已成為該領(lǐng)域的熱點課題[3-4]。

近年發(fā)展起來的圖域信號處理方法[3-6]為解決這個問題提供了新的思路，其基本思想是將信號樣本(時域或頻域形式)變換成特定的圖并進行檢測，圖的頂點和邊由變換前信號域中采樣點的關(guān)系和映射規(guī)則決定。目前，有關(guān)圖域信號處理在頻譜感知或信號檢測中應(yīng)用的文獻較少，主要是基于完全圖特征來實現(xiàn)信號檢測，但由于在進行圖域變換時需將具有大量采樣點的信號集合轉(zhuǎn)換成圖的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)來進行處理，且在特征提取時需要進行矩陣的特征分解，也增加了信號處理的復(fù)雜度。

針對復(fù)雜度增加的問題，本文引入極值理論，提出了一種改進的基于功率譜分組極差圖域處理的認(rèn)知無線電頻譜感知算法。仿真結(jié)果表明，本文算法的計算復(fù)雜度相較于已有的基于特征值檢驗的圖域頻譜感知算法有較大幅度的下降，且其在低信噪比下性能更佳。

1 信號模型與背景知識

1.1 信號模型

假設(shè)被加性高斯白噪聲(Additive White Gaussian Noise,AWGN)污染后的離散觀測信號r(n)可表示為

r(n)=s(n)+ω(n),n=0,1,…,N-1。

(1)

信號分量

(2)

式中：NC為碼元個數(shù)；ξ(ζ)代表第ζ個信息符號樣本值；g(n)為成形脈沖，此處假定為脈寬為T0的矩形脈沖；ω(n)是實加性高斯白噪聲，其均值為0、方差為σ2。

可將頻譜感知問題歸結(jié)為如下假設(shè)檢驗[4]：

(3)

1.2 信號的圖域變換

(1)歸一化

由式(4)可將離散序列歸一化到[0,1]區(qū)間：

(4)

(2)量化及頂點映射

量化級數(shù)設(shè)為N0，經(jīng)均勻量化后序列可表示為

(5)

式中：μ=0,1,…,N0-1。將圖的頂點v與量化區(qū)間[0,1]的特定子區(qū)間(量化級)之間按如下規(guī)則進行映射：

(6)

(3)邊定義

圖的邊由量化后序列Q(τ)的幅度變化決定，對于τ=0,1,…,T-h-1，其中步長h滿足1≤h≤T-1，如果存在至少一次Q(τ)=δ且Q(τ+h)=β，則認(rèn)為相應(yīng)的邊eδβ是連通的，否則就認(rèn)為這兩個頂點(vδ和vβ)不連通。通過遍歷所有的樣本可以得到相應(yīng)邊集為

2 改進的圖域頻譜感知算法

2.1 現(xiàn)有圖域檢測算法的問題

一般而言，獨立同分布的隨機序列，在適當(dāng)選擇頂點數(shù)且具有一定規(guī)模的樣本量時，可以較大概率變換成完全圖；而獨立非同分布的隨機序列，尤其是稀疏信號，一般不易構(gòu)成完全圖[3]。現(xiàn)有的圖域頻譜感知算法主要基于檢測圖的完全連接性，其檢測的依據(jù)主要是基于在零假設(shè)下圖拉普拉斯矩陣的次大特征值等于頂點數(shù)這一結(jié)論[4]。但在實際計算中，該方法存在一定的復(fù)雜度，主要體現(xiàn)在兩個方面。

(1)圖域變換環(huán)節(jié)：由于在將隨機序列轉(zhuǎn)換成圖的過程中，需要對每一個樣本進行歸一化、量化及圖轉(zhuǎn)換，因此參與圖域變換的樣本數(shù)越多，其運算復(fù)雜度越高。

(2)特征提取環(huán)節(jié)：由于計算圖的拉普拉斯矩陣特征值需要進行特征分解，其計算復(fù)雜度為圖頂點數(shù)的三次方階[6]，即O(N03)?？梢?，即便頂點在10左右，其復(fù)雜度也較大。

針對上述問題，本文提出一種改進算法，一方面從觀測信號的功率譜中提取分組極差序列，并將其作為圖域變換的輸入，減少了參與圖域變換的樣本數(shù)；另一方面，選擇以圖的Gini系數(shù)作為判定圖完全連接性的特征，避免了對高維矩陣的特征分解，進一步減少了算法的計算量。

2.2 分組極差序列圖域特性分析

設(shè)觀測信號r?(n)的功率譜為R?(k)，有

(7)

式中：0≤k≤N-1；?=0,1，?=0代表H0情形，?=1代表H1情形；N是觀測信號樣本數(shù)。

由文獻[3]知，圖的完全連接性與圖域變換的輸入信號樣本的概率分布及樣本量有關(guān)，當(dāng)樣本量一定時，其分布越接近于均勻分布，則其隨機性越大，相應(yīng)地轉(zhuǎn)換成完全圖的概率也就越大。易知，在H0情況下，觀測信號的功率譜服從自由度為2的中心卡方分布，屬于Ⅰ型分布(Gumbel分布)的極大值吸引場[7]，故其分組極大值(Block Maxima,BM)序列漸進服從Gumbel分布。由文獻[8]可知，在相同樣本量條件及相同數(shù)據(jù)尺度下，獨立同分布Gumbel隨機變量的隨機性大于獨立同分布的中心卡方隨機變量。也就是說，相對于未分組的功率譜樣本R0(k)，當(dāng)分組數(shù)適當(dāng)時，分組極大值序列轉(zhuǎn)換成完全圖的概率更大。

Z?(l)=ZM?(l)-Zm?(l) 。

(8)

式中：?=0,1；l=0,1，…,L-1；ZM?(l)為每組的極大值組成的序列；Zm?(l)為每組的極小值組成的序列；顯然，Z?(l)也可看成分組極大值序列與分組極小值序列取負(fù)值的和。由文獻[9]知，分組極差序列Z0(l)是兩個連續(xù)獨立同分布隨機序列的和，其概率密度的隨機性大于其中任意一個隨機變量。因此，當(dāng)分組長度適當(dāng)時，分組極差序列Z0(l)概率密度的隨機性大于分組極大值序列ZM?(l)，也就自然大于未分組的功率譜R0(k)。因此，在分組數(shù)適當(dāng)時，H0假設(shè)下分組極差序列Z0(l)成為完全圖的概率大于未分組的功率譜R0(k)。

由文獻[10-11]知，若對于服從某一特定連續(xù)型分布的隨機信號，經(jīng)均勻量化后的樣本的概率分布是對原連續(xù)型概率密度函數(shù)的理想采樣。也就是說，量化前后的隨機量的概率密度函數(shù)具有近似相同的隨機性。實際中可以用量化后各頂點的直方圖(或稱頂點的概率向量隨機性)作為比較特定樣本集構(gòu)成完全圖的概率大小[3]。

假定Gp(Vp,Ep)和圖Gq(Vq,Eq)分別為由本文提出的分組極差序列和直接由未分組的功率譜[4]生成的圖，Vp和Vq分別為相應(yīng)圖的頂點集，表示為

Vp={vp1,vp2,…,vpδ,…,vpN0},

(9)

Vq={vq1,vq2,…,vqδ,…,vqN0} 。

(10)

定義1 頂點概率向量

令

(11)

(12)

分別為頂點集Vp和Vq的概率向量，其中：

(13)

(14)

式中：i,j=1,2,…,N0，Ii(Gp)和Ij(Gq)分別表示圖Gp的第i個量化級(即第i個頂點)的總量化樣本數(shù)和圖Gq的第j個量化級(即第j個頂點)的總量化樣本數(shù)，L和N分別是圖Gp和Gq的輸入樣本數(shù)。

圖1所示為H0情形下未分組的功率譜和分組極差序列頂點概率分布直方圖。仿真中，H0假設(shè)為零均值實高斯白噪聲，H1假設(shè)為疊加了高斯白噪聲的二進制相移鍵控(Binary Phase Shift Keying,BPSK)調(diào)制信號，碼元速率RB=2 000 baud，載波頻率fc=4 000 Hz，過采樣因子Q=50，樣本點數(shù)N=300點，量化級N0=10，分組長度λ=7，信噪比為0 dB。H0情形時，由圖可見，分組極差序列頂點概率向量的分布比未分組的功率譜均勻。圖2～4的仿真條件與此相同。

(a)未分組的功率譜

圖2(a)所示為H0情形下分別采用未分組的功率譜(300個樣本點)及分組極差序列(分組長度為7，實際樣本數(shù)為43點)變換得到的無向簡單圖，可見分組極差序列僅需43個樣本即可構(gòu)成完全圖，所需要樣本數(shù)遠(yuǎn)少于未分組功率譜的情形。圖2(b)所示為H0情形下未分組的功率譜在采用與分組極差序列相同的實際樣本點數(shù)(43點)時變換得到的無向簡單圖，可見其無法構(gòu)成完全圖。圖2印證了上文所述結(jié)論。

(a)未分組的功率譜(300點)與分組極差(43點)

必須注意到，如果某一統(tǒng)計量在兩種不同假設(shè)下，其樣本分布的隨機性差異越大，則在由其轉(zhuǎn)換成圖后，兩圖之間的完全連接性差別也越大，或者說H0時越容易轉(zhuǎn)換成完全圖，而H1時越不容易轉(zhuǎn)換成完全圖，這樣越有利于檢測。前面已經(jīng)分析，在H0時，分組極差序列的隨機性更大。下面對H1時兩種不同統(tǒng)計量的隨機性進行分析與比較。

H1情形下，由于其功率譜不滿足獨立同分布的條件，兩種不同統(tǒng)計量都很難變換成完全圖。如圖3所示，H1情形下兩種統(tǒng)計量經(jīng)均勻量化后得到的頂點概率向量都形如delta函數(shù)，根據(jù)完全圖的判決規(guī)則，在樣本數(shù)量有限時，這種分布很難轉(zhuǎn)換為完全圖[3]。

(a)未分組的功率譜

由于H1時未分組的功率譜R1(k)和分組極差序列Z1(l)不是獨立同分布的隨機變量，它們的概率密度函數(shù)難以解析表達(dá)，因此很難用解析的方法比較兩種不同情形的隨機性差異。因此，我們借助于頂點概率向量的部分和來進一步進行說明。

定義2 頂點概率向量的部分和

令

(15)

(16)

分別為頂點概率向量p和q的前Ω項的部分和，其中p[i]和q[j]為經(jīng)過降序排列后的頂點概率向量元素，1≤i,j≤Ω≤N0。

p0q0。

(17)

上式稱為p0受控于q0，即頂點概率向量p0的隨機性大于q0。

圖4為兩種不同假設(shè)下未分組功率譜與分組極差序列對應(yīng)的頂點概率向量部分和曲線對比示意圖。由圖4(a)可見，H0時，p0的部分和一直小于q0的部分和。這說明本文提出的分組極差序列的隨機性大于未分組的功率譜，其生成完全圖的概率更大。由圖4(b)可見，H1時p1和q1的部分和曲線相互交疊，均在[0.93,1]之間變化。這說明H1時未分組的功率譜與分組極差序列的隨機性差異較小，其構(gòu)成完全圖的概率差距不大，均很難構(gòu)成完全圖。

(a)H0情形下對比

定義3 頂點概率向量部分和距離

令兩種不同統(tǒng)計量在兩種不同假設(shè)下頂點概率向量部分和的距離分別為Cp和Cq:

(18)

(19)

從某種程度上，頂點概率向量部分和的距離可以用來表征兩種樣本間的隨機性的差異，從而有助于判斷其轉(zhuǎn)成所得到的圖的完全連接性的差異。圖5是不同信噪比時頂點概率向量部分和距離Cp和Cq的對比圖，除了信噪比變動外，圖5的仿真條件與圖4相同。從圖中可以看出本文提出的分組極差序列在H0和H1時頂點概率向量部分和距離較未分組的功率譜更大，表明H0和H1時分組極差序列生成的圖頂點分布的均勻性差距更大，更有利于信號檢測。

圖5 不同信噪比時Cp和Cq對比圖

2.3 特征定義：Gini系數(shù)

定義4 圖的Gini系數(shù)[13]

對于具有N0個頂點的圖G(V,E)，其Gini系數(shù)定義為

(20)

若將分組極差序列變換為圖，根據(jù)定義4可知，理想條件下，在H0假設(shè)下圖的Gini系數(shù)C0=0，在H1假設(shè)下圖的Gini系數(shù)C1>0。

圖6是不同信噪比時H0和H1情形下的Gini系數(shù)對比示意圖，圖中每種信噪比下的Gini系數(shù)是通過1 000次仿真求均值得到。除了信噪比為-11～-2 dB(步長為1 dB)、樣本點數(shù)為100點和700點外，其他仿真條件與圖4相同。由圖可見，當(dāng)樣本數(shù)量一定時，H0與H1下Gini系數(shù)存在差異；H1假設(shè)下Gini系數(shù)隨著信噪比增大而增大；當(dāng)信噪比一定時，樣本點數(shù)越大，H0下Gini系數(shù)越趨于0，樣本點數(shù)小時，H0下Gini系數(shù)略偏移0；小信噪比時，樣本數(shù)越大，H0和H1下Gini系數(shù)差異也越大；隨著信噪比的增大，樣本點數(shù)對Gini系數(shù)差異的影響減小。

圖6 不同信噪比H0和H1情形下Gini系數(shù)對比示意圖

根據(jù)上述結(jié)論，定義圖的Gini系數(shù)作為統(tǒng)計量，可有效檢測圖的完全連接性以實現(xiàn)頻譜檢測。判決規(guī)則：若C<η，則接受H0；否則，拒絕H0。其中η為判決門限，其取值范圍一般為0～0.5，具體應(yīng)綜合考慮選定的虛警概率及信號樣本長度等因素進行選取。

2.4 算法流程

Step1 功率譜計算：對過采樣后的觀測信號r(n)進行快速傅里葉變換，并進一步計算得到功率譜R(k)。

Step3 圖域變換：將極差序列Z(l)轉(zhuǎn)化為具有N0個頂點的圖Gp。

Step4 Gini系數(shù)計算：計算反映圖的各頂點度數(shù)分布均勻度的Gini系數(shù)C，以此為判決指標(biāo)，并設(shè)置相應(yīng)的門限η。

Step5 比較判決：通過將Gini系數(shù)C與門限η進行比較，若C<η，則判為H0，否則判為H1。

3 仿真與分析

3.1 仿真設(shè)置

除非另有說明，仿真條件設(shè)為：待觀測的信號為疊加了高斯白噪聲的BPSK調(diào)制信號，碼元速率RB=2 000 baud，載波頻率fc=4 000 Hz，過采樣因子Q=50，樣本點數(shù)N=300點，量化級N0=10，分組長度λ=7，門限η=0.35；仿真中所定義的信噪比為全頻段信噪比，為-3 dB；每種條件下的仿真次數(shù)為1 000次。仿真中使用兩種指標(biāo)來衡量算法的統(tǒng)計性能，即檢測概率(Pd)和接收機工作曲線(Receiver Operating Characteristic Curve,ROC)。檢測概率用于考察本文提出的檢測算法在不同條件下的檢測性能，而ROC用于比較本文算法與其他文獻算法的性能。

3.2 不同信噪比下的檢測概率

圖7為不同信噪比條件下本文算法的檢測概率示意圖。仿真中，SNR為-11～0 dB(步長為1 dB)。由圖可見，隨著信噪比的增大，本文算法的檢測概率也隨之提高，在信噪比為-5 dB時檢測概率接近90%。其原因在于，由圖6可知，樣本點數(shù)一定時，隨著信噪比的增大，H0和H1時的Gini系數(shù)距離在增加，更利于判決圖的完全連接性，從而提高檢測性能。

圖7 不同信噪比時本文算法的檢測概率示意圖

3.3 不同分組長度時的檢測概率

圖8為不同分組長度下本文算法的檢測概率示意圖。仿真中，分組長度λ為3～9(步長為2)。由圖可見，當(dāng)分組長度較大(如λ=9)時，分組極差序列的樣本數(shù)變少，H0下進行Gumbel擬合時，擬合參數(shù)的方差變大，擬合優(yōu)度下降，無法保證其相對于不分組情形時的均勻性增益，變換成完全圖的概率下降，從而導(dǎo)致檢測概率下降；當(dāng)分組長度較小(如λ=3)時，分組極差序列的樣本數(shù)雖多，H0情形時，其樣本序列難以滿足Gumbel漸進分布的條件，進行Gumbel擬合的優(yōu)度變差，同樣難以保證均勻性，從而使檢測概率下降。因此，分組長度不宜過大，也不宜過小，具體選擇要根據(jù)實際可獲得觀測信號樣本數(shù)來定，樣本數(shù)多時，可適當(dāng)增加分組長度。

圖8 不同分組長度時本文算法的檢測概率示意圖

3.4 不同量化級數(shù)時的檢測概率

圖9為不同量化級數(shù)時本文算法的檢測概率示意圖。仿真中，量化級N0為6～14(步長為2)。由圖可見，隨著量化級數(shù)的增加，檢測概率先上升后下降。其原因在于，樣本點數(shù)一定時，過少的量化級數(shù)會讓H0和H1情況下變換為完全圖的概率都增大，當(dāng)H1情況下也有很大的概率變換為完全圖時，H0和H1時Gini系數(shù)差值變小，就難以區(qū)分是否檢測到信號；同樣，過多的量化級會使H0和H1情況下變換為完全圖的概率都減小，當(dāng)H0情況下變換為完全圖的概率也變小時，H0和H1情況下Gini系數(shù)差值變小，導(dǎo)致信號檢測的性能下降。

圖9 不同量化級數(shù)時本文算法的檢測概率示意圖

3.5 不同調(diào)制方式時的檢測概率

圖10為不同調(diào)制方式下本文算法的檢測概率示意圖。仿真中，SNR為-8～3 dB(步長為1 dB)，調(diào)制方式采用BPSK、正交相移鍵控(Quadrature Phase Shift Keying,QPSK)和16進制正交振幅調(diào)制(Quadrature Amplitude Modulation,QAM)。由圖可見，在相同的傳碼率下，調(diào)制方式對檢測概率幾乎沒有影響。其原因在于，傳碼率相同時，三種調(diào)制方式信號的功率譜的形狀和帶寬基本相同，其隨機性也基本相同，從而導(dǎo)致構(gòu)成完全圖的概率也基本相同。

圖10 不同調(diào)制方式時本文算法檢測概率示意圖

3.6 不同成形脈沖時的檢測概率

圖11為在不同的成形脈沖下本文算法的檢測概率示意圖。仿真中，SNR為-11～0 dB(步長為1 dB)，成形脈沖分別采用滾降系數(shù)α=1、α=0.6和α=0.3的平方根升余弦成形脈沖以及矩形成形脈沖。由圖可見，不同的成形脈沖對檢測概率影響較小。其原因在于，平方根升余弦成形脈沖和矩形脈沖功率譜的主瓣寬度和峰值高度基本相同，故其轉(zhuǎn)換到圖域時構(gòu)成完全圖的概率也基本相同，因此檢測概率差別較小。

圖11 不同成形脈沖時本文算法檢測概率示意圖

3.7 性能對比

圖12為相同條件下分別采用本文算法、不分組圖域檢測法(簡稱不分組方法)[4]、能量檢測法[14]和正態(tài)性檢測法[15]四種算法進行頻譜感知得到的ROC對比示意圖。仿真中，SNR為-7 dB和-9 dB，樣本點數(shù)N=700，量化級N0=20，分組長度λ=9。由圖可見，無論是信噪比為-7 dB還是-9 dB，本文算法性能都優(yōu)于其他三種算法，在-9 dB時能量檢測法和正態(tài)性檢測法已基本失效。

圖12 四種頻譜感知算法的ROC對比示意圖

表1給出了相同條件下四種算法運行時間的對比結(jié)果，仿真條件與圖10相同。仿真中所用的硬件平臺是處理器為AMD Ryzen 7 PRO 4750U(1.7 GHz)的ThinkPad，軟件平臺為Matlab R2021a。由表可見，在相同條件下，本文算法的運算時間大約是不分組方法的5.6%，能量檢測法的5倍，正態(tài)性檢測法的10倍。雖然本文算法運算時間長于能量檢測法和正態(tài)性檢測法，但在低信噪比時性能更佳。

表1 四種頻譜感知算法仿真時間對比

4 結(jié)束語

本文提出了一種改進的基于分組極差圖的頻譜感知算法，通過提取觀測信號功率譜的分組極差序列作為圖域轉(zhuǎn)換的輸入，并定義圖的Gini系數(shù)來表征完全圖特性，從而達(dá)到檢測信道中是否存在信號的目的。仿真結(jié)果表明，該算法的計算復(fù)雜度適中，且在低信噪比時性能優(yōu)于現(xiàn)有算法，具有較好的魯棒性，便于工程實現(xiàn)。后續(xù)將進一步研究基于非均勻圖域變換的頻譜感知算法。